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讲义8:(学生版)概率、统计



讲义 8:概率、统计(三角、数列、立体几何) (2016.04.04)
1.应用互斥事件的概率加法公式,一定要注意首先确定各事件是否彼此互斥,然后求出各事件分别发生的概率, 再求和. 2.正确区别互斥事件与对立事件的关系:对立事件是互斥事件,是互斥中的特殊情况,但互斥事件不一定是对立 事件,“互斥”是“对立”的必要不充分条件. 3.解决古典概型的重要前提是求基本事件的总

数,这些基本事件必须是等可能的,同时应注意:在涉及抛掷骰子 的问题中,将一枚骰子连续抛掷两次和将两枚骰子抛掷一次是一样的.出现的点数为(a,b)和(b,a)是两种不同的情 况,应作为两个基本事件. 4.解决概率问题要弄清几个事件:等可能事件、互斥事件(或和事件)、相互独立事件(或积事件),合理选用公式.若 A 与 B 是相互独立事件,则 A 与 B , A 与 B, A 与 B 也都是相互独立事件. 5.对于统计图表问题,求解时,最重要的就是认真观察图表,从中发现有用信息和数据.对于频率分布直方图, 应注意的是图中的每一个小矩形的面积是数据落在该区间上的频率.茎叶图没有原始数据信息的损失,但数据很大 或有多组数据时,茎叶图就不那么直观、清晰了. 6.众数:在一组数据中,出现次数最多的数据叫做这组数据的众数. 中位数:将一组数据按大小依次排列,把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据 的中位数. 1 平均数:样本数据的算术平均数,即 x = (x1+x2+?+xn).

n

考点一:用样本来估计总体 1.某电子商务公司对 10000 名网络购物者 2014 年度的消费情况进行统计, 发现消费金额(单位: 万元)都在区间[0.3,0.9] 内,其频率分布直方图如图所示. (1)直方图中的 a=________; (2)在这些购物者中,消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为________. 2.随机抽取 x 名学生的某项成绩(得分为整数)进行整理后分成五组, 绘制出如图所示的频率分布直方图, 已知图中从 左到右的第一、三、四、五小组的频率分别为 0.30,0.15,0.10,0.05,第二小组的频数为 40,则 x=________.

m 3.已知甲、乙两组数据如茎叶图所示,若它们的中位数相同,平均数也相同,则图中的 m、n 的比值 =( n A.1 1 B. 3 2 C. 9 3 D. 8

)

4.某大学对 1000 名学生的自主招生水平测试成绩进行统计,得到样本频率分布直方图(如图),则这 1000 名学生在 该次自主招生水平测试中成绩不低于 70 分的学生数是( A.300 B.400 C.500 D.600 )

-1-

考点二:线性回归分析与独立性检验 1.为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系,随机调查了该社区 5 户家庭,得到如下统计数据表: 收入 x(万元) 支出 y(万元) 8.2 6.2 8.6 7.5 10.0 8.0 11.3 8.5 11.9 9.8

^ ^ ^ ^ ^ ^ 根据上表可得回归直线方程y=bx+a,其中b=0.76,a= y -b x .据此估计,该社区一户年收入为 15 万元家庭的年 支出为( )A.11.4 万元 B.11.8 万元 C.12.0 万元 D.12.2 万元

2.某同学寒假期间对其 30 位亲属的饮食习惯进行了一次调查,列出了如下 2×2 列联表

k

2.706

3.841

6.635

10.828

P(χ2≥k)

0.10

0.05

0.010

0.001

则可以说其亲属的饮食习惯与年龄有关的把握为( A.90% B.95% C.99%

) D.99.9%

考点三:古典概率模型 1.如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这 3 个数为一组勾股数.从 1,2,3,4,5 中任取 3 个不同 的数,则这 3 个数构成一组勾股数的概率为( 3 A. 10 1 B. 5 1 C. 10 1 D. 20 )

考点四:几何概型 1. 设不等式组{x+y≤ 2?x-y≥- 2?y≥0 所表示的区域为 M, 函数 y= 1-x2的图象与 x 轴所围成的区域为 N, 向 M 内随机投一个点,则该点落在 N 内的概率为( 2 A. π π B. 4 π C. 8 π D. 16 )

1? 2.在区间[0,π]上随机取一个实数 x,使得 sinx∈? ?0,2?的概率为( 1 A. π 综合练习 2 B. π 1 C. 3 2 D. 3

)

1.某城市 100 户居民的月平均用电量(单位: 度), 以[160,180), [180,200), [200,220), [220,240), [240,260), [260,280), [280,300]分组的频率分布直方图如下图. (1)求直方图中 x 的值; (2)求月平均用电量的众数和中位数; (3)在月平均用电量为[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]的四组 用户中,用分层抽样的方法抽取 11 户居民,则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户?
-2-

2. 某位同学进行寒假社会实践活动,为了对白天平均气温与某奶茶店的某种饮料销量之间的关系进行分析研究,他 分别记录了 1 月 11 日至 1 月 15 日的白天平均气温 x(℃)与该奶茶店的这种饮料销量 y(杯),得到如下数据: 日期 平均 气温 x(℃) 销量 y(杯) 1 月 11 日 9 23 1 月 12 日 10 25 ^ 日的白天平均气温为 7 ℃时奶茶店这种饮料的销量. ^
n

1 月 13 日 12 30

1 月 14 日 11 26

1 月 15 日 8 21

(1)若先从这 5 组数据中抽出 2 组,求抽出的 2 组数据恰好是相邻 2 天数据的概率; ^ ^ (2)请根据所给 5 组数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程y=bx+a;并根据线性回归方程预测当气象台预报 1 月 16 ^ ^
n

附:线性回归方程y=bx+a中, - - -- ? ^ ? ∑ ?x - x ??y - y ? ∑x y -n x y ^ - ^- = ?a= y -b x ?b= - - ? ∑ ?x - x ? ∑x -n x ?
i=1 i i n i=1 n i i i=1 i 2 i=1 2 i 2

- - ,其中 x , y 为样本平均值.

3.某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况,随机访问 50 名职工,根据这 50 名职工对该部门的评分,绘 制频率分布直方图(如图所示),其中样本数据分组区间为:[40,50),[50,60),?,[80,90),[90,100]. (1)求频率分布直方图中 a 的值; (2)估计该企业的职工对该部门评分不低于 80 的概率; (3)从评分在[40,60)的受访职工中,随机抽取 2 人,求此 2 人的评分都在[40,50)的概率.

4.某校高三年级有 400 人,在省标准化考试中,用简单随机抽样的方法抽取一个容量为 50 的样本,得到数学成绩的 频率分布直方图如图所示. (1)求第四个小矩形的高; (2)估计该校高三年级学生在这次省标准化考试中数学 成绩在 120 分以上(包括 120 分)的人数; (3)已知样本中,成绩在[100,110)内的学生中有 2 名女生,现从成绩在[100,110) 内的学生中选取 2 名学生进行座谈,求选取的 2 名学生中 1 名是男生 1 名是女生的概率.

-3-

综合训练 1.如图,在底面是正三角形的直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1=AB=2,D 是 BC 的中点. (1)求证:A1C∥平面 AB1D; (2)求点 A1 到平面 AB1D 的距离.

2.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为梯形,∠ABC=∠BAD=90° ,BC=2 2,AP=AD=AB= 2, ∠PAB=∠PAD=α. AE (1)试在棱 PA 上确定一个点 E,使得 PC∥平面 BDE,并求出此时 的值; EP (2)当 α=60° 时,求证:CD⊥平面 PBD.

π? 3. 在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆 C 的极坐标方程为 ρ=2 2cos? ?θ+4?,

?x=t 直线 l 的参数方程为? (t 为参数),直线 l 和圆 C 交于 A,B 两点,P 是圆 C 上不同于 A,B 的任意一 ?y=-1+2 2t
点.(1)求圆心的极坐标;(2)求△PAB 面积的最大值.

?x=2- 3t 4.在平面直角坐标系 xOy 中,过点 P(2,0)的直线 l 的参数方程为? (t 为参数),圆 C 的方程为 x2+y2=9. y = t ?
以坐标原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (1)求直线 l 和圆 C 的极坐标方程;(2)设直线 l 与圆 C 相交于 A,B 两点,求|PA|· |PB|的值.

-4-



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