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【2015高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习:9.7(含答案)



第九章

9.7 第 7 课时

高考数学(理)黄金配套练习
一、选择题 x2 y2 1.双曲线25- 9 =1 上的点到一个焦点的距离为 12,则到另一个焦点的距离 为( ) A.22 或 2 B.7 C.22 D.2 答案 A 解析 由对称性,不妨设点在右支上,①若 12 为到右焦点的距离,则所求为 12+2a=22;②若 1

2 为到左焦点的距离,则所求为 12-2a=2,故本题答案为 A. x2 y2 2.已知二次曲线 4 + m=1,则当 m∈[-2,-1]时,该曲线的离心率 e 的取 值范围是( ) 2 3 2 6 A.[ 2 , 2 ] B.[ 2 , 2 ] 5 6 3 6 C.[ 2 , 2 ] D.[ 2 , 2 ] 答案 C x2 y2 解析 ∵m∈[ - 2,-1] ,∴曲线为双曲线,即 4 - = 1.∴c2 = 4- m.∴e2 -m c2 4-m m 5 3 5 6 =a2= 4 =1- 4 ∈[4,2].∴e∈[ 2 , 2 ],故选 C. 3.已知 F1、F2 为双曲线 C:x2-y2=1 的左、右焦点,点 P 在 C 上,∠F1PF2 =60° ,则 P 到 x 轴的距离为( ) 3 6 A. 2 B. 2 C. 3 D. 6 答案 B 解析 在△PF1F2 中, |F1F2|2 = |PF1|2 + |PF2|2 - 2|PF1|· |PF2|· cos60° = (|PF1| - 2 2 2 |PF2|) +|PF1|· |PF2|,即(2 2) =2 +|PF1|· |PF2|,解得|PF1|· |PF2|=4.设 P 到 x 轴的距 1 1 6 离为 h,由 S△F1PF2=2|PF1|· |PF2|· sin60° =2|F1F2|· h,解题 h= 2 . x2 y2 4.已知双曲线 C:a2-b2=1(a>0,b>0),以 C 的右焦点为圆心且与 C 的渐近 线相切的圆的半径是( ) A.a B.b C. ab D. a2+b2 答案 B b 解析 圆的半径即为双曲线 C 的右焦点到渐近线的距离, 渐近线方程为 y=ax, |bc| 即 bx-ay=0,所以 r= 2 =b. a +b2 5.某圆锥曲线 C 是椭圆或双曲线,若其中心为坐标原点,对称轴为坐标轴,

3 且过点 A(-2,2 3),B(2,- 5),则(

)

A.曲线 C 可为椭圆也可为双曲线 B.曲线 C 一定是双曲线 C.曲线 C 一定是椭圆 D.这样的曲线 C 不存在 答案 B 解析 设此曲线方程为 mx2+ny2=1,(m≠0,n≠0) 4m+12n=1, m=1, ? ? ? ? ∴?9 解之,得? 1 m + 5 n = 1 , n =- ? ? 4. ?4 ? y2 曲线 C 为双曲线 x2- =1. 4 2 2 x y 6.设双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的虚轴长为 2,焦距为 2 3,则双曲线的渐 近线方程为( ) A.y=± 2x B.y=± 2x 2 1 C.y=± 2 x D.y=± 2x 答案 C 解析 由题意知 2b=2,2c=2 3,所以 b=1,c= 3,a= c2-b2= 2,故双 2 曲线的渐近线方程为 y=± 2 x,选 C. 二、填空题 x2 y2 1 7.若双曲线 4 -b2=1(b>0)的渐近线方程为 y=± 2x,则 b 等于________. 答案 1 x2 y2 1 1 1 1 解析 4 -b2=1 的渐近线方程为 y=± bx ,∵ y = ± x ,∴ b = 2 2 2 2,∴b=1. 8.等轴双曲线 x2-y2=1 上一点 P 与两焦点 F1、F2 连线互相垂直,则△PF1F2 的面积为________. 答案 1 解析 设 P(x0,y0),则 x20-y20=1① →1=(- 2-x ,-y ), PF →1=( 2-x ,-y ) PF
0 0 0 0

→1· →2=0, ∴x2 -2+y2 =0② ∵PF PF 0 0 2 由①②解得|y0|= 2 1 ∴S△PF1F2=2· |F1F2|· |y0|=1 x2 y2 9.已知 F1、F2 是双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的两焦点,以线段 F1F2 为边作 正三角形 MF1F2,若边 MF1 的中点在双曲线上,则双曲线的离心率为________. 答案 3+1 解析 设正三角形 MF1F2 的边 MF1 的中点为 H,

则 M(0, 3c),F1(-c,0). 1 3 所以 H(-2c, 2 c),H 点在双曲线上, 1 3 (-2c)2 ( 2 c)2 故 - b2 =1, a2 化简 e4-8e2+4=0, 解得 e2=4+2 3,所以 e= 3+1. x2 y2 10.已知双曲线 2 -b2=1(b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,其一条渐近线方 →· → =________. 程为 y=x,点 P( 3,y )在该双曲线上,则PF PF
0 1 2

答案 解析

0 ∵双曲线的一条渐近线方程为 y=x,∴ b =1,即 b= 2,∴双曲线方 2

x2 y2 程为 2 - 2 =1,焦点 F1(-2,0),F2(2,0),∵点 P( 3,y0)在双曲线上,∴y2 0=1, →· → =(-2- 3,-y )· ∴PF PF (2- 3,-y )=0.
1 2 0 0

x2 y2 4 11.已知双曲线m - n =1 的一条渐近线方程为 y=3x,则该双曲线的离心率 e 为________. 5 5 答案 3或4 解析 设 m>0,n>0, n 4 n 16 m+n 25 5 ∴ m=3,∴m= 9 .∴ m = 9 .∴e=3. y2 x2 n 4 设 m<0,n<0.则 - =1,∴ m=3. -n -m m+n 25 n 16 m 9 5 ∴m= 9 .∴ n =16.∴ n =16.∴e=4. 5 5 ∴双曲线的离心率为3或4. x2 y2 x2 y2 12.已知双曲线a2-b2=1 的离心率为 2,焦点与椭圆25+ 9 =1 的焦点相同, 那么双曲线的焦点坐标为________;渐近线方程为________. 答案 (± 4,0) 3x± y=0. 解析 椭圆的焦点坐标是(± 4,0),这也是双曲线的焦点坐标.对于此双曲线, c 根据a=2 且 c=4,得 a=2,故 b= 16-4=2 3,所以双曲线的渐近线方程是 y b =± y=0. ax=± 3x,即 3x± 三、解答题 4 2 2 13.已知双曲线的渐近线方程为 y=± 3x,并且焦点都在圆 x +y =100 上,求 双曲线方程. 解析 法一:①当焦点在 x 轴上时,

x2 y2 设双曲线的方程为a2-b2=1(a>0,b>0), 4 因渐近线的方程为 y=± 3x, b 4 ? ? = ?a=6 并且焦点都在圆 x +y =100 上,∴?a 3 ,解得? , ?b=8 2 2 ? ?a +b =100 2 2 x y ∴双曲线的方程为36-64=1. y2 x2 ②当焦点在 y 轴上时,设双曲线的方程为a2-b2=1(a>0,b>0),因渐近线的方 a 4 ? ? = ?a=8 4 2 2 ?b 3 ? 程为 y=± x ,并且焦点都在圆 x + y = 100 上,∴ ,解得 . 3 ?b=6 2 2 ? ?a +b =100 2 2 y x ∴双曲线的方程为64-36=1. x2 y2 y2 x2 综上,双曲线的方程为36-64=1 和64-36=1. 法二:设双曲线的方程为 42· x2-32· y2=λ(λ≠0), |λ| |λ| 从而有( 4 )2+( 3 )2=100, 解得 λ=± 576, x2 y2 y2 x2 ∴双曲线的方程为36-64=1 和64-36=1. 14.
2 2

如图所示,双曲线的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,F1、F2 分别为左、右 π 焦点,双曲线的左支上有一点 P,∠F1PF2=3,且△PF1F2 的面积为 2 3,又双曲 线的离心率为 2,求该双曲线的方程. x2 y2 解析 设双曲线的方程为a2-b2=1 ∴F1(-c,0),F2(c,0),P(x0,y0). 在△PF1F2 中,由余弦定理,得 π |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|· |PF2|· cos3 =(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|· |PF2|, 2 2 即 4c =4a +|PF1|· |PF2|. 又∵S△PF1F2=2 3, 1 π ∴2|PF1|· |PF2|· sin3=2 3. ∴|PF1|· |PF2|=8.

∴4c2=4a2+8,即 b2=2. c 2 又∵e=a=2,∴a2=3. 3x2 y2 ∴所求双曲线方程为 2 - 2 =1. x2 y2 15.已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,过点 F 作直线 PF 垂直于 3 6 该双曲线的一条渐近线 l1 于 P( 3 , 3 ). (1)求该双曲线方程; (2)过点 F 作直线 l2 交该双曲线于 M, N 两点, 如果|MN|=4, 求直线 l2 的方程. b a 解析 (1)设 F(c,0),l1:y=ax,PF:y=-b(x-c). b ? ?y=ax a2 ab 解方程组? ,得 P( c , c ), a y =- ? ? bx-c 3 6 又已知 P( 3 , 3 ),故解得 a=1,b= 2, y2 2 所以双曲线方程为 x - 2 =1. (2)若直线 l2 垂直于 x 轴,交双曲线于 M,N. 由(1)得右焦点为 F( 3,0), y2 将 x= 3代入 x2- =1,得 y=± 2, 2 所以|MN|=4, 若直线 l2 不垂直于 x 轴,设 MF:y=k(x- 3), y2 代入 x2- 2 =1,得 2x2-k2(x- 3)2=2, 整理,得(2-k2)· x2+2 3k2x-3k2-2=0, 2 3k2 所以 x1+x2= 2 , k -2 如果 M,N 两点均在双曲线的右支上,则 k2>2; 如果 M,N 两点在双曲线的两支上,则 k2<2. 又若 M,N 两点均在双曲线的右支上,由于通径最短且为 4,故 M,N 两点只 可能分别在双曲线的两支上, 此时,设 M (x1,y1),N(x2,y2), 1 1 |MN|=||NF|-|MF||= 3[( -x2)-(x1- )], 3 3 所以 4=2- 3(x1+x2), 3· 2 3k2 2 即 2 =-2,k=± 2 , k -2 所以所求直线 l2 的方程为 2 x= 3或 y=± 2 (x- 3).

拓展练习·自助餐
x2 y2 1.P 是双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的右支上一点,F1,F2 分别为双曲线的左、 右焦点,焦距为 2c,则△PF1F2 的内切圆的圆心横坐标为( ) A.-a B.a C.-c D.c 答案 B 解析 如图所示内切圆与三条边的切点分别为 A、B、C,由切线性质 F1C= F1A,PC=PB,F2A=F2B

由双曲线定义知,PF1-PF2=2a 即(PC+CF1)-(PB+BF2)=2a ∴CF1-BF2=2a 即 F1A-F2A=2a ∵F1A+F2A=2c.∴F1A=a+c.∴A(a,0).选 B. 2.双曲线 mx2+y2=1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m 等于________. 1 答案 -4 6 3.下列曲线中离心率为 2 的是( ) x2 y2 x2 y2 A. 2 - 4 =1 B. 4 - 2 =1 x2 y2 x2 y2 C. 4 - 6 =1 D. 4 -10=1 答案 B 2 2 c 2 c2 a +b b2 3 b2 1 2 2 2 解析 ∵e=a,c =a +b ,∴e =a2= a2 =1+a2=2,∴a2=2,故选 B. x2 y2 4.设 a>1,则双曲线a2- =1 的离心率 e 的取值范围是( ) (a+ )2 A.( 2,2) B.( 2, 5) C.(2,5) D.(2, 5) 答案 B (a+ )2+a2 x2 y2 解 析 由 题 意 得 双 曲 线 a2 - =1 的离心率 e= = a (a+ )2 2 1 2+a+a2,又 a>1,∴ 2<e< 5. x2 y2 5.已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的左、右顶点分别为 A1,A2,右焦点为 →· → PA → =4. F(2,0),点 P 为双曲线上一点,PF A→ 1A2=0,PA1· 2 3

(1)求双曲线的方程; → =λ(3,1)且|EM → |=|EN → (2)若双曲线上有两个不同点 M,N,点 E(0,-1),当MN |时,求△MON 的面积(O 为原点). →· 解析 (1)由PF A→ A =0 得 PF⊥A A , b2 ∴P(c, a )(不妨设 P 在 x 轴上方), 又 A1(-a,0),A2(a,0), 2 2 → =(-a-c,-b ),PA → =(a-c,-b ), PA 1 2 a a 4 2 2 b b c 4 → → 2 2 2 2 ∴PA1· PA2=c -a +a2=b (1+a2)=b · 2= . a 3 2 2 2 ?a =3b ?a =3 ? 2 又∵c2=4,∴? 2 ,∴ , 2 ?a +b =4 ?b =1 x2 ∴双曲线方程为 3 -y2=1. → =λ(3,1)可知直线 MN 的斜率为 k=1, (2)由MN 3 1 设直线 MN:y=3x+m, 与 x2-3y2=3 联立整理得 2x2-6mx-9m2-9=0. 设 M(x1,y1),N(x2,y2), (m2+1) 则 x1+x2=3m,x1x2=- . 2 设 MN 的中点为 G(x0,y0), x1+x2 3m 1 3m 则 x0= 2 = 2 ,y0=3x0+m= 2 . → |=|EN → |得 MN⊥EG, 由|EM
1 2 1 2

∴kMN· kEG=-1, 3 m+1 1 2 1 ∴3× 3m =-1,∴m=-6, 2 1 37 此时 x1+x2=-2,x1x2=- 8 , 2 ∴|MN|= (1+k2 MN) (x1+x2) -4x1x2] 1 1 37 = ( +9) (-2)2- (- 8 ) 5 =6 30, |2× 0-6× 0-1| 1 又点 O 到直线 MN 的距离为 d= , 2 2 = 2 10 2 +(- ) 1 1 1 5 5 3 ∴S△MON=2×d×|MN|=2× ×6 30= 24 . 2 10



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