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252.期末等腰三角形1(周红军)


海陵中学八年级(上)期末教学案

班级

姓名

设计:张晓波

轴对称

等腰三角形的性质与判定(1)
【知识梳理】 1.等腰三角形的性质 性质 1 等腰三角形的两个 相等(简写成 “ ” ) 答案:底角,等边对等角 性质 2 等腰三角形 、 、 互相重合(简写 ) . 答案:底边上的高,底边上的中线,顶角平分线, 三线合一. 根据等腰三角形性质定理在△ABC 中, AB=AC 时, (1) ∵AD⊥BC, ∴∠_____ = ∠_____,____= ____. 答案:BAD,CAD,BD=CD (2) ∵AD 是中线, ∴____⊥____ , ∠_____ =∠_____. 答案:AD,BC, BAD,CAD (3) ∵AD 是角平分线, ∴____ ⊥____ ,_____ =_____. 答案:AD,BC, BD=CD 2.等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所 对的 也相等(简写成 )

(2).在△ABC 中,AB=AC,若∠B =50°,则∠A= (2)80° (3). 等腰三角形的一个角为 70°, 则另外两个角 的度数是 (3)55°,55°或 40°,70° (4).等腰三角形的一个角为 120°则另外两个角 的度数是 (4)30°,30° (5).等腰三角形的两边长分别为 6,8,则周长为 (5)20 或 22 (6).等腰三角形的周长为 14,其中一边长为 6, 则另两边分别为 (6)4,4 或 6,2 (7) 等腰三角形底边长为 5cm,一腰上的中线 把其周长分为两部分的差为 3cm,则腰长为 (7)8cm 2.如图,在△ABC 中, AB=AC,D 在 BC 上, 且 AD=BD,AC=CD,求∠B 的度数.
B

A

O

在 RT△DCA 中,∠DCA=30° ∴CD=AC/2=AB/2=5cm 6.如图在 Rt△ABC 中,∠CBA=90°,D 是 AB 延 长线上一点,E 在 BC 上,连接 DE 并延长交 AC 于 F,且 EF=FC,求证:AF=DF
C

3.解:设∠0CB=∠ABO=x° 因为是等边三角形, 所以∠ABC=∠ACB 所以,∠OBC=∠ACO=60-x° 根据三角形内角和为 180° 所以∠BOC=180°-(60°- x°)- x°=120° 4. 如图△ABC 是等边三角形,AD 为中线,AD=AE, 求∠EDC 的度数
A

6.证明:如图:∵EF=FC, ∴∠C=∠1. 又∵∠2=∠1, ∴∠D+∠2=∠C+∠A=90°. ∴∠D=∠A. ∴AF=DFc 7. 如图 AB=AC,BD=CD,AD 的延长线交 BC 于点

E B D C

E.求证:AE⊥BC.

2.角,等角对等边 3. 等边三角形的性质 等边三角形的 3.各角,各边 4. 等边三角形的判定

2.解:因为 AB=AC 相等 所以∠B=∠C 同理得:∠CAD=∠CDA 可得:∠B=∠BAD 由于∠CDA=∠B+∠BAD 故∠CAD=∠CDA=2∠BAD 故∠BAC=3∠BAD=3∠B 三角形内角和为 180°, 即:∠BAC+∠B+∠C=180° 即:5∠B=180° 得∠B=36° 所以∠BAC=108° 3.如图,O 是等边三角形 ABC 内一点,∠OCB= ∠ABO,求∠BOC 的度数. ∠B=∠BAD

4.解:因为 AD 是等边△ABC 的中线, 所以 AD 是等边△ABC 角平分线,高线. 所以∠ADC=90°. 因为△ABC 是等边三角形, 所以角∠BAC=60°,∠DAE=30°. 因为 AE=AD, 所以∠AED=∠ADE=75°. 所以∠EDC=∠ADC-∠ADE=15°. 5.如图,在△ABC 中,AB=AC=2,∠B =15°, 求腰上的高的长.
A B C

7.证明:∵AB=AC,BD=CD,AD=AD, ∴△ADC≌△ABD. ∴∠CAD=∠BAD. ∵AB=AC, ∴△ABE≌△ACE, ∴BE=CE. ∵AB=AC, ∴AE⊥BC(三线合一). 8. 如图,在△ABC 中,AB=AC, AE⊥AB 交 BC 于 E,∠BAC=120°,AE=3cm,求 BC 的长

是等边三角形 是等边三角形 是等边三角形 4.各边都相等的三角形;各角都相等的三角形; 有一个角是 60°的等腰三角形. 5.在直角三角形中,如果一个锐角等于 , 那么它所对的 的一半 5.30°,对的直角边等于斜边 【典例剖析】 1(1)在△ABC 中,AB=AC,若∠A=50°,则∠B= 1.(1)65°

5.解:∵AB=AC ∴∠B=∠ACB=15° ∴∠BAC=180°-15°-15°=150° ∴∠DCA=30°

海陵中学八年级(上)期末教学案

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设计:张晓波

轴对称

A

10.证明:(1)∵DE=DB,AD⊥BC, ∵B=∠AEC,AE=AB,DE=BD, 外角等于不相邻两内角之和∠AEC=∠C+∠CAE. 又∵∠B=2∠C,即∠AEC=2=∠C, ∴∠C=∠CAE. ∴CE=AE=AB. ∵CD=CE+DE=AB+BD, (2)延长 CB 到 E,使得 BE=AB,连结 AE. ∵△ABE 是等腰三角形, ∴∠E=∠BAE=
1 2

B

E

C

8.解:∵AB=AC,∠BAC=120°, ∴∠B=∠C=30°. ∵AE=3,AB⊥AE, ∴BE=2AE=6,∠AEB=60°. ∴∠CAE=30°. ∴CE=AE=3. ∴BC=6+3=9. 9.等边△ABC 表示一块地,DE、EF 为地块中的 两条路,且 D 为 AB 中点,DE⊥AC,EF∥AB.已 知 AE=5m, 你能求出地块△EFC 的周长吗?

∠ABD.

∵∠B=2∠C, ∴∠E=∠C. 在△AED 和△ACD 中, ∠E=∠C,∠ADE=∠ADC=90°,AD=AD, ∴ △AED≌△ACD. ∴CD=ED. ∵ED=BD+BE=BD+AB, ∴CD=AB+BD. 【课后练习】 1. 在△ABC 中, ∠A=65°, ∠B=50°则 AB︰AC= 1.1︰1 2.已知 AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线,要 使 AD∥BC, 则△ABC 的边一定满足 2.△ABC 为等腰三角形 3.在如图所示的 4×4 正方形网格中.∠1+∠2 +∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=______.

形.其中是等边三角形的有 (填序号) 5.①②④ 6. 如图,在△ABC 中,∠B 和∠C 的平分线相交 于 F,过 F 作 DE∥BC,交 AB 于点 D,交 AC 于点 E,那么下列结论:①△BDF 和△CEF 都是等腰 三角形;②DE=BD+CE;③△ADE 的周长等于 AB 和 AC 的和;④BF=CF.其中正确的有 (填序号) 6.①②③ 7. 如图,在 4×4 的网格中,每个小正方形的顶 点叫做格点.A,B 是其中两个格点,确定格点 C, 使△ABC 为等腰三角形,这样的格点 C 共有 个
A

求证:△ABC 是等腰三角形 证明:∵CE 平分∠BCD ∴∠ACE=∠ECD ∵AB//CE ∴∠A=∠ACE,∠B=∠ECD ∴∠A=∠B ∴△ABC 是等腰三角形 11.如图,在△ABC 中,AB=AC,D 是 BC 边的中 点,E 是 BA 延长线上一点,F 是 AC 上一点,且 AE=AF, 连接 EF 并延长交 BC 于 G. 与 EG 平 AD 行吗?为什么?

B
D B F E

A
C

9.解:∵EF//AB, ∴△EFC 是等边三角形. ∵DE⊥AC, ∴∠ADE=90°-∠A=30 度, ∴AE=
1 2 1 4

7.6 8. 如图, 在△ABC 中, ∠C=90°, ∠B=30°,AD 是角平分线,DE⊥AB 于点 E,AD、CE 相交于点 G,则图中等腰三角形的个数为 个. 8.3 9. 如图,在 4 个正方形拼成的图形中,以这 10 个点中任意三点为顶点,共能组成 个等腰 直角三角形 A A
9 10

A

A1 A8
E G C

A7

A6

AD=

AB.

∴AC=AB=4AE=4×5=20 米 ∴△EFC 的周长=3CE=3(AC-AE) =3×(20-5) =45 米. 10. 如图,在△ ABC 中,∠B=2∠C,AD⊥BC 于 D,求证:CD=AB+BD.请思考: (1)若在 CD 上截取 DE=DB,连结 AE,如何证 明. (2)若延长 CB 到 E,使 BE=AB,连结 AE,是否 可以证出结论.

3.315°
4.如图,△ABC 中,∠B=∠C,FD⊥BC 于 D, DE⊥AB 于 E,∠AFD=158°,则 ? E D F 等于 A ______. F E B D C

11.平行.
A2
B

A3

A4

A5

D

证明:∠BAC=∠E+∠EFA 因为:AE=AF 所以:∠E=∠EFA 所以:∠BAC=∠E+∠EFA=2∠EFA 由于 AB=AC,D 是 BC 的中点 所以,AD 平分∠BAC 所以∠BAC=∠BAD+∠DAC=2∠DAC (2) 有(1)(2)知 ∠EFA=∠DAC 所以 AD//EG(内错角相等,两直线平行) 12.如图,在△ABC 中,AB=AC,BD⊥AC 于 D, (1)

9.16 10.求证:如果三角形一个外角的平分线平行于 三角形的一边,那么这个三角形是等腰三角形. 10.已知:如图,在△ABC 中,延长 AC 到 D, CE 平分∠BCD,且 CE∥AB

4.68° 5. 下面给出的几种三角形:①三个内角都相等; ②有两个外角为 120°; ③一边上的高也是这边所 对的角的角平分线;④三条边上的高相等的三角

海陵中学八年级(上)期末教学案

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轴对称

探究∠DBC 与∠A 的大小关系并证明 14.如图 AB=AE,∠ABC=∠AED,BC=ED,点 F 是 CD 的中点 (1)求证:AF⊥CD (2)在你连接 BE 后, 还能得出什么新的结论?请写 出来(不要证明)

AQ=y (1) 用 x 的代数式表示 y (2)当 PB 等于多少时,点 P 与点 Q 重合?

12.证明:∵AB=AC, ∴∠B=∠C, ∴∠A=180°-2∠C 又∵BD 垂直 AC, ∴∠C=90°-∠DBC ∴∠A=180°-2(90°-∠DBC) =180°-2×90°+2∠DBC =2∠DBC 即∠A=2∠DBC 13.如图,AF 是 △ A B C 的角平分线,BD⊥AF 交 AF 的延长线于 D,DE∥AC 交 AB 于 E, 求证:AE=BE. 14.证明:(1) 连接 AC,AD, ∵AB=AE,BC=ED,∠ABC=∠AED ∴△ABC=△AED ∴AC=AD, ∴AF⊥CD (2)BE//CD, BE⊥CD 15.在 △ A B C 中,AB=BC,∠ABC=45°,AD 是 BC 边上的高, 是 AD 上一点, E ED=CD, 连接 EC, 求证:EA=EC. 16.证明:(1)∵△ABC 是等边三角形 ∴∠A=∠B=∠C=60° AB=AC=BC=2 ∵PE⊥BC 于 E ∴∠PEB=90° ∴△BPE 是直角三角形 ∴BP=2BE 同理可证:EC=2FC AF=2AQ ∵BP=x AQ=y ∴BE=
1 2

17.解: (1)∵AB=AC,BD=AE,∠B=∠C=60° ∴△ABD≌△CAE, ∴AD=CE (2)∵△ABD≌△CAE ∴∠ACE=∠BAD, ∵∠BAD+∠DAC=60° ∴∠CAD+∠ACE=60°=∠DFC.

x AF=2y

FC=AC-AF=2-2y EC=BC-BE=2∴y=
1 2 1 2

x

+

1 8

x

(2)当点 P 与点 Q 重合时,x+y=2 即 y=2-x 13.证明:∵DE‖AC, ∴∠EDA=∠CAD; ∵AF 平分∠CAB, ∴∠EAD=∠CAD. ∴∠EAD=∠EDA, ∴AE=DE ∵AD⊥BD, ∴∠EDA+∠EDB=90°, ∠EAD+∠EBD=90. ∴∠EBD=∠EDB, ∴BE=DE. ∴AE=BE 16.如图,在等边 △ A B C 中,AB=2,点 P 是 AB 边上的任意一点(点 P 可以与点 A 重合,但不与 B 重合) ,过点 P 作 PE⊥BC 于 E,过点 E 作 EF ⊥AC 于 F,过点 F 作 FQ⊥AB 于 Q,设 BP=x, 15.证明:∵AD 是 BC 边上的高 ∴△ADB 和△DEC 是等腰直角三角形 ∴∠BAD 和∠DCE 为 45° ∵△BAC 是等腰三角形 ∴∠BAC=∠BCA ∴∠EAC=∠EAC ∴EA=EC 17.如图,在等边 △ A B C 中,点 D , E 分别在边 B C , A B 上,且 B D ? A E , A D 与 C E 交于点 F . (1)求证: A D ? C E ; (2)求∠ D FC 的度数.
?y ? 2? x ? 1 1 ? ?y ? ? x 2 8 ?

解得:x= ∴BP=
4 3

4 3

, y=

2 3


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