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一元二次不等式的解法上课用


一元二次不等式的解法(三)

? 分式不等式、高次不等式 及其解法

简单的分式不等式的解法

【例1】
解下列不等式:

x-3 (1) <0; x+2 x+1 (2) ≤1; 2x-3 2x+1 (3) <0. 1-x

[思路探索] 将分式不等式等价转化为一元二次不等式或一元一次不等式组.



x-3 (1) <0?(x-3)(x+2)<0?-2<x<3, x+2

∴原不等式的解集为{x|-2<x<3}. x+1 x+1 (2)∵ ≤1,∴ -1≤0, 2x-3 2x-3 -x+4 x-4 ∴ ≤0,即 ≥0. 3 2x-3 x- 2
? 3? 此不等式等价于(x-4)?x- ?≥0 2? ?

3 且 x- ≠0, 2

3 解得 x< 或 x≥4. 2

? ? ? 3 ∴原不等式的解集为?x?x< 或x≥4 ? ? ? 2

? ? ?. ? ?

1 x+ 2x+1 2 (3)由 <0 得 >0, 1-x x-1
? 1? 此不等式等价于?x+ ?(x-1)>0, 2? ?

1 解得 x<- 或 x>1, 2
? ? ? 1 ? ∴原不等式的解集为 x?x<- 或x>1 ? 2 ? ? ? ? ?. ? ?

分式不等式的解法
f?x? f?x? 先整理成标准型 >0(<0)或 ≥0(≤0),再化成整式不等式 g?x? g?x? 来解; f?x? (1) >0?f(x)· g(x)>0; g?x? f?x? (2) <0?f(x)· g(x)<0; g?x? ? g?x?≥0, ?f?x?· f?x? (3) ≥0?? g?x? ? ?g?x?≠0; ?f?x?· g?x?≤0, f?x? (4) ≤0?? g?x? ?g?x?≠0.

【变式1】 解下列不等式. 2x-1 (1) ≥0; 3x+1
2-x (2) >1. x+3
解 ? ??2x-1??3x+1?≥0, (1)原不等式可化为? ? ?3x+1≠0.

1 1 ? ?x≤-3或x≥2, 解得? ?x≠-1. ? 3 1 1 ∴x<- 或 x≥ , 3 2

? ? ? 1 1 ? ∴原不等式的解集为 x?x<- 或x≥ ? 3 2 ? ? ? ?x+3>0, 原不等式可化为? ? ?2-x>x+3

? ? ?. ? ? ? ?x+3<0, 或? ? ?2-x<x+3.

(2)法一

x>-3, x<-3, ? ? ? ? 1 解得? 或? ∴-3<x<- , 1 1 2 x<- x>- . ? ? ? ? 2 2
? ? ? 1 ? ? ∴原不等式的解集为 x -3<x<- ? 2 ? ? ? ? ? ? ?

法二

原不等式可化为

?2-x?-?x+3? -2x-1 >0,化简得 >0, x+3 x+3 2x+1 即 <0, x+3 1 ∴(2x+1)(x+3)<0,解得-3<x<- . 2
? ? ? 1 ? ? ∴原不等式的解集为 x -3<x<- ? 2 ? ? ? ? ? ? ?

?高次不等式的解法

?例3:解不等式(x-1)(x-2)(x-3) >0
分析:这是一个一元三次不等式,我们还是利用对函数图像的分 析来解决这个问题.设f(x)=(x-1)(x-2)(x-3). (1)显然,y=f(x)的图像与x轴的交点有三个,它们的坐标依次是

(1,0), (2,0), (3,0); (2)函数y=f(x)的图像把x轴分成了四个不相交的区间, 它们依
次是(-∞,1),(1,2),(2,3),(3,∞);

O

1

2

3

x

(3)当x>3时,f(x)>0.又函数y=f(x)的图像是一条不间断的曲线,
并且f(x)的符号每顺次经过x轴的一个交点就会发生一次变化, 由此知道f(x)的符号如图所示. 所以不等式(x-1)(x-2)(x-3)>0的解集为(1,2)∪(3,∞).

+
-

+

如果把函数y=f(x)的图像与x轴的 交点(1,0), (2,0), (3,0)形象 地看作”针眼”,函数y=f(x)的图

像看成”线”,那么上述这种求
解不等式的方法,我们形象地把 它称为穿针引线法.

例7 解不等式 ( x ?1)( x ? x ? 6) ? 0 .
2

解:原不等式? ( x ?1)(x ? 3)(x ? 2) ? 0

? ( x ? 2)(x ? 1)(x ? 3) ? 0
?
-2

.

?

1

.

?

.3 ?

∴原不等式的解集为:

{x | x ? ?2, 或1 ? x ? 3}.

例5:解不等式 x(x-3)(2-x)(x+1)>0.?
解:①将原不等式化为x(x-3)(x-2)(x+1)<0?

②求得相应方程的根为-1,0,2,3;?

③在数轴上表示各根并穿线(自右上方开始)
?

④原不等式的解集为{x|-1<x<0或2<x<3}.?

例 6: 解不等式:(x-2)2(x-3)3(x+1)<0.?
解:①检查各因式中x的系数均正;? ②求得相应方程的根为-1,2,3

(注意:2是二重根,3是三重根);?
③在数轴上表示各根并穿线,每个根 穿一次(自右上方开始),如下图 :?

④原不等式的解集为{x|-1<x<2或2<x<3}.?

穿针引线法(数轴标根法)解不等式的步骤:? ①将不等式化为(x-x1)(x-x2)…(x-x n)>0(<0)的形式,

并将各因式x的系数化“+”?
②求根,并在数轴上表示出来(注意空心?实心?)?

③由右上方穿线,经过数轴上表示各根的点?
④若不等式是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间;若 不等式是“<0”,则找“线”在x轴下方的区间. ? 穿线的原则:奇穿偶不穿

例7

解不等式:

?x ? 1??2 ? x ? ? 1 ?x ? 3??4 ? x ?
?x ? 1??x ? 2? ? 1 ? 0 ?x ? 3??x ? 4?
+ x

解:原不等式化为:

4x ? 10 即 ?x ? 3??x ? 4? ? 0
- · 5 2 + 3 · -

??4x ? 10??x ? 3??x ? 4? ? 0 ? ?x ? 3??x ? 4? ? 0 ?
· 4

5 ∴原不等式的解集为: {x | x ? , 或3 ? x ? 4} 2

作业

解不等式:1、

x ? 3x ? 2 ?0 2 x ? 2x ? 3
2

2、

x?3 >2 x?5
5 x 2 ? 10x ? 3 ?1 2 3x ? 7 x ? 2

3、


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