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2013华约自主招生数学试题


2013 年“华约”自主招生考试数学试题
一、已知集合 A= ?x ? Z | x ? 10? ,B 是 A 的子集,且 B 中元素满足下列条件: ⑴数字两两不相等,⑵任意两数字之和不等于 9. 试求: (Ⅰ)B 中有多少个两位数?有多少个三位数? (Ⅱ)B 中是否有五位数?是否有六位数? (Ⅲ)将 B 中的元素从小到大排列,第 1081 个元素是多少? 二、已知 sin x ? sin y ?

1 1 , cos x ? cos y ? ,求 sin(x - y) , cos(x + y)的值 3 5

三、设 k > 0,从直线 y = kx 和 y = -kx 上分别选取点 A(xA , yA) , B(xB , yB) ,使得 xA ? xB > 0 , |OA| ? |OB|=1+k2 ,O 为坐标原点,AB 的中点 M 的轨迹为 C。 (Ⅰ)求 C 的轨迹方程; (Ⅱ)抛物线 x2=2px (p>0)与 C 相切于两点,求证:两点在两条定直线上,并求出两条切线 方程。 四、7 个红球和 8 个黑球,从中任取 4 个。 (Ⅰ)求恰好有一个红球的概率 (Ⅱ)社四个求中黑球的个数为 X,求 X 的分布列及数学期望 EX。 (Ⅲ)求当四个求均为一种颜色时,这种颜色为黑球的概率。 五、已知 an+1 = an + can2,n = 1 , 2 , 3 , ??, a1 > 0 ,c > 0, (Ⅰ)对任意的 M > 0,存在正整数 N,使得对于 n > N,恒有 an > M; (Ⅱ)设 bn ?

1 can ? 1

,Sn 为{bn}的前 n 项和。证明:{Sn}有界且对 d >0,存在正整数 k,

当 n > k 时,恒有 0 ? S n ?

1 ?d。 ca1

六、已知 x、y、z 是三个大于 1 的正整数,且 xyz 整除(xy-1)(yz-1)(zx-1),求 x、y、z 的所有 可能的值。 七、已知 f(x)=(1-x)ex-1. (Ⅰ)证明:当 x > 0 时,f(x) < 0; (Ⅱ)若 xn e
xn ?1

? e xn ? 1,x1=1,证明数列{xn}递减,且 x n ?

1 . 2n

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