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湖北省黄冈中学2015-2016学年高一数学上学期期末考试试题



湖北省黄冈中学 2015 年秋季高一年级期末考试数学试题
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1、设集合 M={x|x =x},N={x|lgx≤0},则 M∪N=( ) A.[0,1] C.[0,1) B.(0,1] D.(-∞,1]
2

2、下列函数中,既是奇函数又存在零点的是( ) A.y=cosx B.y=sinx

C.y=lnx

D.

3、下列各组向量中可以作为基底的是( ) A.a=(0,0),b=(1,-2) B.a=(1,2),b=(3,4) C.a=(3,5),b=(6,10) D.a=(2,-3),b=(-2,3)

4、要得到函数

的图像,只需要将函数 y=sin4x 的图像( )

A.向左平移

个单位

B.向右平移

个单位

C.向左平移

个单位

D.向右平移

个单位

1

5、在等腰△ABC 中,BC=4,AB=AC, A.-4 C.-8 B.4 D.8

( )

6、 如果一个点既在对数函数的图像上又在指数函数的图像上, 那么称这个点为 “幸运点” . 在

下面的五个点 M(1,1),N(1,2),P(2,1),Q(2,2), 多少个?( ) A.0 C.2 B.1 D.3

中,“幸运点”有

7、已知函数 f(x)=x(e +ae )(x∈R),若函数 f(x)是偶函数,记 a=m,若函数 f (x)为奇函数,记 a=n,则 m+2n 的值为( ) A.0 C.2 B.1 D.-1

x

-x

8、若

,且θ 的终边不落在坐标轴上,则 tanθ 的值为( )

A. C.0

B.

或0

D.以上答案都不对

9、已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(A,ω 均为正的常数,φ 为锐角)的最小正周期为

π ,当

时,函数 f(x)取得最小值,记 a=f(0),

,则有( )

2

A.a=b<c C.b<a<c

B.a<b<c D.c<a<b

10、如图,函数 f(x)的图象为折线 ACB,则不等式 f(x)≥log2(x+1)的解集是( )

A.{x|-1<x≤0} C.{x|-1<x≤1}

B.{x|-1≤x≤1} D.{x|-1<x≤2}

11、设定义在区间(-b,b)上的函数 则 a 的取值范围是( )
b

是奇函数(a,b∈R 且 a≠-2),

12、对于定义域为 R 的函数 g(x),若存在正常数 T,使得 cosg(x)是以 T 为周期的函数, 则称 g(x)为余弦周期函数,则下列函数中余弦周期函数有多少个?( )

①h(x)=2016x ②h(x)=|x| ③ A.0 个 C.2 个 B.1 个 D.3 个

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)

3

13、已知角α 的终边过点

,则 tanα =__________.

14、若函数 __________.

的定义域是[0,2],则函数

的定义域是

15、 已知函数 f (x) =a +b (a>0, a≠1) 的定义域和值域都是[-1, 0], 则 a+b=__________.

x

16、已知 a=log827,则 2 +2

a

(-a)

=__________.

三、解答题(本大题共有 6 题,满分 70 分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区 域内写出必要的步骤. 17、(10 分)已知方程 x +px+q=0 的两个不相等实根为α ,β .集合 A={α ,β },B={2, 4,5,6},C={1,2,3,4},A∩C=A,A∩B= ,求 p,q 的值.
2

18、(12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知向量

. (1)若 m⊥n,求 tanx 的值;

(2)若 m 与 n 的夹角为

,求 sinx+cosx 的值.

19、(12 分)某村电费收取有以下两种方案供农户选择:

4

方案一:每户每月收管理费 2 元,月用电不超过 30 度时,每度 0.5 元,超过 30 度时, 超过部分按每度 0.6 元收取. 方案二:不收管理费,每度 0.58 元. (1)求方案一收费 L(x)元与用电量 x(度)间的函数关系; (2)老王家九月份按方案一交费 35 元,问老王家该月用电多少度? (3)老王家月用电量在什么范围时,选择方案一比选择方案二更好?

20、(12 分)如图,半径为 4 m 的水轮绕着圆心 O 逆时针做匀速圆周运动,水轮每分钟旋 转 4 圈,水轮圆心 O 距离水面 2 m,如果当水轮上的点 P 从离开水面的时刻(P0)起开始计 算时间. (1)求点 P 到水面的距离 y(m)与时间 t(s)满足函数的关系; (2)求点 P 第一次到达最高点需要的时间.

21、(12 分)若在定义域内存在实数 x0,使得 f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立,则称函数 f(x)是“可拆函数”.

(1)函数

是否是“可拆函数”?请说明理由;
x

(2)若函数 f(x)=2x+b+2 是“可拆函数”,求实数 b 的取值范围;

5

(3)证明:f(x)=cosx 是“可拆函数”.

22、 (12 分) 已知集合 M={h (x) |h (x) 的定义域为 R, 且对任意 x 都有 h (-x) =-h (x) },

设函数



(1)当 a=b=1 时,判断是否有 f(x)∈M,说明理由. (2)若函数 f(x)∈M,且对任意的 x 都有 f(x)<sinθ 成立,求θ 的取值范围.

6

1、A 解析:集合 M={0,1},N=(0,1],∴M∪N=[0,1].故选 A. 2、B 解析:A 是偶函数且有零点,B 是奇函数且有零点,C 有零点但是非奇非偶函数,D 是 奇函数但无零点.故选 B. 3、B 解析:能作为基底的两个平面向量要求是不共线,A 中 是零向量与任意向量均共线, C中 4、B ,共线,D 中 ,共线,B 中 1×4-2×3≠0, 不共线.故选 B.

解析:

,故需将 y=sin4x 向右平移

即可.

5、D

解析:

,故选 D.

6、C 解析:对于指数函数 y=a ,当且仅当 x=0 时 y=1,故 M,P 均不是“幸运点”;对于对 数函数 y=logax,当且仅当 y=0 时 x=1,故 N 不是“幸运点”,因为 ,
x

所以 Q 是“幸运点”,因为 7、B

,故 G 也是“幸运点”.

解析:当 f(x)是偶函数时 y=e +a·e 是奇函数,记 g(x)=e +a·e ,∴g(-x) =-g(x),∴e +a·e =-(e +a·e ),∴a=-1;同理,当 f(x)是奇函数时 y=e +a·e 是偶函数,a=1,即 m=-1,n=1,∴m+2n=1. 8、A
7
-x -x x x -x x

x

-x

x

-x

解析:由同角三角函数的基本关系得 sin θ +cos θ =1,即 ∴k=1 或-7, 又因为角θ 的终边不落在坐标轴上,

2

2

, ,

9、A

解析:由周期为π 知ω =2,又

时函数取得最小值,故



,又φ 为锐角,

, 且 A>0,∴a=b<c,故选 A. 10、C 解析: 线段 BC 的方程为 y=2-x (0≤x≤2) , 令 log( =2-x, 得 x=1, 结合 y=log2x 2 x+1) 的图像得到解集为{x|-1<x≤1},故选 C.本题的易错点是没有注意到 x≠-1 而错选 B. 11、A

解析: 由f (x) 为奇函数得 f (-x) =-f (x) ,



∴a=2,

, 定义域为

, 故选 A. 本

题的易错点是没有注意到 b 可以等于

,而错选了 C.

12、D

8

解析:对于①,

;对于②,

, 对于③, 题的易错点是没有考虑到③其实是周期函数. 13、 14、[0,1)

. 故选 D. 本

15、

16、 17、解:由 A∩C=A,A∩B=φ 得 A={1,3},(4 分) 即方程 x +px+q=0 的两个根是 1,3,(6 分) 由韦达定理得 1+3=-p,p=-4;(8 分) 1×3=q,q=3.(10 分)
2

18、(1)因为 m⊥n,所以 所以 tanx=1.(5 分)

(2 分)

(2)因为 m,n 的夹角为



① 设 sinx+cosx=a ②

(7 分)

由① +② 得

2

2

(10 分)

9

因 x 是锐角,所以 a 为正值,所以 19、解:(1)当

.(12 分)

时,L(x)=2+0.5x

当 x>30 时,

(注:x 也可不取 0) (2)当 时,由 L(x)=2+0.5x=35 得 x=66,舍去.

当 x>30 时,由 L(x)=0.6x-1=35 得 x=60. ∴老王家该月用电 60 度.(8 分) (3)设按第二方案收费为 F(x)元,则 F(x)=0.58x. 当 0≤x≤30 时,由 L(x)<F(x),得 2+0.5x<0.58x.∴x>25. ∴25<x≤30. 当 x>30 时,由 L(x)<F(x),得 0.6x-1<0.58x,∴x<50. ∴30<x<50 综上,25<x<50. 故老王家月用电量在 25 度到 50 度范围内(不含 25 度、50 度)时,选择方案一比方案 二更好.(12 分) 20、解:(1)以 O 为原点建立如图所示的直角坐标系. 由于水轮绕着圆心 O 做匀速圆周运动,可设点 P 到水面的距离 y(m)与时间 t(s)满 足函数关系

∵水轮每分钟旋转 4 圈,

10

.

∵水轮半径为 4 m,∴A=4.



当 t=0 时,y=0,



.(6 分)

(2)由于最高点距离水面的距离为 6,

∴当 k=0 时,即 t=5(s)时,点 P 第一次达到最高点.(12 分) 21、(1)由 f(x+1)=f(x)+f(1)化简整理得 k(x +x+1)=0
2

(2 分)

当 k=0 时,有无数个 x 使上式成立,所以 f(x)是“可拆函数”.(3 分) 当 k≠0,方程 x +x+1=0 无实根,所以 f(x)不是“可拆函数”.(4 分) (2)因为函数 f(x)=2x+b+2 是“可拆函数”
x 2

11

所以方程 2(x+1)+b+2
x

(x+1)

=2x+b+2 +4+b

x

即 2 =2+b 有实数根.(6 分) 所以 b+2>0,b>-2.(8 分) (3)因 cos(x+1)=cosx+cos1 设 g(x)=cos(x+1)-cosx-cos1 g(0)=cos1-1-cos1=-1<0,

所以 g(x)在

上至少有一个零点,即有 x0 使 f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立,

所以 f(x)=cosx 是“可拆函数”(12 分)

22、解:(1)举反例即可.

,所以 f(-1)≠-f(1),∴f(x) M.(4 分)

(2)∵f(x) M,∴f(-x)=-f(x),即
2x x

对定义域内任意

实数 x 成立.化简整理得(2a-b)·2 +(2ab-4)·2 +(2a-b)=0,这是关于 x 的恒

等式,所以



所以

.又因为函数 f(x)的定义域为 R,所以

不合题意.

综上 a=1,b=2.(8 分)



12

因为 2 >0,所以 2 +1>1, ∵f(x)<sinθ ,

x

x

,从而



,解得

(12 分)

13



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