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函数的奇偶性与周期性



A 函数的奇偶性与周期性] 1.[2013· 金华模拟] 若函数 f(x)=ax2+(2a2-a-1)x+1 为偶函数,则实数 a 的值为( 1 A.1 B.- 2 1 C.1 或- D.0 2 2.下列函数中,是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减的是( )
x
1 2

)

A.y=2 B.y=x C.y=2log

0.3x D.y=-x2 3. [2013· 吉林二模] 已知 f(x)是 R 上的奇函数, 且当 x∈(-∞, 0]时, f(x)=-xlg(3-x), 那么 f(1)的值为( ) A.0 B.lg 3 C.-lg 3 D.-lg 4 ?x2+2x,x≥0, ? 4.[2013· 保定一模] 已知函数 f(x)=? 为奇函数,则 f[g(-1)]=( ) ? ?g(x),x<0 A.-20 B.-18 C.-15 D.17 5.[2013· 济宁一模] 现有四个函数:①y=x· sinx;②y=x· cosx;③y=x· |cosx|;④y=x· 2x 的图像(部分)如下,但顺序被打乱,则按照从左到右将图像对应的函数序号安排正确的一组 是( )

图 K6?1 A.④①②③ B.①④③② C.①④②③ D.③④②① 1,x>0, ? ? 6.[2013· 福州一模] 己知函数 f(x)=?0,x=0,设 F(x)=x2·f(x),则 F(x)是( ? ?-1,x<0. )

A.奇函数,在区间(-∞,+∞)上单调递减 B.奇函数,在区间(-∞,+∞)上单调递增 C.偶函数,在区间(-∞,0)上单调递减,在区间(0,+∞)上单调递增 D.偶函数,在区间(-∞,0)上单调递增,在区间(0,+∞)上单调递减 2-x 7.函数 f(x)=log2 的图像( ) 2+x A.关于原点对称 B.关于直线 y=-x 对称 C.关于 y 轴对称 D.关于直线 y=x 对称 8.[2013· 淄博一模] 设定义在 R 上的奇函数 y=f(x),满足对任意 x∈R 都有 f(x)=f(1- 1? 3 2 x),且 x∈? ) ?0,2?时,f(x)=-x ,则 f(3)+f(-2)的值等于( 1 1 1 1 A.- B.- C.- D.- 2 3 4 5 9.[2013· 山西师大附中期末] 设函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数,当 x∈[0, 1]时,f(x)=x+1,则 f(2013.5)=________. ? ?-1,-2≤x≤0, 10.[2013· 宁波二模] 设函数 f(x)=? 若函数 g(x)=f(x)-ax,x∈[-2, ? ?x-1,0<x≤2.

2]为偶函数,则实数 a 的值为________. 11.[2013· 宜宾一诊] 已知 f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且 f(1)=1,当 x1,x2∈[- f(x1)+f(x2) 1, 1], 且 x1+x2≠0 时, 有 >0.若 f(x)≤m2-2am+1 对所有 x∈[-1, 1], a∈[- x1+x2 1,1]恒成立,则实数 m 的取值范围是__________________. a 12.(13 分)已知函数 f(x)=x2+ (x≠0,a∈R). x (1)判断函数 f(x)的奇偶性; (2)若 f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,求实数 a 的取值范围.

2 ? ?-x +x(x>0), 13.(12 分)若函数 f(x)=? 2 当 a 为何值时,f(x)是奇函数,并证明. ?ax +x(x≤0), ?

B

[第 6 讲 函数的奇偶性与周期性]

1.奇函数 f(x)在区间[3,7]上是增函数,在区间[3,6]上的最大值为 8,最小值为-1, 则 2f(-6)+f(-3)的值为( ) A.10 B.-10 C.-15 D.15 3 2.若 f(x)是偶函数,其定义域为(-∞,+∞),且在[0,+∞)上是减函数,则 f(- )与 2 5 f(a2+2a+ )的大小关系是( ) 2 3 5 A.f(- )>fa2+2a+ ) 2 2 3 5 2 B.f(- )<fa +2a+ ) 2 2 3 5 2 C.f(- )≥fa +2a+ ) 2 2 3 5 D.f(- )≤fa2+2a+ ) 2 2 3.奇函数 f(x)在(0,+∞)上的解析式是 f(x)=x(1-x),则在(-∞,0)上 f(x)的函数解析 式是( ) A.f(x)=-x(1-x) B.f(x)=x(1+x) C.f(x)=-x(1+x) D.f(x)=x(x-1) 1 4.若 f(x)= x +a 是奇函数,则 a=________. 2 -1 5 5.设 f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时,f(x)=2x(1-x),则 f(- )=( ) 2 1 1 1 1 A.- B.- C. D. 2 4 4 2 6. 已知函数 f(x)是(-∞, +∞)上的偶函数. 若对于 x≥0, 都有 f(x+2)=f(x), 且当 x∈[0, 2)时,f(x)=log2(x+1),则 f(-2012)+f(2013)的值为( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2

1 7. 已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 其图像关于直线 x=1 对称, 且 f( )=0, 则方程 f(x) 2 =0 在(0,5)内解的个数的最小值是( ) A.4 B.5 C.6 D.7 8.[2013· 南昌重点中学联考] 已知定义在 R 上的函数 y=f(x)满足下列三个条件:①对 任意的 x∈R 都有 f(x+2)=-f(x),②对任意的 0≤x1<x2≤2,都有 f(x1)<f(x2),③y=f(x+2) 的图像关于 y 轴对称.则下列结论中,正确的是( ) A.f(4.5)<f(6.5)<f(7) B.f(4.5)<f(7)<f(6.5) C.f(7)<f(4.5)<f(6.5) D.f(7)<f(6.5)<f(4.5) ?3x+a(x≥0), ? 9 . [2013· 山 东 临 沂 二 模 ] 已 知 奇 函 数 f(x) = ? 则 g( - 2) 的 值 为 ? ?g(x)(x<0), ____________. - 10. [2013· 宁德质检] 已知 f(x)=4x+1, g(x)=4 x.若偶函数 h(x)满足 h(x)=mf(x)+ng(x)(其 中 m,n 为常数),且其最小值为 1,则 m+n=________. + 2011x 1+2010 π π 11.[2013· 黄冈期末] 设函数 f(x)= +2012sin x,x∈?- , ?的最大值 x ? 2 2? 2011 +1 为 M,最小值为 N,则 M+N=________. 12.(13 分)设函数 f(x)=x2+|x-2|-1,x∈R. (1)判断函数 f(x)的奇偶性; (2)求函数 f(x)的最小值.

13.(12 分)定义在(-1,1)上的函数 f(x)满足:对任意 x,y∈(-1,1),都有 f(x)+f(y) x+y =f( );当 x∈(-1,0)时,有 f(x)>0. 1+xy (1)判定 f(x)在(-1,1)上的奇偶性,并说明理由; (2)判定 f(x)在(-1,1)上的单调性,并给出证明; 1 1 1 (3)求证:f( 2 )=f( )-f( ) (n∈N*). n +3n+1 n+1 n+2

答案 1.C 2.D 3.D 4.C 5.C 1 6.B 7.A 8.C 9.1.5 10. 2 11.(-∞,-2]∪{0}∪[2,

+∞) 12.(1)当 a=0 时,f(x)=x2 为偶函数;当 a≠0 时,f(x)既不是奇函数也不是偶函数 (2)a≤16 13.a=1 时,f(x)是奇函数,证明略 课时作业(六)B 1 1.C 2.C 3.B 4. 5.A 6.C 7.D 8.B 2 2 9.-8 10. 3 11.4021

3 12.(1)f(x)既不是奇函数也不是偶函数 (2) 4 13.(1)奇函数,理由略 (2)减函数,证明略 (3)略



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