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山东省各地2014届高三上学期期中考试试题分类汇编6:平面向量 Word版含答案


山东省各地 2014 届高三上学期期中考试试题分类汇编 平面向量
一、选择题 1、 (德州市 2014 高三期中)如图, AB 是 ⊙O 的直径,点 C , D 是半圆弧 AB 的两个三等分 点, AB ? a, AC ? b ,则 AD ?

??? ?

? ????

?

????

A. a ? 答案:D

? 1? b 2

B.

1? ? a ?b 2

C. a ?

?

1? b 2

D.

1? ? a?b 2

2、 (桓台第二中学 2014 高三期中)若非零向量 a, b 满足 | a |?| b | 、(2a ? b) ? b ? 0 ,则 a, b 的夹角为( A. 30o 答案:C 3、 (桓台第二中学 2014 高三期中)在 ?ABC 中, b 2 ? ac ,且 a ? c ? 3, cos B ? ) B. 60o C. 120o D. 150o

3 ,则 4

AB ? BC =( 3 A. 2
答案:B

) B. ?

3 2

C.3

D.-3

4、 (济南外国语学校 2014 高三期中) a ? (2sin x, ), b ? ( , 设 为 A. 答案:C

?

3 ? 2

? ? 1 1 cos x) ,且 a / / b ,则锐角 x 6 4
D.

? 6

B.

? 3

C.

? 4

5? 12

5、 (济南一中等四校 2014 高三期中)已知向量 a ? b ? (2, ?8), a ? b ? (?8,16) ,则 a 与 b 夹 角的余弦值为 A.

? ?

? ?

?

?

63 65

B. ?

63 65

C. ?

63 65

D.

5 13

答案:B 6、 (临沂市 2014 高三期中)已知 a,b 均为单位向量,它们的夹角为 A.1 B. 2 C. 3

? ,则 a ? b ? 3

D.2

答案:C 7、 (青岛市 2014 高三期中)向量 a ? ( , tan ? ) , b ? (cos ? ,1) ,且 a ∥ b ,则 cos 2? ? A. ?

?

1 3

?

?

?

1 3

B.

1 3

C. ?

7 9

D.

7 9

答案:D 8、 (山东师大附中 2014 高三期中)在 ?ABC 中, AB ? 3 , AC ? 2 ,若 O 为 ?ABC 内部 的一点,且满足 OA ? OB ? OC ? 0 ,则 AO ? BC =( A. 答案:C 9、 (威海市 2014 高三期中)已知 | a |? 1,| b |? 2, ? a, b ?? 60 ,则 | 2a ? b |?
?

) D.

1 2

B.

2 5

C.

1 3

1 4

?

?

? ?

? ?

(A) 2 答案:A

(B) 4

(C) 2 2

(D) 8

10、 (文登市 2014 高三期中) 已知向量 a ? (3, 4) , b ? (2, ?1) , 如果向量 a ? xb 与 b 垂直, 则 x 的值为 A.

?

?

?

?

?

23 3

B.

3 23

C.

2 5

D. ?

2 5

答案:A 11、 (枣庄市 2014 高三期中)图,PA=PB,∠APB=900,点 C 在线段 PA 的延长线上,D、E 分别为△ABC 的边 AB、BC 上的点.若 值为 A、-1 B、0 与 C、1 共线. D、2 共线,则 的

答案:B

? ? ? ? a b ? b 12、青岛市 2014 高三期中) a 、 都是非零向量,下列四个条件中,一定能使 ? ? ? ? 0 ( 设 |a| |b|
成立的是 A. a ? ? b 答案:A

?

1? 3

B. a / / b

?

?

C. a ? 2b

?

?

D. a ? b

?

?

二、填空题 1、 济南一中等四校 2014 高三期中) ( 若向量 BA ? (2,3), CA ? (4, 7) , BC ? ___________. 则 答案: (?2, ?4) 2、 (临沂市 2014 高三期中)在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,两定点 A,B 满足

??? ?

??? ?

??? ?

???? ??? ??? ??? ? ?? ? ??? ? ??? ? ? ? ? OA ? OB ? OA? OB ? 2 ,则点集 p op ? ? OA ? ? OB, ? ? 0, ? ? 0, ? ? ? ? 1 所表示区

?

?

域的面积为_________. 答案: 3 3、 (山东师大附中 2014 高三期中) 在 ?ABC 中,若 向量 m ? (sin A ? sin B, sin C ), n ? ( 2 sin A ? sin C , sin A ? sin B) ,且

m // n ,则角 B
答案: 3、 (山东师大附中 2014 高三期中) 在直角三角形 ABC 中, ?C ?



?
2

, AC ? 3 ,取点 D、E 使 BD ? 2 DA, AB ? 3BE ,那么


CD ? CA ? CE ? CA ?
答案:3

4、 (文登市 2014 高三期中)在 ?ABC 中, BC ? 3 BD , AD ? AB , A D ? 1 ,则

????

????

???? ?

???? ???? AC ? AD ?
答案: 3



12、 (枣庄市 2014 高三期中) 已知向量

答案:

三、解答题 1、 (德州市 2014 高三期中) 已知向量 p ? (cos ? ? 5, ? sin ? ), q ? (sin ? ? 5, cos ? ), p / / q , 且 ? ? (0, ? ) 。

? ?

?

? ?

?

(1)求 tan 2? 的值; (2)求 2sin 2 (

?

解:由 p / / q 可得 (cos ? ? 5) cos ? ? (sin ? ? 5)(? sin ? ) ? 0 ,整理得

? ?

?

? ) ? sin( ? ? ) 。 2 6 6

?

?

sin ? ? cos ? ?
? (0, ? )

?( ,? ) 2

?

1 5

7 5 4 3 4 解得 sin ? ? , cos ? ? ? ,故 tan ? ? ? 5 5 3 2 tan ? 24 ? tan 2? ? ? 1 ? tan 2 ? 7 ? sin ? ? cos ? ? 2 ? (sin ? ? cos ? ) 2 ?
(2) 2sin (
2

?

? ) ? sin(? ? ) ? 1 ? cos(? ? ) ? sin(? ? ) 2 6 6 3 6

?

?

?

?

1 3 3 1 8 ? 1 ? cos ? ? sin ? ? sin ? ? cos ? ? 1 ? cos ? ? 2 2 2 2 5
2、 (德州市 2014 高三期中)在平面直角坐标系 xOy 中,已知四边形 OABC 是等腰梯形,

???? 1 ??? ? ? A(6, 0), C (1, 3) ,点, M 满足 OM ? OA ,点 P 在线段 BC 上运动(包括端点) , 2
如图。 (1)求 ?OCM 的余弦值; (2)是否存在实数 ? ,使 (OA ? ? OP) ? CM ,若存在,求出满足条件的实数 ? 的取值 范围,若不存在,请说明理由。

??? ?

??? ?

???? ?

解: (1)由题意可得

???? ? ??? ? ??? ? ???? ???? 1 ??? ? ? OA ? (6, 0), OC ? (1, 3), OM ? OA ? (3, 0) , CM ? (2, ? 3), CO ? (?1, ? 3) 2 ??? ???? ? ? ??? ???? ? ? CO ? CM 7 ? ? ? cos ?OCM ? cos ? CO, CM ?? ??? ???? ? | CO || CM | 14
(2)设 P (t , 3) ,其中 1 ? t ? 5 , ? OP ? (?t , 3? )

??? ?

??? ? ??? ? ???? ? OA ? ? OP ? (6 ? ?t , ? 3? ), CM ? (2, ? 3)
若 (OA ? ? OP) ? CM ,则 (OA ? ? OP) ? CM ? 0 即 12 ? 2?t ? 3? ? 0 ? (2t ? 3)? ? 12 ,若 t ? 若t ?

??? ?

??? ?

???? ?

??? ?

??? ???? ? ?

3 ,则 ? 不存在 2

12 3 ,则 ? ? 2t ? 3 2 3 3 12 ? t ? [1, ) ? ( ,5] ,故 ? ? (??, ?12] ? [ , ??) 2 2 7 3、 (桓台第二中学 2014 高三期中)已知 OM = (1 ? cos 2 x,1) , ON = (1, 3 sin 2 x) ,若

f ( x) ? OM ? ON (1)求 f ( x) 的单调递增区间; ? ? (2)当 x ? [? , ] 时,求函数 f ( x) 的最值,并求出取得最值时的 x 的取值。 6 3 解(I) ???? ???? ? ? f ( x) ? OM ? ON ? 1 ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? ? 2sin(2 x ? ) ? 1 6 ? ? ? 由2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? , 2 6 2 ? ? 解得k? - ? x ? k? ? (k ? z ) 3 6 ? ? ? f ( x)的单调递增区间为[k? ? , k? ? ](k ? z ) 3 6 ? ? ? ? 5 (Ⅱ)由 x ? [? , ], 得 ? ? 2 x ? ? ? , 6 3 6 6 6
1 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 2 6 ? 0 ? f ( x) ? 3 ?? ? f ( x)的最大值为3,此时x ? f ( x)的最小值为0,此时x ? ?
4、 (临沂市 2014 高三期中) 设向量 a ? (I)若 a / /b ,求 x 的值; (II)设函数 f ? x ? ? ? a ? b ? ? b, 求f ? x ? 的最大值.

?
6

;

?
6

?

? ?? 3 sin x,sin x , b ? ? cos x,sin x ? , 其中x ? ? 0, ? . ? 2?

?

5、 (青岛市 2014 高三期中)在 ?ABC 中,角 A B、C 对边分别是 a、b、c ,且满足 、

??? ???? ? 2 AB ? AC ? a 2 ? (b ? c)2 .
(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a ? 4 3 , ?ABC 的面积为 4 3 ,求 b, c . 解: (Ⅰ)由题意可得
2bc cos A ? a2 ? b2 ? c2 ? 2bc , 由余弦定理 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A 得 4bc cos A ? ?2bc , 1 2? ∴ cos A ? ? , ∵ 0 ? A ? ? ,∴ A ? 2 3

………………2 分 ……………4 分 ………………6 分

(Ⅱ) S ?

1 bc sin A ? 4 3 ? bc ? 16 2

………………8 分

a 2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? b2 ? c2 ? 32 ? b ? c ? 8 ………………10 分
解得: b ? c ? 4 ………………12 分

b 6、 (文登市 2014 高三期中)已知 a=(2cos ? , 2sin ?),? (cos ?,sin ?) , 0 ? ? ? ? ? 2? .

?

?

(Ⅰ)若 a ? b ,求 | a ? 2b | 的值; (Ⅱ)设 c ? (2, 0) ,若 a ? 2b ? c ,求 ? , ? 的值. 解: (Ⅰ)∵ a ? b ∴ a ? b ? 0
2 2 2 2 2 2 又 ∵ a ?| a | ? 4 cos ? ? 4sin ? ? 4 , b ?| b | ? cos ? ? sin ? ? 1 … … 3 分

?

?

?

?

?

?

?

?

? ?

?2

?

2

∴ | a ? 2b |

?

?

2

? ? ? a ? 2b

?

?

2

?2 ?? ? 2 ? a ? 4ab ? 4b ? 4 ? 4 ? 8 , ………………5 分

∴ | a ? 2b |? 2 2 .…………………6 分 (Ⅱ)∵ a ? 2b ? (2cos ? ? 2cos ? , 2sin ? ? 2sin ? ) ? (2, 0)

?

?

?

?

∴?

?cos ? ? cos ? ? 1 即 ?sin ? ? sin ? ? 0

?cos ? ? 1 ? cos ? ? ?sin ? ? ? sin ?

…………………8 分 ∴ cos ? ?

两 边 分 别 平 方 再 相 加 得 : 1 ? 2 ? 2cos ?

1 2

∴ cos ? ?

1 … … 10 分 2

∵ 0 ? ? ? ? ? 2? , 且 sin ? ? sin ? ? 0 ∴ ? ? ? , ? ?

1 3

5 ? …………………12 分 3

7、 (枣庄市 2014 高三期中) 已知向量 求证: 为正三角形·


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