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全国数学联赛金牌教练 高中奥数辅导:第十三讲 联赛训练之平面图形 立体图形 空间向量



全国高中数学联赛

金牌教练员讲座

兰州一中数学组

第十三讲:联赛训练之平面图形 立体图形 空间向量
一,基础知识导引 <一>,直线,平面之间的平行与垂直的证明方法 1,运用定义证明(有时要用反证法); 2,运用平行关系证明; 3,运用垂直关系证明; 4,建立空间直角坐标系,运用空间向量证明.

例如,在证明:直线 a ? 直线 b 时.可以这样考虑 (1),运用定义证明直线 a 与 b 所成的角为 9 0 ; (3),运用“若 a ? 平面 ? , b ? ? ,则 a ? b ”; (5),建立空间直角坐标系,证明 a ? b ? 0 . <二>,空间中的角和距离的计算 1,求异面直线所成的角 (1),(平移法)过 P 作 a // a , b // b ,则 a 与 b 的夹角就是 a 与 b 的夹角; (2),证明 a ? b (或 a // b ),则 a 与 b 的夹角为 9 0 (或 0 );
0 ' 0

(2),运用三垂线定理或其逆定理; (4),运用“若 b // c 且 a ? c ,则 a ? b ”;

? ?

'

'

'

0

(3),求 a 与 b 所成的角( ? ? [0, ? ] ),再化为异面直线 a 与 b 所成的角( ? ? (0,

?

?

?
2

] ).

2,求直线与平面所成的角 (1),(定义法)若直线 a 在平面 ? 内的射影是直线 b ,则 a 与 b 的夹角就是 a 与 ? 的夹角; (2),证明 a ? ? (或 a // ? ),则 a 与 ? 的夹角为 9 0 (或 0 );
0

0

(3)求 a 与 ? 的法向量 n 所成的角 ? ,则 a 与 ? 所成的角为 90 ? ? 或 ? ? 9 0 .
0 0

?

?

3,求二面角 (1),(直接计算)在二面角 ? ? A B ? ? 的半平面 ? 内任取一点 P ? A B ,过 P 作 AB 的垂线, 交 AB 于 C,再过 P 作 ? 的垂线,垂足为 D,连结 CD,则 C D ? A B ,故 ? P C D 为所求的二面角. (2),(面积射影定理)设二面角 ? ? A B ? ? 的大小为 ? ( ? ? 90 ),平面 ? 内一个平面图形 F
0

的面积为 S 1 ,F 在 ? 内的射影图形的面积为 S 2 ,则 co s ? ? ?

S2 S1

.(当 ? 为钝角时取“ ? ”).

(3),(异面直线上两点的距离公式): E F ? d ? m ? n ? 2 m n cos ? ,其中 ? 是二面角
2 2 2 2

? ? A B ? ? 的平面角,EA 在半平面 ? 内且 E A ? A B 于点 A,BF 在半平面 ? 内且 FB ?
33

AB 于 B,而 A B ? d , E A ? m , F B ? n . (4),(三面角的余弦定理),三面角 S ? A B C 中, ? B SC ? ? , ? C SA ? ? , ? A S B ? ? ,又二面角
B ? SA ? C ? ? ,则 co s ? ?

co s ? ? co s ? co s ? sin ? sin ?

.
?? ?

(5),(法向量法)平面 ? 的法向量 n1 与平面 ? 的法向量 n 2 所成的角为 ? ,则所求的二面角为
? (同类)或 ? ? ? (异类).

??

4,求两点 A,B 间距离
??? ?

(1),构造三角形进行计算; (2),导面直线上两点间的距离公式; (3),求 A B . 5,求点到直线的距离 (1),构造三角形进行计算; (2),转化为求两平行红色之间的距离. 6,求点到平面的距离 (1),直接计算从点到平面所引垂线段的长度; (2),转化为求平行线面间的距离或平行平面间的距离; (3),(体积法)转化为求一个棱锥的高 h ?
??? ?

3V S

,其中 V 为棱锥体积,S 为底面面积, h 为底面上的高.(4),在

平面上取一点 A,求 A P 与平面的法向量 n 的夹角的余弦 co s ? ,则点 P 到平面 的距离为 d ? A P ? co s ? . 7,求异面直线的距离 (1)(定义法)求异面直线公垂线段的长; (2)(体积法)转化为求几何体的高; (3)(转化法)转化为求平行线面间的距离或平行平面间的距离; (4)(最值法)构造异面直线上两点间距离的函数,然后求函数的最小值; (5)(射影法)如果两异面直线 a , b 在同一平面内的射影分别是一个点 P 和一条直线 l , 则 a 与 b 的距离等于 P 到 l 的距离; (6)(公式法) d ? E F ? m ? n ? 2 m n cos ? .
2 2 2 2

??? ?

8,求平行的线线,线面,面面之间的距离的方法,通常是转化为求点与线或点与面之间的距离. <三>,多面体与旋转体 1,柱体(棱柱和圆柱) (1)侧面积 S 侧 ? c ? l ( c 为直截面周长, l 为侧棱或母线长)(2)体积 V ? S h ( S 为底面积, h 为高) 2,锥体(棱锥与圆锥) (1)正棱锥的侧面积 S 侧 ?
1 2 c ? h ( c 为底面周长, h 为斜高)(2)圆锥的侧面积: S 侧 ? ? rl
'

'

( r 为底面周长, l 为母线长)(3)锥体的体积: V ?
S1 S h1 h
2

1 3

S h ( S 为底面面积, h 为高).
h1 h
3

3,锥体的平行于底面的截面性质:

?

2

,

V1 V

?

3

.

34

4,球的表面积: S ? 4 ? R ; 球的体积: V ?
2

4 3

?R .
3

二,解题思想与方法导引 1,空间想象能力; 2,数形结合能力; 3,平几与立几间的相互转化; 4,向量法 三,习题导引 <一>,选择题 1,正四面体的内切球和外接球的半径之比为 A,1:2 B,1:3 C,1:4
2 2

D,1:9

2,由曲线 x ? 4 y , x ? ? 4 y , x ? 4 , x ? ? 4 围成的图形绕 y 轴旋转一周所得的几何体的体 积为 V 1 ;满足 x ? y ? 1 6 , x ? ( y ? 2) ? 4 , x ? ( y ? 2) ? 4 的点 ( x , y ) 组成的图形绕
2 2 2 2 2 2

y 轴旋转一周所得的几何体的体积为 V 2 ,则

A, V1 ?

1 2

V2

B, V1 ?

2 3

V2

C, V1 ? V 2

D, V1 ? 2V 2 D

3,如右图,底面半径 r ? 1 ,被过 A,D 两点的倾斜平面所截,截面是离心 率为
2 2

的椭圆,若圆柱母线截后最短处 A B ? 1 ,则截面以下部分的 A B, 2 ? C, ? D, (1 ?
2 2 )?

几何体体积是 A,
3? 2

C
?
3

B

4,在四面体 ABCD 中,设 A B ? 1 , C D ? 面体 ABCD 的体积等于 A,
3 2

3 ,直线 AB 与 CD 的距离为 2,夹角为

,则四

B,

1 2

C,

1 3

D,

3 3

5,三个圆柱侧面两两相切,且它们的轴也两两相互垂直,如果每个圆柱底面半径都是 1, 那么,与这三个圆柱侧面都相切的最小球的半径是 A, 2 ? 1 B,
2 ?1 2

C,

5 ?1 2

D,

5 ?1 4

6,四面体 ABCD 的顶点为 A,B,C,D,其 6 条棱的中点为 M 1 , M 2 , M 3 , M 4 , M 5 , M 6 ,共 10 个 点,任取 4 个点,则这 4 个点不共面的概率是 A,
5 7

B,

7 10

C,

24 35

D,

47 70

<二>,填空题
' 7,正方体 A B C D ? A B C D 的棱长为 a ,则异面直线 C D 与 BD 间的距离等于
' ' ' '

.
n ,( m ,
35

0 8,正四棱锥 S ? A B C D 中, ? A S B ? 4 5 ,二面角 A ? SB ? C 为 ? 且 co s ? ? m ?

. 9,在正三棱锥 P ? A B C 中, A B ? a , P A ? 2 a ,过 A 作平面分别交平面 PBC 于 DE.当截面
? A D E 的周长最小时, S ? A D E ?

n 为整数),则 m ? n ?

,P 到截面 ADE 的距离为

.

10,空间四个球,它们的半径分别是 2,2,3,3.每个球都与其他三个球外切.另一个小球与这 四个球都相切,则这个小球的半径等于 . 11,三个 12 ? 12 的正方形都被连接两条邻边的中点的直线分成 A,B 两 片,如图,把这六片粘在一个正六边形的外面,然后折成多面体,则这个 多面体的体积为 . 12,直三棱柱 A1 B1C 1 ? A B C 中,平面 A1 B C ? 平面 A B B1 A1 ,且 A C =
3 A A1 ,则 AC 与平面 A1 B C 所成的角 ? 的取值范围是

B

A .

<三>,解答题 13,如图,直三棱柱 A B C ? A1 B1C 1 中, A C ? B C ,连接 A B1 , B C 1 ,
C A1 ,若 A B1 ? B C 1 ,求证: A B1 ? C A1

C1 B1

A1

C B

A

S 14,如图,设 S ? A B C D 是一个高为 3,底面边长为 2 的正四棱锥, K 是棱 SC 的中点,过 AK 作平面与线段 SB,SD 分别交于 M,N (M,N 可以是线段的端点).试求四棱锥 S ? A M K N 的体积 V 的最大值与最小值. A K M B C

N D

15,有一个 m ? n ? p 的长方体盒子,另有一个 ( m ? 2) ? ( n ? 2) ? ( p ? 2) 的长方体盒子, 其中 m , n , p 均为正整数( m ? n ? p ),并且前者的体积是后者一半,求 p 的最大值.

36

四,解题导引 1,B 设棱长为 a ,外接球的半径为 R,内切球的半径为 r ,则 R ? (
2

3 3

a) ? (
2

6 3

a ? R)

2

解得 R ?

6 4

a ,r ?

6 3

a?

6 4

a ?

6 12

a ,有 r :R=1:3.

2,C 设 A (0, a )( a ? 0 ) ,则过 A 的两个截面都是圆环,面积分别是 (4 ? x )? ? (4 ? 4 a )? 和
2 2 2

( x1 ? x 2 )? ? {(4 ? a ) ? [2 ? ( a ? 2) ]}? ? (4 ? 4 a ) ? ,于是 V1 ? V 2 .
2 2 2 2 2 2 2

3,B 在椭圆中 b ? r ? 1 ,又

c a

?

2 2

,得 a ?

2 ,所求的体积 V ? ? ? 1 ? 1 ?
2

1 2

(? ? 1 ? 2 ) ? 2 ?
2

4,B 过 C 作 C E // A B ,以 ? C D E 为底面,BC 为侧棱作棱柱 A B F ? E C D ,则所求四面体的体
C E ? C D ? sin ? E C D ,AB 与 CD 2 1 的公垂线 MN 就是棱柱 A B F ? E C D 的高,于是 V 2 ? M N ? C E ? C D ? sin ? E C D = 2

积 V 1 等于上述棱柱体积 V 2 的

1

,而 ? C D E 的面积 S ?

1

3

1 2

? 2 ?1?

3?

3 2

?

3 2

,因此 V1 ?

1 3

V2 ?

1 2

.

5,A 三个圆柱的轴为三条两两垂直的异面直线,而异面直线的距离都为 2,则所求球的半径为
r ? 2 ?1.

6,D

C10 ? 6 C 6 ? 6 ? 3
4 4

C10
3 3

4

?

141 270

?

47 70

.

7,

a

设 E 是 C D 上的点,过 E 作 EH ? D C 于 H,所以 EH ? 面 ABCD,过 H 在面 ABCD
'

内作 HF ? B D ,连接 EF,所以 EF ? BD,令 D H ? x , H E ? a ? x , F H ?

2 2

x ,所以 EF=

(a ? x) ? (
2

2 2

x) ?
2

3 2

x ? 2ax ? a
2

2

?

3 2

(x ?

2 3

a) ?
2

a

2

?

3 3

a.

3

8,5 因各侧面为全等的等腰三角形.在 ? S A B 内作高 AE,则 CE 也是 ? S B C 的高,故

37

? A E C ? ? .设 S A ? 1 则 A E ? C E ?

1 2

, A B ? B C ? 2 sin

45 2

0

, AC ? AB ? BC
2 2

2

= 8 sin

2

45 2

0

? 4 (1 ? co s 4 5 ) ? 4 ? 2 2 . co s ? ?
0

AE ? CE ? AC
2 2

2

2 AE ?CE

? ?3 ?

8 ,

得 m ? n ? ?3 ? 8 ? 5 . 9,
3 55 64 a
2

;

3 5 5

a

将三棱锥的侧棱 PA 剪开,当 ? A D E 的周长最小时,其展开图如图 P

? A D E 的周长即是展开图中线段 A A 的长.易证 ? A B D
'

∽ ? P A B ,又 PA=2AB= 2 a ,故 A D ? A B ? 2 B D ? a ,
PD ? PB ? BD ? 3 2 a , DE ?
1 2
1 2 3 55 64

PD PB

? BC ?

3 4

a . ? A D E 中,

D A
a .于是

E C

A’

DE 上的高 A H ?

AD ? (
2

DE ) ?
2

55 8

B

S ?ADE ?

? AH ? DE ?

a ;

2

从 P 向底面作高 PO.则 PO= P A ? A O
2

2

= (2a ) ? (
2

1 3

a) ?
2

33 3

a .于是 V P ? A B C ?

1 3

?

33 3 9 16

a?

3 4

a ?
2

11 12

a .

3



S ?PDE S ?PBC

?

PD PB

2 2

?

9 16

,得 V A ? P D E ?

9 16

V A ? PBC ?

?

11 12

a ?
3

3 11 64

a .设 P 到截面的距离

3

为 d ,则 V A ? P D E ? V P ? A D E ? 10,
6 11

1 3

d ? S ?ADE ?

3 11 64

a ,于是 d ?
3

3 5 5

a.

C 设半径为 3 的球心为 A,B,半径为 2 的球心为 C,D.则易知 F O E A B

AB=6,CD=4,AC=AD=BC=BD=5.设小球中心为 O,半径为 r ,则 O 在 四面体 ABCD 内且 AO=BO=3+ r ,CO=DO=2+ r .取 AB 中点 E,连结 CE,DE,则 CE ? AB,DE ? AB,故平面 CDE 为线段 AB 的垂直平分面 ? ,所以 O 在平面 CDE 内,又由 OC=OD=2+ r 知 O 在 CD 的垂直平

D

分面 ? 内,故 O 在等腰 ? C E D 底边 CD 上的高 EF 上(F 为 CD 中点),易算出 ED=EC=
3 2

5 ? 3 ? 4 ,得 ? E C D 为等边三角形.于是 EF=
2 2

E D ? 2 3 .而 O F ?

OC ? CF
2

2

= (2 ? r ) ? 2 ?
2 2

r ( 4 ? r ) .OE= O A ? A E
2

2

?

(3 ? r ) ? 3 ?
2 2

r (6 ? r ) ,代入 OE+OF

38

=EF=2 3 得 r (4 ? r ) ?

r (6 ? r ) ? 2 3 ,解得 r ?

6 11

.
12 2
3

11,864 将几何体补成一个棱长为 12 的正方体,几何体的体积为正方体体积的一半,为 12, 0 ? ? ? 3 0
0

.

0

作 AD ? A1 B 于 D,易证 AD ? 平面 A1 B C ,所以 ? A C D ? ? .设 A A1 ? a ,
ax a ? x
2 2

A B ? x ,则 A D ?

?

3 a ? sin ? ,故 x ?
2

3 a sin ?
2 2

1 ? 3 sin ?
2 2

.易证 BC ? 平面 A1 A B B1 ,

0 故 ? C B A ? 90 ,从而 A B ? A C ,即 x ?

3 a ,于是 0 ?

3 a sin ?
2

1 ? 3 sin ?
2

? 3 a , sin ? ?
2

1 2

,

又 0 ? ? ? 9 0 ,得 0 ? ? ? 3 0 .
0 0 0 0

13,证明:设 D, D 1 分别为 AB, A1 B1 的中点.连结 CD, C 1 D 1 及 B D1 , D A1 .因为 B D // D 1 A1 ,所以 四边形 B D1 A1 D 为平行四边形,得 B D1 // D A1 .因 AC=BC,于是 B1C 1 ? C 1 A1 .又 D, D 1 分别为 AB, A1 B1 的中点,故 CD ? AB, C 1 D 1 ? A1 B1 ,而 A B1 在平面 ABC(或 A1 B1C 1 )内的射影为 AB (或 A1 B1 ),得 A B1 ? CD, A B1 ? C 1 D 1 ,又已知 A B1 ? B C 1 ,所以 A B1 ? 平面 B C 1 D 1 ,从而 A B1
? B D1 ,又 B D1 // D A1 ,所以 A B1 ? D A1 .又 A B1 ? C 1 D 1 ,得 A B1 ? 平面 A1 CD,从而得证.

14,解:为了建立 V 与原四棱锥 S ? A B C D 的关系.我们先引用 下面的事实: (如图)设 A1 , B1 , C 1 分别在三棱锥 S ? A B C 的侧棱 SA,SB,SC 上, A1 又 S ? A1 B1C 1 与 S ? A B C 的体积分别是 V 1 和 V,则 A
V1 V ? S A1 ? S B1 ? S C 1 SA ? SB ? SC

S H1 C1 B1 H C B

.
C1 H 1 CH ? S C1 SC

事实上,设 C, C 1 在平面 SAB 的射影分别是 H, H 1 .则
1

,



S ?SA B
1

1

S ?SAB

? C 1 H 1 ? S ?SA B 1 1 S A1 ? S B 1 ? S C 1 ? 3 ? ? ,所以 .下面回到原题. 1 V SA ? SB ? SC SA ? SB ? C H ? S ?SAB 3

S A1 ? S B1

V1


V 1 2

SM SB
?

? x,

SN SD

? y ,因 S ? A B C D 的体积为 V 0 ?
VS ? KMN V S ?CBD ? VS ? AM K V S ? ABC ? V
S ? ANK

1 3

? 3 ? 2 ? 4 .于是由上面的事实有
2

V S ? AM N V S ? ABD

?

.得

V 2

?

SM ? SN ? SA SB ? SD ? SA

?

SM ? SN ? SK SB ? SD ? SC

=

V0

V S ? ADC

39

SM ? SK ? SA SB ? SC ? SA

SD ? SC ? SA 2 2 2 3x ?1 x 1 x 1 ? 1 , x ? 1 ,得 ? x ? 1 .则 V ? x ? y ? x ? 而由 0 ? y ? ,( ? x ? 1 ). 3x ? 1 2 3x ? 1 2

?

SN ? SK ? SA

= xy ?

1

xy ?

1

x?

1

y ,于是 y ?

x

,

又得 V ? 1 ?
'

1 (3 x ? 1)
2

?

3 x (3 x ? 2 ) (3 x ? 1)
2

.所以
2 3

(1)当

1 2

? x?

2 3

时, V ? 0 ,V 为减函数,(2)当
'

? x ? 1 时, V ? 0 ,V 为增函数.
'

所以得 V m in ? V

x?

2 3

?

4 3

,又 V

x?

1 2

? V x ?1 ?

3 2

,得 V m ax ? V

x?

1 2

? V x ?1 ?

3 2

.

15,解:由题意, 2 m np ? ( m ? 2)( n ? 2)( p ? 2) ,得 (1 ?

2 m

)(1 ?

2 n 2 8

)(1 ?

2 p

) ? 2.

(1)当 m ? 8 时,由 m ? n ? p ,则 (1 ?

2 m

)(1 ?

2 n

)(1 ?

2 p

) ? (1 ?

) ? 2 ,矛盾!
3

(2)当 m ? 2 时, (1 ?

2 m

)(1 ?

2 n

)(1 ?

2 p

) ? 2 ,矛盾!

(3)当 m ? 3 时,则 6 np ? 5( n ? 2)( p ? 2) ,即 ( n ? 1 0 )( p ? 1 0 ) ? 1 2 0 . 所以 p 的最大值为 130; (4)当 m ? 4 时,则 4 np ? 3( n ? 2)( p ? 2) ,即 ( n ? 6)( p ? 6) ? 48 . 所以 p 的最大值为 54; (5)当 m ? 5 时, (1 ?
2 p )? (1 ? 2 2 m )(1 ? 2 n ) ? (1 ? 2 2 5 )(1 ? 2 5 )

,得 p ? 98 .

综上所述: p 的最大值为 130. [参考题] (如图)在棱长为 1 的正方体 ABCD -A 1 B 1 C 1 D 1 中, (1)求异面直线 A 1 B 与 B 1 C 所成的角的大小;( 6 0 )
3 3
0 0

D1 A1 B1

C1

(2)求异面直线 A 1 B 与 B 1 C 之间的距离;(

) A

D C B

(3)求直线 A 1 B 与平面 B 1 CD 所成的角的大小;( 3 0 ) (4)求证:平面 A 1 BD//平面 C B 1 D 1 ;(略) (5)求证:直线 A C 1 ? 平面 A 1 BD;(略)

(6)求证:平面 AB C 1 ? 平面 A 1 BD;(略)
40

(7)求点 A 1 到平面 C B 1 D 1 的距离;(

3 3

)(8)求二面角 A 1 ? B 1 C ? D 1 的大小.( a rc c o s

6 3

)

41



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