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新疆生产建设兵团一中2016届高三上学期第一次月考数学试卷(理科)



2015-2016 学年新疆生产建设兵团一中高三(上)第一次月考数 学试卷(理科)
一、单项选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.满足条件 M∪{1}={1,2,3}的集合 M 的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 [来源:学§科§网] |x| 2 2.已知函数 f(x)=5 ,g(x)=ax ﹣x(a∈R) ,若 f[g(1)]=1,则 a=( A.1 B.2 C.3 D.﹣1

)

3.若 f′(x0)=2,则 A.﹣1 B.﹣2 C.1 4.下列叙述正确的是(
3

等于( D. )
3

)

A.命题:?x∈R,使 x +sinx+2<0 的否定为:?x∈R,均有 x +sinx+2<0 2 2 B.命题:若 x =1,则 x=1 或 x=﹣1 的逆否命题为:若 x≠1 或 x≠﹣1,则 x ≠0 3n﹣7 C.己知 n∈N,则幂函数 y=x 为偶函数,且在 x∈(0,+∞)上单调递减的充分必要条件 为 n=1

D.函数 y=log2

图象关于点(1,0)中心对称的充分必要条件为 m=±1

5.已知 f(x)=

,则如图中函数的图象错误的是(

)

A.

B.

C.
x

D. )

6.已知命题 p:?x∈R,x﹣2>lgx,命题 q:?x∈R,e >1,则( A.命题 p∨q 是假命题 B.命题 p∧q 是真命题 C.命题 p∧(¬q)是真命题 D.命题 p∨(¬q)是假命题
x 2

7.关于 x 的方程 3 =a +2a 在(﹣∞,1]上有解,则实数 a 的取值范围是(

)

A.[﹣2,﹣1)∪(0,1] B.[﹣3,﹣2)∪[0,1] 2,﹣1)∪[0,1] 8.已知 a>b>0,则下列不等关系式中正确的是( A.sina>sinb B.log2a<log2b C.a <b

C.[﹣3,﹣2)∪(0,1] D.[﹣

) D. ( ) <( )
a b

9.设 f′(x)是函数 f(x)的导函数,将 y=f(x)和 y=f′(x)的图象画在同一个直角坐标 系中,不可能正确的是( )

A.

B.

C.

D.

10.定义在实数集 R 上的奇函数 f(x) ,对任意实数 x 都有 f( +x)=f( ﹣x) ,且满足 f (1)>﹣2,f(2)=m﹣ ,则实数 m 的取值范围是( A.﹣1<m<3 B.0<m<3 C.0<m<3 或 m<﹣1 ) D.m>3 或 m<﹣1

11.设

,则 a,b,c 的大小关系是(

)

A.a>c>b B.c>a>b C.a>b>c D.b>a>c 12.设函数 f(x)是定义在(﹣∞,0)上的可导函数,其导函数为 f′(x) ,且有 2f(x)+xf′ 2 2 (x)>x ,则不等式(x+2014) f(x+2014)﹣4f(﹣2)>0 的解集为( ) A. (﹣∞,﹣2012) B. (﹣2012,0) C. (﹣∞,﹣2016) D. (﹣2016,0)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.若定义在 x∈(﹣∞,0)∪(0,+∞)的偶函数 y=f(x)在(﹣∞,0)上的解析式为 , 则函数 y=f (x) 的图象在点 (2, f (2) ) 处的切线斜率为__________.

14.

=__________.

15.函数

的值域是__________.

16.有下列五个命题: ①若 A∩B=Φ,则 A,B 之中至少有一个为空集;[来源:Z*xx*k.Com] ②函数 y=
2

的定义域为{x|x≥1};

③集合 A={x∈R|x ﹣2x+1=0}有两个元素; ④函数 y=2x(x∈Z)的图象是一直线; 2 2 ⑤不等式(x ﹣4) (x﹣6) ≤0 的解集是{x|﹣2≤x≤2 或 x=6}. 其中错误命题的序号是__________.

三、解答题(本大题共 6 小题,其中第 17 题 10 分,其余每小题 10 分,共 70 分) 2 17.已知 m∈R,设 P:x1 和 x2 是方程 x ﹣ax﹣2=0 的两个根,不等式|m﹣5|≤|x1﹣x2|对任意 实数 a∈[1,2]恒成立;Q:函数 f(x)=3x +2mx+m+ 有两个不同的零点.求使“P 且 Q”为 真命题的实数 m 的取值范围. 18.设全集为 U=R,集合 A={x|(x+3) (x﹣6)≤0},B={x|log2(x+2)<4}. (1)求如图阴影部分表示的集合; (2)已知 C={x|2a<x<a+1},若 C?B,求实数 a 的取值范围.
2

19.一次函数 f(x)是 R 上的增函数,g(x)=f(x) (x+m) ,已知 f[f(x)]=16x+5. (Ⅰ)求 f(x) ; (Ⅱ)若 g(x)在(1,+∞)单调递增,求实数 m 的取值范围; (Ⅲ)当 x∈[﹣1,3]时,g(x)有最大值 13,求实数 m 的值. 20.已知函数 f(x)=(x+a) ﹣7bln x+1,其中 a,b 是常数且 a≠0. (1)若 b=1 时,f(x)在区间(1,+∞)上单调递增,求 a 的取值范围;[来源:Z,xx,k.Com] (2)当 b= a 时,讨论 f(x)的单调性. 21.已知函数 f(x)=(x +ax﹣2a﹣3)e ,
2 x 2 2

(Ⅰ)若 x=2 是函数 f(x)的一个极值点,求实数 a 的值; (Ⅱ)设 a<0,当 x∈[1,2]时,函数 f(x)的图象恒不在直线 y=e 上方,求实数 a 的取值 范围.
2

22.某种产品每件成本为 6 元,每件售价为 x 元(x>6) ,年销量为 u 万件,若已知 与 成正比,且售价为 10 元时,年销量为 28 万件. (1)求年销售利润 y 关于 x 的函数关系式. (2)求售价为多少时,年利润最大,并求出最大年利润.

2015-2016 学年新疆生产建设兵团一中高三(上)第一次 月考数学试卷(理科)
一、单项选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.满足条件 M∪{1}={1,2,3}的集合 M 的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【考点】并集及其运算. 【专题】集合. 【分析】先由 M∪{1}={1,2,3}可知集合 M 必含 2 和 3,是否含 1,不确定,则得出两种 可能集合,得出答案. 【解答】解:满足条件 M∪﹛1﹜=﹛1,2,3﹜的集合 M,M 必须包含元素 2,3, 所以不同的 M 集合,其中的区别就是否包含元素 1. 那么 M 可能的集合有{2,3}和{1,2,3}, 故选:B. 【点评】本题考查集合的并集运算,属于基础题目,较简单,掌握并集的定义即可. 2.已知函数 f(x)=5 ,g(x)=ax ﹣x(a∈R) ,若 f[g(1)]=1,则 a=( A.1 B.2 C.3 D.﹣1 【考点】函数的值. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】根据函数的表达式,直接代入即可得到结论. 【解答】解:∵g(x)=ax ﹣x(a∈R) , ∴g(1)=a﹣1, 若 f[g(1)]=1, 则 f(a﹣1)=1, 即5 =1,则|a﹣1|=0, 解得 a=1, 故选:A. 【点评】本题主要考查函数值的计算,利用条件直接代入解方程即可,比较基础.
|a﹣1| 2 |x| 2

)

3.若 f′(x0)=2,则

等于(

)

A.﹣1 B.﹣2 C.1 D. 【考点】极限及其运算. 【专题】极限思想. 【分析】首先应该紧扣函数在一点导数的概念,由概念的应用直接列出等式,与式子

对比求解.

【解答】解析:因为 f′(x0)=2,由导数的定义



=2?

=﹣1

所以答案选择 A. 【点评】此题主要考查函数在一点导数的概念的应用,属于记忆理解性的问题,这类题目属 于最基础性的. 4.下列叙述正确的是( ) 3 3 A.命题:?x∈R,使 x +sinx+2<0 的否定为:?x ∈R,均有 x +sinx+2<0 2 2 B.命题:若 x =1,则 x=1 或 x=﹣1 的逆否命题为:若 x≠1 或 x≠﹣1,则 x ≠0 3n﹣7 C.己知 n∈N,则幂函数 y=x 为偶函数,且在 x∈(0,+∞)上单调递减的充分必要条件 为 n=1

D.函数 y=log2

图象关于点(1,0)中心对称的充分必要条件为 m=±1

【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】简易逻辑. 3 【分析】A:写出命题:?x∈R,使 x +sinx+2<0 的否定,判断即可; 2 B:写出命题:若 x =1,则 x=1 或 x=﹣1 的逆否命题,判断即可; C:依题意,可求得 n=1,从而可判断其正误;

D:令 y=f(x)=log2

,由其图象关于点(1,0)中心,得 f(x)+f(2﹣x)=0,解得
3 3

m=1,从而可判断其正误. 【解答】解:A:命题:?x∈R,使 x +sinx+2<0 的否定为:?x∈R,均有 x +sinx+2≥0,故 A 错误; B:命题:若 x =1,则 x=1 或 x=﹣1 的逆否命题为:若 x≠1 且 x≠﹣1,则 x ≠0,故 B 错误; [来源:Z&xx&k.Com] C:因为幂函数 y=x
3n﹣7 2 2

在 x∈(0,+∞)上单调递减,

所以 3n﹣7<0,解得 n< ,又 n∈N, 所以,n=0,1 或 2;又 y=x 为偶函数, 3n﹣7 所以,n=1,即幂函数 y=x 为偶函数,且在 x∈(0,+∞)上单调递减的充分必要条件为 n=1,C 正确;
3n﹣7

D:令 y=f(x)=log2

,由其图象关于点(1,0)中心,得 f(x)+f(2﹣x)=0,

即 log2
2

+log2

=log2

=0,

=1,

整理得:m +2m﹣3=0,解得 m=1 或 m=﹣3,[来源:学科网]

当 m=﹣3 时,

=﹣1<0,y=log2

不存在,故 m=﹣3 舍去,

故 m=1.

所以,函数 y=log2

图象关于点(1,0)中心对称的充分必要条件为 m=1,D 错误;

故选:C. 【点评】本题考查命题的真假判断与应用,着重考查命题之间的关系,考查充分必要条件的 应用,属于中档题.

5.已知 f(x)=

,则如图中函数的图象错误的是(

)

A. B. C. D. 【考点】二次函数的图象;确定直线位置的几何要素. 【专题】计算题. 【分析】根据函数的单调性以及图象的平移直接得到答案,D 中在[﹣1,0]上应为增函数. 【解答】解:函数 f(x)在定义域内恒大于 0,故|f(x)|的图象与 f(x)的图象一致, 在[﹣1,0]上为增函数,所以 D 选项错误. 故选 D. 【点评】本题考查了一次函数和二次函数的图象,是基础题. 6.已知命题 p:?x∈R,x﹣2>lgx,命题 q:?x∈R,e >1,则( ) A.命题 p∨q 是假命题 B.命题 p∧q 是真命题 C.命题 p∧(¬q)是真命题 D.命题 p∨(¬q)是假命题 【考点】复合命题的真假. 【专题】简易逻辑. 【分析】利用函数的性质先判定命题 p,q 的真假,再利用复合命题真假的判定方法即可得 出. 【解答】解:对于命题 p:例如当 x=10 时,8>1 成立,故命题 p 是真命题; x 对于命题 q:?x∈R,e >1,当 x=0 时命题不成立,故命题 q 是假命题; ∴命题 p∧¬q 是真命题. 故选:C. 【点评】本题考查了复合命题真假的判定方法、函数的性质,属于基础题. 7.关于 x 的方程 3 =a +2a 在(﹣∞,1]上有解,则实数 a 的取值范围是( ) A.[﹣2,﹣1)∪(0,1] B.[﹣3,﹣2)∪[0,1] C.[﹣3,﹣2)∪(0,1] D.[﹣ 2,﹣1)∪[0,1] 【考点】根的存在性及根的个数判断. 【专题】函数的性质及应用.
x 2 x

【分析】若关于 x 的方程 3 =a +2a 在(﹣∞,1]上有解,则 a +2a 属于函数 y=3 ,x∈(﹣∞, 1]的值域,进而可得实数 a 的取值范围. 【解答】解:当 x∈(﹣∞,1]时,y=3 ∈(0,3], x 2 若关于 x 的方程 3 =a +2a 在(﹣∞,1]上有解, 2 则 a +2a∈(0,3], 解得 a∈[﹣3,﹣2)∪(0,1], 故选:C 【点评】 本题考查的知识点是根的存在性及个数判断, 其中将关于 x 的方程 3 =a +2a 在 (﹣ 2 ∞,1]上有解,转化为 a +2a∈(0,3],是解答的关键. 8.已知 a>b>0,则下列不等关系式中正确的是( A.sina>sinb B.log2a<log2b C.a <b 【考点】不等关系与不等式. 【专题】不等式的解法及应用. 【分析】由函数的单调性,逐个选项验证可得. ) D. ( ) <( )
a b x 2 x

x

2

2

x

【解答】解:选项 A 错误,比如取 a=π,b= ,显然满足 a>b>0,但不满足 sina>sinb; 选项 B 错误,由函数 y=log2x 在(0,+∞)上单调递增可得 log2a>log2b; 选项 C 错误,由函数 y= = 在[0,+∞)上单调递增可得
a




b

选项 D 正确,由函数 y= 在 R 上单调递减可得( ) <( ) ; 故选:D. 【点评】本题考查不等关系与不等式,涉及常用函数的单调性,属基础题. 9.设 f′(x)是函数 f(x)的导函数,将 y=f(x)和 y=f′(x)的图象画在同一个直角坐标 系中,不可能正确的是( )

A.

B.

C.

D. 【考点】利用导数研究函数的单调性;导数的几何意义. 【专题】压轴题.

【分析】本题可以考虑排除法,容易看出选项 D 不正确,因为 D 的图象,在整个定义域内, 不具有单调性,但 y=f(x)和 y=f′(x)在整个定义域内具有完全相同的走势,不具有这样 的函数. 【解答】解析:检验易知 A、B、C 均适合,不存在选项 D 的图象所对应的函数,在整个定 义域内,不具有单调性,但 y=f(x)和 y=f′(x)在整个定义域内具有完全相同的走势,不 具有这样的函数,故选 D. 【点评】考查函数的单调性问题.

10.定义在实数集 R 上的奇函数 f(x) ,对任意实数 x 都有 f( +x)=f( ﹣x) ,且满足 f (1)>﹣2,f(2)=m﹣ ,则实数 m 的取值范围是( )[来源:Z§xx§k.Com] A.﹣1<m<3 B.0<m<3 C.0<m<3 或 m<﹣1 D.m>3 或 m<﹣1 【考点】抽象函数及其应用;函数奇偶性的性质. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】先由题意求出函数为 3 为周期的周期函数,再根据函数为奇函数得到 f(2)<2, 代入解不等式即可. 【解答】解:∵f( +x)=f( ﹣x) , 用 x+ 代换 x 得, ∴f(x+ )=f(﹣x)=﹣f(x) , 再用 x+ 代换 x 得, ∴f(x+3)=﹣f(x+ )=f(x) , ∴函数为以 3 为周期的周期函数, ∴f(x)=﹣f(﹣x) ,f(1)=﹣f(﹣1) ,f(﹣1)=f(2) , ∴﹣f(2)=﹣f(﹣1)=f(1)>﹣2, ∴f(2)<2, ∴f(2)=m﹣ <2, 解得 0<m<3,或 m<﹣1, 故选:C 【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用,解题时要认真审题,仔细解答,属于中档 题.

11.设

,则 a,b,c 的大小关系是(

)

A.a>c>b B.c>a>b C.a>b>c D.b>a>c 【考点】对数值大小的比较;指数式与对数式的互化;不等关系与不等式. 【专题】证明题.

【分析】考查幂函数 y=x ,对数函数 y=log5x 在区间(0,+∞)上的单调性即可得出答案.

4

【解答】解:∵a>0,b>0,
4 4





∴a <b ,∴a<b. 又∵c=log50.3<log51=0,∴c<a. 综上可知:c<a<b. 故选 D. 【点评】掌握幂函数和对数函数的单调性是解题的关键.另外要注意适当的变形. 12.设函数 f(x)是定义在(﹣∞,0)上的可导函数,其导函数为 f′(x) ,且有 2f(x)+xf′ (x)>x ,则不等式(x+2014) f(x+2014)﹣4f(﹣2)>0 的解集为( ) A. (﹣∞,﹣2012) B. (﹣2012,0) C. (﹣∞,﹣2016) D. (﹣2016,0) 【考点】导数的运算. 【专题】导数的综合应用. 【分析】根据条件,构造函数,利用函数的单调性和导数之间的关系,将不等式进行转化即 可得到结论. 【解答】解:由 2f(x)+xf′(x)>x , (x<0) , 2 3 得:2xf(x)+x f′(x)<x , 2 3 即[x f(x)]′<x <0, 2 令 F(x)=x f(x) , 则当 x<0 时, 得 F′(x)<0,即 F(x)在(﹣∞,0)上是减函数, 2 ∴F(x+2014)=(x+2014) f(x+2014) ,F(﹣2)=4f(﹣2) , 即不等式等价为 F(x+2014)﹣F(﹣2)>0, ∵F(x)在(﹣∞,0)是减函数, ∴由 F(x+2014)>F(﹣2)得,x+2014<﹣2, 即 x<﹣2016, 故选:C. 【点评】本题主要考查不等式的解法,利用条件构造函数,利用函数单调性和导数之间的关 系是解决本题的关键. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.若定义在 x∈(﹣∞,0)∪(0,+∞)的偶函数 y=f(x)在(﹣∞,0)上的解析式为 ,则函数 y=f(x)的图象在点(2,f(2) )处的切线斜率为﹣ . 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【专题】分析法;函数的性质及应用;导数的概念及应用. 【分析】由偶函数的定义可得 f(﹣x)=f(x) ,即有 x>0 时,f(x)=ln ,求出导数,即 可得到 f(x)在 x=2 处切线的斜率. 【解答】解:偶函数 y=f(x) ,有 f(﹣x)=f(x) , 可得 x>0 时,f(x)=ln ,
2 2 2

导数 f′(x)=﹣ , 即有函数 y=f(x)的图象在点(2,f(2) )处的切线斜率为﹣ , 故答案为:﹣ . 【点评】本题考函数的奇偶性的运用:求解析式,考查导数的几何意义,求切线的斜率,正 确求导是解题的关键.

14.

=3.

【考点】对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值. 【专题】计算题;函数思想;数学模型法;函数的性质及应用. 【分析】化 0 指数幂为 1,化小数为分数,然后利用有理指数幂的运算性质和对数的运算性 质化简求值.

【解答】解:

=1+

+lg5(2lg2+lg5)+(lg2)
2

2

=1+ +lg5?lg2+lg5+(lg2) =2+lg2(lg5+lg2)+lg5 =2+lg2+lg5 =3. 故答案为:3. 【点评】本题考查有理指数幂的运算性质,考查了对数的运算性质,是基础的计算题.

15.函数

的值域是[﹣1,1) .

【考点】函数的值域. 【专题】计算题.

【分析】由 y=

,得 x =

2

,利用实数的平方的取值范围建立关于 y 的不等关系即

可求得原函数的值域.

【解答】解:由

,得 x =

2



∵x ≥0,∴

2

≥0,解得﹣1≤y<1.

故答案为:[﹣1,1) . 【点评】此类分式函数的值域通常采用逆求法、分离变量法,应注意理解并加以运用.

解法二:令 x=tanθ(﹣

<θ<

) ,则 y=

=cos2θ.∵﹣π<2θ<π,∴﹣1<

cos2θ≤1,即﹣1<y≤1. [来源:Zxxk.Com] 16.有下列五个命题: ①若 A∩B=Φ,则 A,B 之中至少有一个为空集; ②函数 y=
2

的定义域为{x|x≥1};

③集合 A={x∈R|x ﹣2x+1=0}有两个元素; ④函数 y=2x(x∈Z)的图象是一直线; 2 2 ⑤不等式(x ﹣4) (x﹣6) ≤0 的解集是{x|﹣2≤x≤2 或 x=6}. 其中错误命题的序号是①②③④. 【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】简易逻辑. 【分析】①A={0},B={1},A∩B=Φ,但 A、B 均非空,可判断①;

②由
2

得:x≥1 或 x=0,可判断②;

③集合 A={x∈R|x ﹣2x+1=0}={1}有 1 个元素,可判断③; ④函数 y=2x(x∈Z)的图象是一直线上一群孤立的点,可判断④; 2 2 2 2 2 ⑤(x ﹣4) (x﹣6) ≤0?x ﹣4≤0 或 x=6,于是可得不等式(x ﹣4) (x﹣6) ≤0 的解集是 {x|﹣2≤x≤2 或 x=6},从而可判断⑤. 【解答】解:①若 A∩B=Φ,则 A,B 之中至少有一个为空集,错误,如 A={0},B={1}, A∩B=Φ,但 A、B 均非空;

②由

得:x≥1 或 x=0,所以,函数 y=

的定义域为{x|x≥1

或 x=0},故②错误; 2 2 ③由 x ﹣2x+1=0 得:x1=x2=0,故集合 A={x∈R|x ﹣2x+1=0}={1}有 1 个元素,故③错误; ④函数 y=2x(x∈Z)的图象是一直线上一群孤立的点,故④错误; 2 2 2 ⑤因为(x ﹣4) (x﹣6) ≤0,所以 x ﹣4≤0 或 x=6,解得﹣2≤x≤2 或 x=6, 2 2 所以不等式(x ﹣4) (x﹣6) ≤0 的解集是{x|﹣2≤x≤2 或 x=6},故⑤正确. 综上所述,其中错误命题的序号是①②③④, 故答案为:①②③④. 【点评】本题考查命题的真假判断与应用,综合考查函数的定义域、二次方程的解集及高次 不等式的解法,属于中档题. 三、解答题(本大题共 6 小题,其中第 17 题 10 分,其余每小题 10 分,共 70 分)

17.已知 m∈R,设 P:x1 和 x2 是方程 x ﹣ax﹣2=0 的两个根,不等式|m﹣5|≤|x1﹣x2|对任意 实数 a∈[1,2]恒成立;Q:函数 f(x)=3x +2mx+m+ 有两个不同的零点.求使“P 且 Q”为 真命题的实数 m 的取值范围. 【考点】命题的真假判断与应用;二次函数的性质. 【分析】利用二次方程的韦达定理求出|x1﹣x2|,将不等式恒成立转化为求函数的最值,求 出命题 p 为真命题时 m 的范围; 利用二次方程有两个不等根判别式大于 0,求出命题 Q 为真命题时 m 的范围;P 且 Q 为真 转化为两个命题全真, 求出 m 的范围. 【解答】解:由题设 x1+x2=a,x1x2=﹣2, ∴|x1﹣x2|= 当 a∈[1,2]时, = 的最小值为 3. .
2

2

要使|m﹣5|≤|x1﹣x2|对任意实数 a∈[1,2]恒成立,只须|m﹣5|≤3,即 2≤m≤8. 由已知,得 f(x)=3x +2mx+m + =0 的判别式 △ =4m ﹣12(m+ )=4m ﹣12m﹣16>0, 得 m<﹣1 或 m>4.
2 2 2

综上,要使“P∧Q”为真命题,只需 P 真 Q 真,即





解得实数 m 的取值范围是(4,8]. 【点评】本题考查二次方程的韦达定理、二次方程有根的判断、复合命题的真假与构成其简 单命题的真假的关系. 18.设全集为 U=R,集合 A={x|(x+3) (x﹣6)≤0},B={x|log2(x+2)<4}. (1)求如图阴影部分表示的集合; (2)已知 C={x|2a<x<a+1},若 C?B,求实数 a 的取值范围.

【考点】Venn 图表达集合的关系及运算. 【专题】计算题;分类讨论;数形结合法;集合. 【分析】 (1)利用 Venn 图表示集合的关系即可求如图阴影部分表示的集合; (2)根据集合关系 C?B,建立不等式关系即可求实数 a 的取值范围. 【解答】解: (1)由(x+3) (x﹣6)≤0,得﹣3≤x≤6,即 A=[﹣3,6], 由 0<x+2<16,解得﹣2<x<14,即 B=(﹣2,14) , ∵阴影部分为 A∩CRB, ∴A∩CRB=[﹣3,﹣2].

(2)∵C={x|x>2a 且 x<a+1}, ∴①2a≥a+1,即 a≥1 时,C=?,成立; ②2a<a+1,即 a<1 时,C=(2a,a+1)?(﹣2,14) ,[来源:Z.xx.k.Com]





解得﹣1≤a<1. 综上所述,a 的取值范围为[﹣1,+∞) . 【点评】本题主要考查集合的基本运算以及集合的基本关系的应用,利用 Venn 图表示集合 关系是解决本题的关键. 19.一次函数 f(x)是 R 上的增函数,g(x)=f(x) (x+m) ,已知 f[f(x)]=16x+5. (Ⅰ)求 f(x) ; (Ⅱ)若 g(x)在(1,+∞)单调递增,求实数 m 的取值范围; (Ⅲ)当 x∈[﹣1,3]时,g(x)有最大值 13,求实数 m 的值. 【考点】函数的最值及其几何意义. 【专题】综合题;函数的性质及应用. 【分析】 (Ⅰ)根据 f(x)是 R 上的增函数,设 f(x)=ax+b, (a>0) ,利用 f[f(x)]=16x+5, 可得方程组,求出 a,b,即可求 f(x) ; (Ⅱ)求出 g(x)的解析式,利用二次函数的性质,结合函数在(1,+∞)单调递增,可 求实数 m 的取值范围; (Ⅲ)对二次函数的对称轴,结合区间分类讨论,利用当 x∈[﹣1,3]时,g(x)有最大值 13,即可求实数 m 的值.[来源:Zxxk.Com] 【解答】解: (Ⅰ)∵f(x)是 R 上的增函数,∴设 f(x)=ax+b, (a>0)﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ∴f[f(x)]=a(ax+b)+b=a x+ab+b=16x+5
2



,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

解得



(不合题意舍去)﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ∴f(x)=4x+1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ (Ⅱ)g(x)=f(x) (x+m)=(4x+1) (x+m)=4x +(4m+1)x+m﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣ 对称轴 ,根据题意可得 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 解得 ,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
2

∴m 的取值范围为 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ (Ⅲ)①当 符合题意; ②当 题意; (13 分) 时,即

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

时 g(x)max=g(3)=39+13m=13,解得 m=﹣2,

时,即

时 g(x)max=g(﹣1)=3﹣3m=13,解得

,符合

由①②可得 m=﹣2 或 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣(14 分) 【点评】本题考查函数解析式的确定,考查二次函数的性质,考查函数的最值,考查分类讨 论的数学思想,确定函数解析式是关键. 20.已知函数 f(x)=(x+a) ﹣7bln x+1,其中 a,b 是常数且 a≠0. (1)若 b=1 时,f(x)在区间(1,+∞)上单调递增,求 a 的取值范围; (2)当 b= a 时,讨论 f(x)的单调性. 【考点】二次函数的性质. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】 (1)先求出函数的导数,问题转化为 a≥ ﹣x 在 x>1 时恒成立,通过讨论 x 的范 围,从而求出 a 的范围; (2)先求出函数的导数,通过讨论 a 的范围,从而求出函数的单调区间. 【解答】解: (1)∵b=1,∴f(x)=(x+a) ﹣7lnx+1, ∴f′(x)=2x+2a﹣ . ∵当 x>1 时,f(x)是增函数, ∴f′(x)=2x+2a﹣ ≥0 在 x>1 时恒成立. 即 a≥ ﹣x 在 x>1 时恒成立. ﹣x 是减函数, ﹣x< ,∴a≥ .
2 2 2

∵当 x>1 时,y= ∴当 x>1 时,y=
2

(2)∵b= a , 2 2 ∴f(x)=(x+a) ﹣4a ln x+1,x∈(0,+∞) .

∴f′(x)=

=



当 a>0 时,f′(x)>0 ,得 x>a 或 x<﹣2a,

故 f(x)的减区间为(0,a) ,增区间为(a,+∞) ; 当 a<0 时,f′(x)>0,得 x>﹣2a 或 x<a, 故 f(x)的减区间为(0,﹣2a) ,增区间为(﹣2a,+∞) . 【点评】本题考查了函数的单调性,考查了导数的应用,函数恒成立问题,考查转化思想, 分类讨论思想,是一道中档题. 21.已知函数 f(x)=(x +ax﹣2a﹣3 )e , (Ⅰ)若 x=2 是函数 f(x)的一个极值点,求实数 a 的值; 2 (Ⅱ)设 a<0,当 x∈[1,2]时,函数 f(x)的图象恒不在直线 y=e 上方,求实数 a 的取值 范围. 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的极值. 【分析】 (I)由 x=2 是函数 f( x)=(x +ax﹣2a﹣3)e 的一个极值点,可得到 x=2 是 f′(x) =0 的根,从而求出 a. 2 (II)当 x∈[1,2]时,函数 f(x)的图象恒不在直线 y=e 上方,等价于 x∈[1,2],f(x) x x (x﹣1)e ,令 f′(x)=0,得 x1=﹣a﹣3,x2=1, max≤e 恒成立.由(I)知,f′(x)=(x+a+3) 由此能求出实数 a 的取值范围. 【解答】解: (I)由 f(x)=(x +ax﹣2a﹣3)e 可得 x 2 x[来源:学_科_网] f′(x )=(2x+a)e +(x +ax﹣2a﹣3)e 2 x =[x +(2+a)x﹣a﹣3]e , ∵x=2 是函数 f(x)的一个极值点, ∴f′(2)=0 2 ∴(a+5)e =0,解得 a=﹣5. x x 代入 f′(x)=(x+a+3) (x﹣1)e =(x﹣2) (x﹣1)e , 当 1<x<2 时,f′(x)<0;当 x>2 时,f′(x)>0, ∴x=2 是 f(x)的极值. ∴a=﹣5. 2 (II)当 x∈[1,2]时,函数 f(x)的图象恒不在直线 y=e 上方, x 等价于 x∈[1,2],f(x)≤e 恒成立, x 即 x∈[1,2],f(x)max≤e 恒成立. x 由(I)知,f′(x)=(x+a+3) (x﹣1)e , 令 f′(x)=0,得 x1=﹣a﹣3,x2=1, 当 a≤﹣5 时,﹣a﹣3≥2,∴f(x)在 x∈[1,2]单调减, ,a≥﹣e﹣2 与 a≤﹣5 矛盾,舍去. 当﹣5<a<﹣4 时,1<﹣a﹣3<2, f(x)在 x∈(1,﹣a﹣3)上单调递减,在 x∈(﹣a﹣3,2)上单调递增, ∴f(x)max 在 f(1)或 f(2)处取到, 2 f(1)=(﹣a﹣2)e,f(2)=e , 2 ∴只要 f(1)=(﹣a﹣2)e≤e , 解得﹣e﹣2≤a<﹣4. 当﹣4≤a<0 时,﹣a﹣3≤1, f(x)在 x∈[1,2]上单调增, ∴实数 a 的取值范围是[﹣e﹣2,0) . ,符合题意,
2 x 2 x 2 x

【点评】 本题考查利用导数求闭区间上函数最值的应用, 易错点是当 x∈[1, 2]时, 函数 f (x) 的图象恒不在直 线 y=e 上方,等价于 x∈[1,2],f(x)max≤e 恒成立.综合性强,难度大, 有一定的探索性,对数学思维能力要求较 高,是高考的重点.解题时要认真审题,仔细解 答.
2 x

22.某种产品每件成本为 6 元,每件售价为 x 元(x>6) ,年销量为 u 万件,若已知 与 成正比,且售价为 10 元时,年销量为 28 万件. (1)求年销售利润 y 关于 x 的函数关系式. (2)求售价为多少时,年利润最大,并求出最大年利润. 【考点】函数模型的选择与应用. 【专题】应用题. 【分析】 (1)根据题中条件:“若已知 与 成正比”可设

,再依据售价为 10 元时,年销量为 28 万件求得 k 值,从而得出年 销售利润 y 关于 x 的函数关系式. (2)利用导数研究函数的最值,先求出 y 的导数,根据 y′>0 求得的区间是单调增区间,y′ <0 求得的区间是单调减区间,从而求出极值进而得出最值即可. 【解答】解: (1)设 ∵售价为 10 元时,年销量为 28 万件; ∴ ∴
2



,解得 k=2. =﹣2x +21x+18.
3 2 2

∴y=(﹣2x +21x+18 ) (x﹣6)=﹣2x +33x ﹣108x﹣108. 2 2 (2)y'=﹣6x +66x﹣108=﹣6(x ﹣11x+18)=﹣6(x﹣2) (x﹣9) 令 y'=0 得 x=2(∵x>6,舍去)或 x=9 显然,当 x∈(6,9)时,y'>0 当 x∈(9,+∞)时,y'<0 3 2 ∴函数 y=﹣2x +33x ﹣108x﹣108 在(6,9)上是关于 x 的增函数; 在(9,+∞)上是关于 x 的减函数. ∴当 x=9 时,y 取最大值,且 ymax=135. ∴售价为 9 元时,年利润最大,最大年利润为 135 万元. 【点评】本小题主要考查根据实际问题建立数学模型,以及运用函数、导数的知识解决实际 问题的能力.属于基础题.



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