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暑假高一升高二直线与方程讲义教师版



第一节

直线的倾斜角与斜率、直线的方程

1.直线的倾斜角 (1)定义:x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角.当直线与 x 轴 平行或重合时,规定它的倾斜角为 0° . (2)倾斜角的范围为[0,π) 2.直线的斜率 (1)定义: 一条直线的倾斜角 α 的正切值叫做这条直线的斜率, 斜率常用小写字母 k 表示, 即 k

=tanα,倾斜角是 90° 的直线没有斜率. (2)过两点的直线的斜率公式: y2-y1 y1-y2 经过两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为 k= = . x2-x1 x1-x2 3.直线方程 名称 点斜式 几何条件 过点(x0,y0),斜率为 k 斜率为 k,纵截距为 b 过两点(x1,y1),(x2, y2),(x1≠x2,y1≠y2) 在 x 轴、 y 轴上的截距 分别为 a,b(a,b≠0) 方 程 局限性 不含垂直于 x 轴的 直线 不含垂直于 x 轴的 直线 不包括垂直于坐标 轴的直线 不包括垂直于坐标 轴和过原点的直线

y-y0=k(x-x0)

斜截式

y=kx+b y-y1 x-x1 = y2-y1 x2-x1 x y + =1 a b Ax+By+C=0(A,B 不全为 0)

两点式

截距式

一般式

1.利用两点式计算斜率时易忽视 x1=x2 时斜率 k 不存在的情况. 2.用直线的点斜式求方程时,在斜率 k 不明确的情况下,注意分 k 存在与不存在讨论, 否则会造成失误. 3.直线的截距式中易忽视截距均不为 0 这一条件,当截距为 0 时可用点斜式.

1

4. 由一般式 Ax+By+C=0 确定斜率 k 时易忽视判断 B 是否为 0, 当 B=0 时, k 不存在; A 当 B≠0 时,k=- . B [试一试] 1.若直线(2m2+m-3)x+(m2-m)y=4m-1 在 x 轴上的截距为 1,则实数 m 是( A.1 B.2 1 C.- 2 1 D.2 或- 2 )

4m-1 3 解析: 选 D 当 2m2+m-3≠0 时, 即 m≠1 或 m≠- 时, 在 x 轴上截距为 2 = 2 2m +m-3 1 1,即 2m2-3m-2=0,故 m=2 或 m=- . 2 2.过点 M(-2,m),N(m,4)的直线的斜率等于 1,则 m 的值为________. m-4 解析:∵kMN= =1,∴m=1. -2-m 答案:1

3.过点 M(3,-4),且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________. 4 4 解析:①若直线过原点,则 k=- ,所以 y=- x,即 4x+3y=0. 3 3 x y ②若直线不过原点.设 + =1,即 x+y=a.则 a=3+(-4)=-1, a a 所以直线的方程为 x+y+1=0. 答案:4x+3y=0 或 x+y+1=0

1.求斜率可用 k=tan α(α≠90° ),其中 α 为倾斜角,由此可见倾斜角与斜率相互联系不 可分割,牢记:“斜率变化分两段,90° 是分界线,遇到斜率要谨记,存在与否需讨论”. 2.求直线方程的一般方法 (1)直接法:根据已知条件,选择适当的直线方程形式,直接写出直线方程,选择时,应 注意各种形式的方程的适用范围,必要时要分类讨论. (2)待定系数法,具体步骤为: ①设所求直线方程的某种形式; ③解这个方程(组)求出参数; [练一练] 1.直线 xsin α+y+2=0 的倾斜角的取值范围是( A.[0,π) π 3π 0, ?∪? ,π? B.? 4 ? ? ?4 ? π 0, ? C.? ? 4? ) π π 0, ?∪? ,π? D.? 4 ? ? ?2 ? ②由条件建立所求参数的方程(组); ④把参数的值代入所设直线方程.

π 解析: 选 B 设倾斜角为 θ, 则有 tan θ=-sin α 其中 sin α∈[-1,1]. 又 θ∈[0, π), ∴0≤θ≤ 4 3π 或 ≤θ<π. 4 2.过点(5,10)且到原点的距离是 5 的直线的方程为________.
2

解析:当斜率不存在时,所求直线方程为 x-5=0;当斜率存在时,设其为 k, 则所求直线方程为 y-10=k(x-5),即 kx-y+(10-5k)=0. 由点到直线的距离公式,得 |10-5k| 3 =5,解得 k= . 2 4 k +1

故所求直线方程为 3x-4y+25=0.综上知,所求直线方程为 x-5=0 或 3x-4y+25=0. 答案:x-5=0 或 3x-4y+25=0

考点一

直线的倾斜角与斜率 )

1.(2013· 秦皇岛模拟)直线 x+ 3y+1=0 的倾斜角是( π A. 6 π B. 3 2π C. 3 5π D. 6

解析:选 D 由直线的方程得直线的斜率为 k=- 5π 又 α∈[0,π),所以 α= . 6

3 3 ,设倾斜角为 α,则 tan α=- , 3 3

1? ?1 ? 2.(2014· 常州模拟)若 ab<0,则过点 P? ?0,-b?与 Q?a,0?的直线 PQ 的倾斜角的取值 范围是________. 1 - -0 b a 解析:kPQ= = <0,又倾斜角的取值范围为[0,π),故直线 PQ 的倾斜角的取值 1 b 0- a π ? 范围为? ?2,π?. [类题通法] 1.求倾斜角的取值范围的一般步骤: (1)求出斜率 k=tan α 的取值范围; (2)利用三角函数的单调性,借助图像或单位圆数形结合,确定倾斜角 α 的取值范围. 2.求倾斜角时要注意斜率是否存在. 考点二 直线方程 π ? 答案:? ?2,π?

[典例] 根据所给条件求直线的方程: (1)直线过点(-4,0),倾斜角的正弦值为 10 ; 10

(2)直线过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为 12. [解] (1)由题设知,该直线的斜率存在,故可采用点斜式.

3

设倾斜角为 α,则 sin α=

10 3 10 1 (0<α<π),从而 cos α=± ,则 k=tan α=± . 10 10 3

1 故所求直线方程为 y=± (x+4).即 x+3y+4=0 或 x-3y+4=0. 3 x y (2)由题设知截距不为 0,设直线方程为 + =1, a 12-a -3 4 又因为直线过点(-3,4),所以 + =1,解得 a=-4 或 a=9. a 12-a 故所求直线方程为 4x-y+16=0 或 x+3y-9=0. [类题通法] 1.在求直线方程时,应选择适当的形式,并注意各种形式的适用条件. 2.对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用. [针对训练] 经过点 P(-5,-4),且与两坐标轴围成的三角形的面积为 5 的直线方程是( A.8x+5y+20=0 或 2x-5y-12=0 B.8x-5y-20=0 或 2x-5y+10=0 C.8x+5y+10=0 或 2x+5y-10=0 D.8x-5y+20=0 或 2x-5y-10=0 1 4 解析:选 D 由题意设所求方程为 y+4=k(x+5),即 kx-y+5k-4=0.由 · |5k-4|· | - 2 k 8 2 5|=5 得,k= 或 k= . 5 5 )

考点三

直线方程的综合应用

直线方程的综合应用是常考内容之一,它与函数、向量、不等式相结 5408,命题多 为客观题.归纳起来常见的命题角度有: ?1?与基本不等式相结合求最值问题; ?2?直线方程与平面向量的综合.?

角度一 与基本不等式相结合求最值问题 1.已知直线 l 过点 M(1,1),且与 x 轴,y 轴的正半轴分别相交于 A,B 两点,O 为坐标

4

原点.求: (1)当|OA|+|OB|取得最小值时,直线 l 的方程; (2)当|MA|2+|MB|2 取得最小值时,直线 l 的方程. x y 1 1 解:(1)设 A(a,0),B(0,b)(a>0,b>0).设直线 l 的方程为 + =1,则 + =1, a b a b 1 1? a b 所以|OA|+|OB|=a+b=(a+b)? ?a+b? =2+b+a≥2+2 ab · =4, ba

当且仅当 a=b=2 时取等号,此时直线 l 的方程为 x+y-2=0. (2)设直线 l 的斜率为 k,则 k<0,直线 l 的方程为 y-1=k(x-1), 1 ? 1?2 2 2 2 2 2 2 ? 则 A? ?1-k,0?,B(0,1-k), 所以|MA| +|MB| =?1-1+k? +1 +1 +(1-1+k) =2+k 1 + 2≥2+2 k 1 1 k2·2=4,当且仅当 k2= 2,即 k=-1 时,|MA|2+|MB|2 取得最小值 4,此时直 k k

线 l 的方程为 x+y-2=0. 角度二 直线方程与平面向量的综合 2.已知直线 l 过点 M(2,1),且与 x 轴,y 轴的正半轴分别相交于 A,B 两点,O 为坐标 原点.求当 MA ·MB 取得最小值时,直线 l 的方程.

????? ?????

????? ????? x y 2 1 解: 设 A(a,0), B(0, b)则 a>0, b>0, 直线 l 的方程为 + =1, 所以 + =1.故 MA ·MB a b a b
???? ???? 2 1? MB =-(a-2,-1)· =- MA · (-2,b-1)=2(a-2)+b-1=2a+b-5=(2a+b)? ?a+b?-5
2b 2a = + ≥4,当且仅当 a=b=3 时取等号,此时直线 l 的方程为 x+y-3=0. a b

[类题通法] 1. 含有参数的直线方程可看作直线系方程, 这时要能够整理成过两条定直线交点的直线 系,即能够看出“动中有定”. 2.求解与直线方程有关的最值问题,选设出直线方程,建立目标函数,再利用基本不等 式求解最值.

[课堂练通考点] π 1.(2014· 云南检测)直线 x= 的倾斜角等于 ( 3 A.0 π B. 3 π C. 2 ) D.π

π π 解析:选 C 直线 x= ,知倾斜角为 . 3 2

5

2.直线 l:xsin 30° +ycos 150° +1=0 的斜率是( A. 3 3 B. 3 C.- 3

) D.- 3 3

sin 30° 3 解析:选 A 设直线 l 的斜率为 k,则 k=- = . cos 150° 3 3.在等腰三角形 AOB 中,AO=AB,点 O(0,0),A(1,3),点 B 在 x 轴的正半轴上,则直 线 AB 的方程为( ) B.y-1=-3(x-3) D.y-3=-3(x-1)

A.y-1=3(x-3) C.y-3=3(x-1)

解析:选 D 因为 AO=AB,所以直线 AB 的斜率与直线 AO 的斜率互为相反数,所以 kAB=-kOA=-3,所以直线 AB 的点斜式方程为:y-3=-3(x-1). 4 .若过点 P(1 - a,1 + a) 与 Q(3,2a) 的直线的倾斜角为钝角,则实数 a 的取值范围是 ________. 2a-?1+a? a-1 解析:k=tan α= = . 3-?1-a? a+2 a-1 ∵α 为钝角,∴ <0,即(a-1)(a+2)<0,故-2<a<1. 答案:(-2,1) a+2 5.已知直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 3,分别求满足下列条件的直线 l 的方 程: (1)过定点 A(-3,4); 1 (2)斜率为 . 6

4 解:(1)设直线 l 的方程为 y=k(x+3)+4,它在 x 轴,y 轴上的截距分别是- -3,3k+4, k 4 ? 由已知,得(3k+4)? 6, ? k+3?=± 2 8 解得 k1=- 或 k2=- . 3 3

故直线 l 的方程为 2x+3y-6=0 或 8x+3y+12=0. 1 (2)设直线 l 在 y 轴上的截距为 b ,则直线 l 的方程是 y= x+b,它在 x 轴上的截距是- 6 6b,已知,得|-6b· b|=6,∴b=± 1. ∴直线 l 的方程为 x-6y+6=0 或 x-6y-6=0. [课下提升考能] 第Ⅰ组:全员必做题 1.若直线 l 与直线 y=1,x=7 分别交于点 P,Q,且线段 PQ 的中点坐标为(1,-1), 则直线 l 的斜率为( 1 A. 3 ) 3 C.- 2 2 D. 3

1 B.- 3

解析: 选 B 设 P(xP,1), 由题意及中点坐标公式得 xP+7=2, 解得 xP=-5, 即 P(-5,1), 1 所以 k=- . 3
6

2.直线 ax+by+c=0 同时要经过第一、第二、第四象限,则 a,b,c 应满足( A.ab>0,bc<0 C.ab<0,bc>0 B.ab>0,bc>0 D.ab<0,bc<0

)

解析:选 A 由于直线 ax+by+c=0 经过第一、二、四象限,所以直线存在斜率,将方 a c a c 程变形为 y=- x- .易知- <0 且- >0,故 ab>0,bc<0. b b b b 3.若实数 a,b 满足 a+2b=3,则直线 2ax-by-12=0 必过定点( A.(-2,8) 解析:选 D 故选 D. 4.将直线 y=3x 绕原点逆时针旋转 90° ,再向右平移 1 个单位,所得到的直线为( 1 1 A.y=- x+ 3 3 1 B.y=- x+1 3 C.y=3x-3 1 D.y= x+1 3 ) B.(2,8) C.(-2,-8) D.(2,-8) )

a+2b=3?4a+8b-12=0,又 2ax-by-12=0,比较可知 x=2,y=-8

1 解析:选 A 将直线 y=3x 绕原点逆时针旋转 90° 得到直线 y=- x,再向右平移 1 个单 3 1 1 1 位,所得直线的方程为 y=- (x-1),即 y=- x+ . 3 3 3 5.(2014· 浙江诸暨质检)已知两点 M(2,-3),N(-3,-2),直线 l 过点 P(1,1)且与线段 MN 相交,则直线 l 的斜率 k 的取值范围是( 3 A.k≥ 或 k≤-4 4 3 B.-4≤k≤ 4 ) 3 C. ≤k≤4 4 3 D.- ≤k≤4 4

解析: 选 A 如图所示, ∵kPN=

1-?-2? 3 1-?-3? = , kPM= =-4, 1-?-3? 4 1-2

∴要使直线 l 与线段 MN 相交,当 l 的倾斜角小于 90° 时,k≥kPN;当 l 3 的倾斜角大于 90° 时,k≤kPM,由已知得 k≥ 或 k≤-4,故选 A. 4 6.已知 A(3,5),B(4,7),C(-1,x)三点共线,则 x=________. 解析:因为 kAB= 7 -5 x-5 x-5 =2,kAC= =- . 4 4 -3 -1-3 x-5 =2,解得 x=-3. 4

A,B,C 三点共线,所以 kAB=kAC,即- 答案:-3

7.已知两点 A(0,1),B(1,0),若直线 y=k(x+1)与线段 AB 总有公共点,则 k 的取值范围 是________. 解析:y=k(x+1)是过定点 P(-1,0)的直线,kPB=0,kPA= ∴k 的取值范围是[0,1].答案:[0,1] 8.过点 M(-3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________________.
7

1-0 =1. 0-?-1?

5 解析:(1)当过原点时,直线方程为 y=- x, 3 x y (2)当不过原点时,设直线方程为 + =1,即 x-y=a.代入点(-3,5),得 a=-8. a -a 即直线方程为 x-y+8=0. 5 答案:y=- x 或 x-y+8=0 3

9.已知两点 A(-1,2),B(m,3). (1)求直线 AB 的方程; (2)已知实数 m∈?-

?

3 ? -1, 3-1 ,求直线 AB 的倾斜角 α 的取值范围. 3 ?

解:(1)当 m=-1 时,直线 AB 的方程为 x=-1; 1 当 m≠-1 时,直线 AB 的方程为 y-2= (x+1). m+1 π (2)①当 m=-1 时,α= ; 2 ②当 m≠-1 时,m+1∈?-

?

3 ? ,0 ∪(0, 3 ], 3 ?

π π? ?π 2π? 1 3 , , ∴k= ∈(-∞,- 3 ]∪? ,+∞?,∴α∈? 6 2?∪?2 3 ?. ? m+1 ?3 ? π 2π? 综合①②知,直线 AB 的倾斜角 α∈? ?6, 3 ?. 10.已知直线 l:kx-y+1+2k=0(k∈R). (1)证明:直线 l 过定点; (2)若直线 l 不经过第四象限,求 k 的取值范围; (3)若直线 l 交 x 轴负半轴于点 A,交 y 轴正半轴于点 B,O 为坐标原点,设△AOB 的面 积为 S,求 S 的最小值及此时直线 l 的方程. 解:(1)证明:法一:直线 l 的方程可化为 y=k(x+2)+1, 故无论 k 取何值,直线 l 总过定点(-2,1). 法二:设直线 l 过定点(x0,y0),则 kx0-y0+1+2k=0 对任意 k∈R 恒成立,即(x0+2)k -y0+1=0 恒成立, ∴x0+2=0,-y0+1=0, 解得 x0=-2,y0=1,故直线 l 总过定点(-2,1). (2)直线 l 的方程为 y=kx+2k+1,则直线 l 在 y 轴上的截距为 2k+1,
? ?k≥0, 要使直线 l 不经过第四象限,则? 解得 k 的取值范围是[0,+∞). ?1+2k≥0, ?

1+2k 1+2k ? (3)依题意, 直线 l 在 x 轴上的截距为- , 在 y 轴上的截距为 1+2k, ∴A?- ,0 , k k ? ?

8

1+2k B(0,1+2k).又- <0 且 1+2k>0,∴k>0. k 1 1 1 1+2k 1 1 4k+ +4?≥ (4+4)=4, 故 S= |OA||OB|= × (1+2k)= ? k ? 2 2 2 k 2? 1 1 当且仅当 4k= ,即 k= 时,取等号. k 2 故 S 的最小值为 4,此时直线 l 的方程为 x-2y+4=0. 第Ⅱ组:重点选做题 π 1.(2014· 哈尔滨模拟)函数 y=asin x-bcos x 的一条对称轴为 x= ,则直线 l:ax-by+c 4 =0 的倾斜角为( A.45° C.120° ) B.60° D.135°

π? π 解析:选 D 由函数 y=f(x)=asin x-bcos x 的一条对称轴为 x= 知,f(0)=f? ?2?,即-b 4 =a,∴直线 l 的斜率为-1,∴倾斜角为 135° . 2.已知直线 l1:ax-2y=2a-4,l2:2x+a2y=2a2+4,当 0<a<2 时,直线 l1,l2 与两 坐标轴围成一个四边形,当四边形的面积最小时,则 a=________. 解析:由题意知直线 l1,l2 恒过定点 P(2,2),直线 l1 的纵截距为 2-a,直线 l2 的横截距 1?2 15 1 1 为 a2+2,所以四边形的面积 S= ×2×(2-a)+ ×2×(a2+2)=a2-a+4=? ?a-2? + 4 ,当 2 2 1 a= 时,面积最小. 2 1 答案: 2

9

第二节

两直线的位置关系

1.两直线的位置关系 斜截式 方 程 相 交 垂 直 y=k1x+b1 y=k2x+b2 k1≠k2 1 k1=- 或 k2 k1k2=-1 k1=k2 且 b1≠b2 一般式
2 A1x+B1y+C1=0(A2 1+B1≠0) 2 A2x+B2y+C2=0(A2 2+B2≠0)

A1B2-A2B1≠0

?当A2B2≠0时,记为A1≠B1? A2 B2? ?
A1A2+B1B2=0 A2 ?当B1B2≠0时,记为A1· =-1? B1 B2 ? ?
? ? ?A1B2-A2B1=0, ?A1B2-A2B1=0, ? 或? ?B2C1-B1C2≠0 ? ? ?A1C2-A2C1≠0

平 行

?当A2B2C2≠0时,记为A1=B1≠C1? A2 B2 C2? ?

2.两直线的交点 设两条直线的方程是 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,两条直线的交点坐标
?A1x+B1y+C1=0, ? 就是方程组? 的解,若方程组有唯一解,则两条直线相交,此解就是交点 ? ?A2x+B2y+C2=0

坐标;若方程组无解,则两条直线无公共点,此时两条直线平行;反之,亦成立. 3.几种距离 (1)两点间的距离: 平面上的两点 A(x1,y1),B(x2,y2)间的距离公式:d(A,B)=|AB|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2. (2)点到直线的距离: |Ax1+By1+C| 点 P(x1,y1)到直线 l:Ax+By+C=0 的距离 d= . A2+B2 (3)两条平行线间的距离: 两条平行线 Ax+By+C1=0 与 Ax+By+C2=0 间的距离 d= |C1-C2| A2+B2 .

10

1.在判断两直线的位置关系时,易忽视斜率是否存在,两条直线都有斜率可据条件进行 判断,若无斜率,要单独考虑. 2.运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的 x,y 的系数分别相等这一条件盲 目套用公式导致出错. [试一试] 1.(2013· 长春调研)已知直线 3x+4y-3=0 与直线 6x+my+14=0 平行,则它们之间的 距离是( 17 A. 10 ) 17 B. 5 C.8 D.2

6 m 14 解析:选 D ∵ = ≠ , 3 4 -3 ∴m=8,直线 6x+my+14=0 可化为 3x+4y+7=0,两平行线之间的距离 d= |-3-7| =2. 32+42

2.已知 p:直线 l1:x-y-1=0 与直线 l2:x+ay-2=0 平行,q:a=-1,则 p 是 q 的 ( ) A.充要条件 C.必要不充分条件 B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

解析:选 A 由于直线 l1:x-y-1=0 与直线 l2:x+ay-2=0 平行的充要条件是 1×a -(-1)×1=0,即 a=-1.

1.与已知直线垂直及平行的直线系的设法 与直线 Ax+By+C=0(A2+B2≠0)垂直和平行的直线方程可设为: (1)垂直:Bx-Ay+m=0; (2)平行:Ax+By+n=0. 2.转化思想在对称问题中的应用 对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称,利用坐标转移法. [练一练] 1.点(2,3)关于直线 x+y+1=0 的对称点是________. b-3 ? ?a-2=1, 解析:设对称点为(a,b),则? a+2 b+3 ? ? 2 + 2 +1=0, 答案:(-4,-3) 2.(2014· 张家口质检)已知直线 l 过点(-1,2)且与直线 2x-3y+4=0 垂直,则直线 l 的方
11 ?a=-4, ? 解得? ? ?b=-3.

程为________. 3 解析:由直线 l 与直线 2x-3y+4=0 垂直,可知直线 l 的斜率是- ,由点斜式可得直线 2 3 l 的方程为 y-2=- (x+1),即 3x+2y-1=0.答案:3x+2y-1=0 2

考点一

两直线平行与垂直

1.已知过点 A(-2,m)和点 B(m,4)的直线为 l1,直线 2x+y-1=0 为 l2,直线 x+ny+1 =0 为 l3.若 l1∥l2,l2⊥l3,则实数 m+n 的值为( A.-10 B.-2 C.0 4-m =-2. m+2 ) D.8

解析:选 A ∵l1∥l2,∴kAB= 解得 m=-8. 又∵l2⊥l3,

1 ∴- ×(-2)=-1,解得 n=-2, ∴m+n=-10. n 2.“a=2”是“直线 ax+2y=0 与直线 x+y=1 平行”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 )

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析:选 C 当 a=2 时,直线 ax+2y=0 即 x+y=0 与直线 x+y=1 平行;当直线 ax a +2y=0 与直线 x+y=1 平行时,- =-1,a=2.综上所述,“a=2”是“直线 ax+2y=0 2 与直线 x+y=1 平行”的充要条件,故选 C. 3.经过两直线 l1:x-2y+4=0 和 l2:x+y-2=0 的交点 P,且与直线 l3:3x-4y+5= 0 垂直的直线 l 的方程为________. 解析:法一 由方程组{x-2y+4=0,?x+y-2=0, 得{x=0,?y=2, 即 P(0,2). 4 4 ∵l⊥l3,∴直线 l 的斜率 k1=- ,∴直线 l 的方程为 y-2=- x, 3 3 即 4x+3y-6=0. 法二 ∵直线 l 过直线 l1 和 l2 的交点, ∴可设直线 l 的方程为 x-2y+4+λ(x+y-2)=0, 即(1+λ)x+(λ-2)y+4-2λ=0.∵l 与 l3 垂直,