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理科数学2011暑假作业2



2010--2011数学高二(理科)暑假作业(2)
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中。只有一项是 符合题目要求的。 1. 已知集合 A ? {cos0? ,sin 270? }, B ? {x | x2 ? x ? 0} 则 A ? B 为 A. {0, ?1} B. {?1,1}
6

C. {?1}

D. {0}

2.设 i 为虚数单位,则 ?1 ? i ? 展开式中的第三项为 A 30i B ?15i
2 2

C 30

D ?15

3. a, b, c 为互不相等的正数,且 a ? c ? 2bc ,则下列关系中可能成立的是 A. a ? b ? c B. b ? c ? a C. b ? a ? c D. a ? c ? b

4.计算机的价格大约每3年下降 A. 2400 元

2 ,那么今年花 8100 元买的一台计算机,9年后的价格大约是 3
C. 300 元 D. 100 元

B. 900 元

5.在某种新型材料的研制中,实验人员获得了右边一组 实验数据: 现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这 些数据的规律,其中最接近的一个是

x
y

1.99 1.5

3 4.04

4 7.5

5.1 12

6.12 18.01

1 2 1 x ( x ? 1) C. y ? log2 x D. y ? ( ) 2 2 2 9 y2 x 6.两个正数 a、b 的等差中项是 ,一个等比中项是 2 5 ,且 a ? b, 则双曲线 2 ? 2 ? 1 的离 a b 2
A. y ? 2 x ? 2 B. y ? 心率为 A.

5 3

B.

41 4

C.

5 4

D.

41 5

7.对 ? a 、 b ? R ,运算“ ? ”“ ? ”定义为: a ? b = ? 、 下列各式其中恒成立的是 ⑴ a ?b ? a ?b ? a ? b ⑶ [a ? b] ?[a ? b] ? a ? b A. ⑴、⑵、⑶、⑷

? a, ( a ? b) ? a, ( a ? b) , a ?b = ? ,则 ?b.(a ? b) ?b.(a ? b)

⑵ a ?b ? a ?b ? a ? b ⑷ [a ? b] ?[a ? b] ? a ? b C. ⑴、⑶ D.⑵、⑷

B. ⑴、⑵、⑶

1

8. 已知: ? ? {( x, y ) | ?

?y ? 0 ? ?y ? 4 ? x ?
2

} ,直线 y ? mx ? 2m 和曲线 y ? 4 ? x 2 有两个不同的交

点, 它们围成的平面区域为 M, 向区域 ? 上随机投一点 A, A 落在区域 M 内的概率为 P( M ) , 点 若 P(M ) ? [

? ?2 ,1] ,则实数 m 的取值范围为 2?
B. [0,

A. [ ,1]

1 2

3 ] 3

C. [

3 ,1] 3

D. [0,1]

二、填空题:本大题共7小题,每小题5分,满分30分.其中13~15题是选做题,考生只能选做两 题,三题全答的,只计算前两题得分. 9.由抛物线 y 2 ? x 和直线 x ? 2 所围成图形的面积为________________. 10.已知点 P(2,1)在圆 C: x2 ? y 2 ? ax ? 2 y ? b ? 0 上,点 P 关于直线 x ? y ? 1 ? 0 的对称点也 在圆 C 上,则圆 C 的圆心坐标为 11. 设 、半径为 . ,
参加人数

f0 ( x) ? cos x, f1 ( x) ? f0 '( x), f2 ( x) ? f1 '( x),?, f n?1 ( x) ? f n '( x)

60 50 40 30 20 10

n ? N?,



f2008 ( x)

12.某中学号召学生在暑假期间至少参加一次社会公益活动(以下简 称活动) .该校文学社共有 100 名学生,他们参加活动的次数统计如 右图所示.则该文学社学生参加活动的人均次数为 社中任意选两名学生,他们参加活动次数不同的概率是 ;从文学

活动次数 1 2 3



?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 2 2 13. 如果点 P 在平面区域 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 上, Q 在曲线 x ? ( y ? 2) ? 1上, 点 那么|PQ|的最小值 ?x ? y ? 2 ? 0 ?
为_________________; 14. (几何证明选讲选做题) 如图, AB 是半圆 O 的直径,点 C 在半圆上,

CD ? AB 于点 D ,且 AD ? 4 DB ,设 ?COD ? ? ,则 cos 2? =



15.(坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中,已知直线过点(1,0) ,且其向上的方向与极轴 的正方向所成的最小正角为

? ,则直线的极坐标方程为______________. 3

2

三.解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知:向量 a ? ( 3, ?1) , b ? (sin 2x, cos 2 x) ,函数 f ( x) ? a ? b (1)若 f ( x) ? 0 且 0 ? x ? ? ,求 x 的值;

?

?

? ?

(2)求函数 f ( x ) 的单调增区间以及函数取得最大值时,向量 a 与 b 的夹角. 17. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?

?

?

1 3 1 x ? (a ? 1) x 2 ? ax 3 2

(a ? R) ,函数 g ( x) ? f '( x)

(1)判断方程 g ( x) ? 0 的零点个数; (2)解关于 x 的不等式 g ( x) ? 0 ,并用程序框图表示你的求解过程. 18. (本小题满分 14 分) 已知一四棱锥 P-ABCD 的三视图如下,E 是侧棱 PC 上的动点。 (1)求四棱锥 P-ABCD 的体积; (2)是否不论点 E 在何位置,都有 BD⊥AE?证明你的结论; (3)若点 E 为 PC 的中点,求二面角 D-AE-B 的大小.
P

E

2
D C

2 1

A

B

1 正视图

1 侧视图

1 俯视图

19. (本小题满分 13 分) 为迎接 2008 年奥运会召开,某工艺品加工厂准备生产具有收藏价值的奥运会标志——“中国 印· 舞动的北京”和奥运会吉祥物——“福娃”.该厂所用的主要原料为 A、B 两种贵重金属,已知生 产一套奥运会标志需用原料 A 和原料 B 的量分别为 4 盒和 3 盒,生产一套奥运会吉祥物需用原 料 A 和原料 B 的量分别为 5 盒和 10 盒.若奥运会标志每套可获利 700 元, 奥运会吉祥物每套可获 利 1200 元,该厂月初一次性购进原料 A、B 的量分别为 200 盒和 300 盒.问该厂生产奥运会标志 和奥运会吉祥物各多少套才能使该厂月利润最大,最大利润为多少?
3

20. (本小题满分 14 分) 设直线 l : y ? k ( x ? 1)(k ? 0) 与椭圆 3x2 ? y 2 ? a2 (a ? 0) 相交于 A、B 两个不同的点,与 x 轴相交于点 C,记 O 为坐标原点. (1)证明: a ?
2

3k 2 .; 3? k2

(2)若 AC ? 2CB, 求?OAB 的面积取得最大值时的椭圆方程. 21. (本小题满分 14 分) 已知二次函数 f ( x) ? x2 ? ax ? a( x ? R) 同时满足:①不等式 f ( x ) ≤0 的解集有且只有一个 元素;②在定义域内存在 0 ? x1 ? x2 ,使得不等式 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,设数列{ an }的前 n 项 和 Sn ? f (n) . (1)求函数 f ( x ) 的表达式; (2) 设各项均不为 0 的数列 bn } 所有满足 bi ? bi ?1 ? 0 的整数 i 的个数称为这个数列 bn } { 中, { 的变号数,令 bn ? 1 ?

a ? ( n ? N ),求数列{ bn }的变号数; an

(3)设数列{ cn }满足: cn ? 求出该项,若不存在,说明理由.

? a ?a
i ?1 i

n

1

,试探究数列{ cn }是否存在最小项?若存在,

i ?1

4

数学(理科)参考答案
一.选择题:CDCD BBCD 解析:1. ∵ A ? {1, ?1}, B ? {0, ?1} ∴ A ? B = {?1} ,选 C.
2 2.在 ?1 ? i ? 展开式中, T3 ? C6 i 2 ? ?15 ,故选 D.
6

2 2 3.由 a ? c ? 2ac ? 2bc ? 2ac ? b ? a 可排除 A,D,令 a ? 2, c ? 1, 可得 b ?

5 可知 C 可能成 2

立。 4. 9年后的价格大约是 8100 ? ( ) ? 300 元,选 C.
3

1 3

5. 由该表提供的信息知, 该模拟函数在 (0, ??) 应为增函数, 故排除 D,将 x ? 3 、 4?代入选项 A、 B、C 易得 B 最接近,故答案应选 B. 6. 由已知得 a ? b ? 9, ab ? 20,? a ? b ? a ? 5, b ? 4 , c ? a2 ? b2 ? 41 , e ? ? ? 选 D。 7.由定义知⑴、⑶恒成立,⑵⑷不恒成立,正确答案C.
-2

c 41 , ? a 5y
2

X

o

2

8.已知直线 y ? mx ? 2m 过半圆 y ?

,当 4 ? x 2 上一点(-2,0) P(M ) ? 1 时,

直线与x轴重合,这时m=0,故可排除A,C,若m=1,如图可求得当 P ( M ) ?

? ?2 ,故选D. 2?

二.填空题:9.

6 7 8 2 ;10. (0,1) 、2;11. cos x ;12.2.2、 ;13. ? ;14. 10; 15. 11 25 3

? 3 ? sin( ? ? ) ? .
3 2
解析:9. 由定积分的几何意义得,所求面积 S ? 2

?

2

0

xdx ?

4 3 2 8 x 2 |0 ? 2. 3 3

10.由点 P(2,1)在圆上得 2a ? b ? ?3 ,由点 P 关于直线 x ? y ? 1 ? 0 的对称点也在圆 C 上知直线 过圆心, 即 (?

a ,1) 满足方程 x ? y ? 1 ? 0 ,∴ a ? 0, b ? ?3 ,圆心坐标为(0,1) ,半径 r ? 2。 2

11. 由 f0 ( x) ? cos x 得 f1 ( x) ? ? sin x, f 2 ( x) ? ? cos x, f3 ( x) ? sin x, f 4 ( x) ? cos x ?
5

? f2008 ( x) ? f0 ( x) ? cos x
12. 由统计图知该文学社学生参加活动的人均次数为

1?10 ? 2 ? 60 ? 3 ? 30 ? 2.2 100
1 1 1 1 1 1 C10C60 ? C10C30 ? C30C60 6 ? . 2 C100 11

从中任意选两名学生,他们参加活动次数不同的概率是

13.

5 ?1

14. ? AD ? 4DB ?OC ? OD ? 4 ?OC ? OD? , 即 3OC ? 5OD ,

7 ? OD ? ? 3? cos 2? ? 2cos ? ? 1 ? 2 ? ? ? ?1 ? 2 ? ? ? ?1 ? ? 25 ? OC ? ?5?
2

2

2

15.由正弦定理得

2? sin 3

?

?

? 2? 3 ,∴所求直线的极坐标 ? , 即 ? sin( ? ? ) ? sin 3 3 2 sin( ? ? ) 3

?

1

方程为 ? sin(

?
3

?? ) ?

3 . 2

三.解答题: 16.解:∵ f ( x) ? a ? b = 3 sin 2 x ? cos 2 x -----------------2 分 (1)由 f ( x) ? 0 得 3sin 2x ? cos 2x ? 0 即 tan 2 x ? ∵0 ? x ??, ∴x?

? ?

3 3
, 或 2x ? 7? , 6

? 0 ? 2x ? 2 ?

∴ 2x ?

?
6

?
12



7? -------------------------------------------------4 分 12

(2)∵ f ( x) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2( = 2(sin 2 x cos

3 1 sin 2 x ? cos 2 x) 2 2

?

由 2 k? ?

?
2

? 2sin(2 x ? ) ----------------------------------8 分 6 ? 2x ?

?

? cos 2 x sin ) 6 6

?

?

6

? 2 k? ?

?

2

, k ? Z 得 k? ?

?

6

? x ? k? ?

?

3

,k ?Z

6

∴ f ( x ) 的单调增区间 [k? ? 由上可得 f ( x)max

, k? ? ], k ? Z .---------------------------------10 分 6 3 ? ? ? ? ? ? ? 2 ,当 f ( x) ? 2 时,由 a ? b ?| a | ? | b | cos ? a, b ?? 2 得
∴ ? a, b ?? 0 -------------12 分

?

?

? ? ? ? ? ? a ?b cos ? a, b ?? ? ? ? 1,? 0 ?? a, b ?? ? | a |?| b|
17.解: (1)∵ f '( x) ? x2 ? (a ? 1) x ? a ∵ ? ? (a ? 1)2 ? 4a ? (a ?1)2 ∴当 a ? 1 时,方程 g ( x) ? 0 有一个零点; 当 a ? 1 时,方程 g ( x) ? 0 有两个零点;------3 分

? ?

∴ g ( x) ? x2 ? (a ? 1) x ? a ----------1 分

(2)将不等式 g ( x) ? 0 化为 ( x ? a)( x ? 1) ? 0 -----5 当 a ? 1 时原不等式的解集为{x | x ? a或x ? 1} ------6 分 当 a ? 1 时原不等式的解集为{x | x ? 1或x ? a} ----7 分 当 a ? 1 时原不等式的解集为{x ? R | x ? 1} ---------8 分

求解过程的程序框图如右图: 注:完整画出框图给 4 分, 、 (3)(4)缺一且其它完整给 2 分,其它画法请参照给分。 18.(1)解:由该四棱锥的三视图可知,该四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 1 的正方形, 侧棱 PC⊥底面 ABCD,且 PC=2. ---------------------------------2 分 ∴ VP ? ABCD ?

1 2 S? ABCD ? PC ? ----------------------------4 分 3 3

(2) 不论点 E 在何位置,都有 BD⊥AE---------------------------------------5 分 证明如下:连结 AC,∵ABCD 是正方形 ∴BD⊥AC ∵PC⊥底面 ABCD 且 BD ? 平面 ABCD ∴BD⊥PC-----------7 分 又∵ AC ? PC ? C ∴BD⊥平面 PAC ∵不论点 E 在何位置,都有 AE ? 平面 PAC ∴不论点 E 在何位置,都有 BD⊥AE ----------------------------------------------9 分 (3) 解法 1:在平面 DAE 内过点 D 作 DG⊥AE 于 G,连结 BG ∵CD=CB,EC=EC, ∴ Rt ?ECD ≌ Rt ?ECB ∴ED=EB, ∵AD=AB ∴△EDA≌△EBA ∴BG⊥EA ∴ ?DGB 为二面角 D-EA-B 的平面角--------------------------12 分 ∵BC⊥DE, AD∥BC ∴AD⊥DE

7

在 Rt△ADE 中 DG ?

AD ? DE 2 = =BG AE 3

2 2? ? 2 DB 2 ? BG 2 ? BD 2 1 3 在△DGB 中,由余弦定理得 cos ?DGB ? ? ?? 2 2 DB ? BG 2 2? 3 2? ∴ ?DGB = -----------------------14 分 3
[解法2:以点 C 为坐标原点,CD 所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图示: 则 D(1,0,0), A(1,1,0), B(0,1,0), E(0,0,1) ,从而
z P

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? DE ? (?1,0,1), DA ? (0,1,0), BA ? (1,0,0), BE ?(0, ? 1,1) --------------11 分
设平面 ADE 和平面 ABE 的法向量分别为 m ? (a, b, c), n ? (a ', b ', c ') x 由法向量的性质可得: ?a ? c ? 0, b ? 0 , a ' ? 0, ?b '? c ' ? 0
A

E D

??

?

C

?? ? 令 c ? 1, c ' ? ?1,则 a ? 1, b ' ? ?1 ,∴ m ? (1,0,1), n ? (0, ?1, ?1) ------13 分
?? ? m?n 1 ? ?? 设二面角 D-AE-B 的平面角为 ? ,则 cos ? ? ??? 2 | m|?| n |

y

B

2? --------------------------------------------------------14 分] 3 19.解:设该厂每月生产奥运会标志和奥运会吉祥物分别为 x, y 套,月利润为 z 元,由题意得
∴? ?

?4 x ? 5 y ? 200, ?3x ? 10 y ? 300, ? ( x, y ? N ) -----------------------4 分 ? x ? 0, ? ? y ? 0. ?
目标函数为 z ? 700x ? 1200y. …………5 分 作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即 可行域,如图: …………7 分 目标函数可变形为 y ? ?
40 30 20 10

y

A 3x+10y-300=0 x
50 100

o

7 z x? , 12 1200

4x+5y-200=0

??

4 7 3 ?? ?? , 5 12 10
8

∴当 y ? 解?

?7 z z x? 通过图中的点 A 时, 最大,这时 Z 最大。 12 1200 1200

?4 x ? 5 y ? 200 , , 得点 A 的坐标为(20,24) …………10 分 ?3x ? 10 y ? 300

将点 A(20, 24) 代入 z ? 700 x ? 1200 y 得 zmax ? 700 ? 20 ? 1200 ? 24 ? 42800 元 答: 该厂生产奥运会标志和奥运会吉祥物分别为 20, 套时月利润最大, 24 最大利润为 42800 元----12 分 20. (1)证明:由 y ? k ( x ? 1) 得 x ? 将x?

1 y ? 1. k

1 y ? 1 代入 3x2 ? y 2 ? a2 消去 x 得 k 3 6 ( 2 ? 1) y 2 ? y ? 3 ? a 2 ? 0. ① ?????????? 3 分 k k

由直线 l 与椭圆相交于两个不同的点得

??

36 3 ? 4( 2 ? 1)(3 ? a 2 ) ? 0, 2 k k

整理得 (

3 3k 2 ? 1)a 2 ? 3 ,即 a 2 ? . ???5 分 k2 3? k2

(2)解:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ).由①,得 y1 ? y2 ?

∵ AC ? 2CB, 而点 C (?1, 0) , ∴ (?1 ? x1, ? y1 ) ? 2( x2 ? 1, y2 ) 得 y1 ? ?2 y2 代入上式,得 y2 ? 于是, △OAB 的面积 S ? 分 其中,上式取等号的条件是 k ? 3, 即 k ? ? 3. ????????12 分
2

??? ?

??? ?

6k 3? k2

?6 k . 3? k2

?????8 分

1 3 9| k | 9| k | 3 3 | OC | ? | y1 ? y 2 |? | y 2 | ? ? ? . --------11 2 2 2 3? k 2 2 3|k|

由 y2 ?

?6 k . 可得 y2 ? ? 3 3? k2
2

将 k ? 3, y2 ? ? 3 及 k ? ? 3, y2 ? 3 这两组值分别代入①,均可解出 a ? 15. ∴△OAB 的面积取得最大值的椭圆方程是 3x ? y ? 15. ??????14 分
2 2

9

21.解(1)∵不等式 f ( x ) ≤0 的解集有且只有一个元素 ∴ ? ? a ? 4a ? 0
2

解得 a ? 0 或 a ? 4 ----------------------------2 分

当 a ? 0 时函数 f ( x) ? x2 在 (0, ??) 递增,不满足条件② 当 a ? 4 时函数 f ( x) ? x2 ? 4x ? 4 在(0,2)上递减,满足条件② 综上得 a ? 4 ,即 f ( x) ? x2 ? 4x ? 4 ------------------------------4 分 (2)由(1)知 Sn ? n2 ? 4n ? 4 ? (n ? 2)2 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 1 当 n ≥2时 an ? Sn ? Sn?1 = (n ? 2)2 ? (n ? 3)2 = 2n ? 5 ∴ an ? ?

?1, (n ? 1) -------------------------------------------6 分 ?2n ? 5.(n ? 2)

??3, (n ? 1) ? 由题设可得 bn ? ? ---------------------------------------7 分 4 1? .(n ? 2) ? 2n ? 5 ?
∵ b1 ? ?3 ? 0, b2 ? 1 ? 4 ? 5 ? 0 , b3 ? ?3 ? 0 ,∴ i ? 1 , i ? 2 都满足 bi ? bi ?1 ? 0 ∵当 n ≥3时, bn ?1 ? bn ?

4 4 8 ?0 ? ? 2n ? 5 2n ? 3 (2n ? 5)(2n ? 3)

即当 n ≥3时,数列{ bn }递增, ∵ b4 ? ?

1 4 ? 0 ,由 1 ? ? 0 ? n ? 5 ,可知 i ? 4 满足 bi ? bi ?1 ? 0 3 2n ? 5

∴数列{ bn }的变号数为3。--------------------------------------9 分 (3)∵ cn ?

? a ?a
i ?1 i

n

1



i ?1

1 1 1 1 ? ? ?? ? , 由(2)可得: a1a2 a2 a3 a3a4 an an?1

1 1 1 1 1 1 cn ? ?1 ? (?1) ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] --------------11 分 2 3 3 5 2n ? 5 2n ? 3

10

3 1 ? (2n ? 3) ? 1 1 1 4 ? 3n 2 ??3? )? = ?2 ? (1 ? = 2 -------13 分 2n ? 3 2 2(2n ? 3) 2 2n ? 3 2n ? 3
∵当 n ? 2 时数列{ cn }递增,∴当 n ? 2 时, c2 ? ?2 最小, 又∵ c1 ? ?1 ? c2 , ∴数列{ cn }存在最小项 c2 ? ?2 -----------------------------14 分 〔或∵ cn ?

? a ?a
i ?1 i

n

1



i ?1

1 1 1 1 ,由(2)可得: ? ? ?? ? a1a2 a2 a3 a3a4 an an?1

1 1 1 1 1 1 cn ? ?1 ? (?1) ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] --------------11 分 2 3 3 5 2n ? 5 2n ? 3 1 1 4 ? 3n )? = ?2 ? (1 ? 2 2n ? 3 2n ? 3
对于函数 y ? ∴函数 y ?

4 ? 3x 2x ? 3

∵ y' ?

?3(2 x ? 3) ? 2(4 ? 3x) 1 ?0 ? 2 (2 x ? 3) (2 x ? 3)2

4 ? 3x 3 在 ( , ??) 上为增函数,∴当 n ? 2 时数列{ cn }递增, 2x ? 3 2

∴当 n ? 2 时, c2 ? ?2 最小,--------13 分 又∵ c1 ? ?1 ? c2 , ∴数列{ cn }存在最小项 c2 ? ?2 -------------------14 分〕

11



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