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【 学案导学设计】高中数学(人教A版,必修五)课时作业第三章 §3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域



§ 3.3

二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 二元一次不等式(组)与平面区域

3.3.1

课时目标 1.了解二元一次不等式表示的平面区域. 2.会画出二元一次不等式(组)表示的平面区域. 1.二元一次不等式(组)的概念 含有两个未知数,并且未知数的次数是 1 的不等式叫做二元一次不等式. 由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组. 2.二元一次不等式表示的平面区域 在平面直角坐标系中,二元一次不等式 Ax+By+C>0 表示直线 Ax+By+C=0 某一侧 所有点组成的平面区域,把直线画成虚线以表示区域不包括边界. 不等式 Ax+By+C≥0 表示的平面区域包括边界,把边界画成实线. 3.二元一次不等式(组)表示平面区域的确定 (1)直线 Ax+By+C=0 同一侧的所有点的坐标(x, y)代入 Ax+By+C 所得的符号都相同. (2)在直线 Ax+By+C=0 的一侧取某个特殊点(x0,y0),由 Ax0+By0+C 的符号可以断 定 Ax+By+C>0 表示的是直线 Ax+By+C=0 哪一侧的平面区域.

一、选择题 1.如图所示,表示阴影部分的二元一次不等式组是( )

y≥-2 ? ? A.?3x-2y+6>0 ? ?x<0 y>-2 ? ? C.?3x-2y+6>0 ? ?x≤0

y≥-2 ? ? B.?3x-2y+6≥0 ? ?x≤0 y>-2 ? ? D.?3x-2y+6<0 ? ?x<0

答案 C 解析 可结合图形, 根据确定二元一次不等式组表示的平面区域的方法逆着进行. 由图 知所给区域的三个边界中,有两个是虚的,所以 C 正确. 2.已知点(-1,2)和(3,-3)在直线 3x+y-a=0 的两侧,则 a 的取值范围是( ) A.(-1,6) B.(-6,1) C.(-∞,-1)∪(6,+∞) D.(-∞,-6)∪(1,+∞) 答案 A

解析 由题意知,(-3+2-a)(9-3-a)<0, 即(a+1)(a-6)<0,∴-1<a<6. 3.如图所示,表示满足不等式(x-y)(x+2y-2)>0 的点(x,y)所在的区域为(

)

B 不等式(x-y)(x+2y-2)>0 等价于不等式组 ?x-y>0, ? (Ⅰ)? ?x+2y-2>0 ?
? ?x-y<0, 或不等式组(Ⅱ)? 分别画出不等式组(Ⅰ)和(Ⅱ)所表示的平面区域,再求并 ?x+2y-2<0. ? 集,可得正确答案为 B.

答案 解析

4x+3y≤12, ? ? 4.不等式组?x-y>-1, ? ?y≥0

表示的平面区域内整点的个数是(

)

A.2 个 B.4 个 C.6 个 D.8 个 答案 C 解析 画出可行域后,可按 x=0,x=1,x=2,x=3 分类代入检验,符合要求的点有 (0,0),(1,0),(2,0),(3,0),(1,1),(2,1)共 6 个. x+y≥0, ? ? 5.在平面直角坐标系中,不等式组?x-y+4≥0, ? ?x≤a 是 9,那么实数 a 的值为( A.3 2+2 C.-5 答案 D ) B.-3 2+2 D.1 (a 为常数)表示的平面区域的面积

解析 区域如图, 易求得 A(-2,2),B(a,a+4), C(a,-a). 1 S△ABC= |BC|· |a+2|=(a+2)2=9,由题意得 a=1. 2

x≥0, ? ? 6.若不等式组?x+3y≥4, ? ?3x+y≤4

4 所表示的平面区域被直线 y=kx+ 分为面积相等的两部 3

分,则 k 的值是( ) 7 3 4 3 A. B. C. D. 3 7 3 4 答案 A 解析 不等式组表示的平面区域如图所示.

4 4 4 0, ?.因此只有直线过 AB 中点时, 由于直线 y=kx+ 过定点? 直线 y=kx+ 能平分平面 3 ? ? 3 3 区域. 1 5? 因为 A(1,1),B(0,4),所以 AB 中点 M? ?2,2?. 1 5? 4 5 k 4 , 时, = + , 当 y=kx+ 过点? ?2 2? 3 2 2 3 7 所以 k= . 3 二、填空题 7.△ABC 的三个顶点坐标为 A(3,-1),B(-1,1),C(1,3),则△ABC 的内部及边界所 对应的二元一次不等式组是________________. x+2y-1≥0 ? ? 答案 ?x-y+2≥0 ? ?2x+y-5≤0 解析

如图直线 AB 的方程为 x+2y-1=0(可用两点式或点斜式写出). 直线 AC 的方程为 2x+y-5=0, 直线 BC 的方程为 x-y+2=0, 把(0,0)代入 2x+y-5=-5<0, ∴AC 左下方的区域为 2x+y-5<0. x+2y-1≥0 ? ? ∴同理可得△ABC 区域(含边界)为?x-y+2≥0 ? ?2x+y-5≤0 .

8.已知 x,y 为非负整数,则满足 x+y≤2 的点(x,y)共有________个. 答案 6

x∈N ? ? 解析 由题意点 (x , y)的坐标应满足?y∈N ? ?x+y≤2 (2,0)(0,1)(0,2)(1,1)6 个.

,由图可知,整数点有 (0,0), (1,0),

9.原点与点(1,1)有且仅有一个点在不等式 2x-y+a>0 表示的平面区域内,则 a 的取值 范围为________. 答案 -1<a≤0 解析 根据题意,分以下两种情况: ①原点(0,0)在该区域内,点(1,1)不在该区域内. ? ?a>0 则? .无解. ?a+1≤0 ? ②原点(0,0)不在该区域内,点(1,1)在该区域内, ? ?a≤0 则? ,∴-1<a≤0. ?a+1>0 ? 综上所述,-1<a≤0. x≤0, ? ? 10.若 A 为不等式组?y≥0, ? ?y-x≤2 表示的平面区域,则当 a 从-2 连续变化到 1 时,动直

线 x+y=a 扫过 A 中的那部分区域的面积为________. 7 答案 4 解析

如图所示,区域 A 表示的平面区域为△OBC 内部及其边界组成的图形,当 a 从-2 连 续变化到 1 时扫过的区域为四边形 ODEC 所围成的区域. 又 D(0,1),B(0,2), 1 3 - , ?,C(-2,0). E? ? 2 2? 1 7 S 四边形 ODEC=S△OBC-S△BDE=2- = . 4 4 三、解答题 x≥3 ? ? 11.利用平面区域求不等式组?y≥2 ? ?6x+7y≤50 解 的整数解.

先画出平面区域,再用代入法逐个验证.

32 把 x=3 代入 6x+7y≤50,得 y≤ ,又∵y≥2, 7 ∴整点有:(3,2)(3,3)(3,4); 把 x=4 代入 6x+7y≤50, 26 得 y≤ , 7 ∴整点有:(4,2)(4,3). 20 把 x=5 代入 6x+7y≤50,得 y≤ , 7 ∴整点有:(5,2); 把 x=6 代入 6x+7y≤50,得 y≤2,整点有(6,2); 8 把 x=7 代入 6x+7y≤50,得 y≤ ,与 y≥2 不符. 7 ∴整数解共有 7 个为(3,2),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(5,2),(6,2). 12.若直线 y=kx+1 与圆 x2+y2+kx+my-4=0 相交于 P、Q 两点,且 P、Q 关于直 kx-y+1≥0 ? ? 线 x+y=0 对称,则不等式组?kx-my≤0 ? ?y≥0 表示的平面区域的面积是多少?

解 P、Q 关于直线 x+y=0 对称,故 PQ 与直线 x+y=0 垂直,直线 PQ 即是直线 y= kx+1,故 k=1; 又线段 PQ 为圆 x2+y2+kx+my-4=0 的一条弦, 故该圆的圆心在线段 PQ 的垂直平分 k m 线上,即为直线 x+y=0,又圆心为(- ,- ), 2 2 ∴m=-k=-1, x-y+1≥0 ? ? ∴不等式组为?x+y≤0 ? ?y≥0 ,

1 1 1 1 它表示的区域如图所示, 直线 x-y+1=0 与 x+y=0 的交点为(- , ), ∴S△= ×1× 2 2 2 2 1 1 = .故面积为 . 4 4 能力提升 x+y-11≥0, ? ? 13. 设不等式组?3x-y+3≥0, ? ?5x-3y+9≤0 表示的平面区域为 D.若指数函数 y=ax 的图象上存在

区域 D 上的点,则 a 的取值范围是( ) A.(1,3] B.[2,3] C.(1,2] D.[3,+∞)

答案 A 解析 作出不等式组表示的平面区域 D,如图阴影部分所示.

?x+y-11=0, ? 由? 得交点 A(2,9). ? ?3x-y+3=0, 对 y=ax 的图象,当 0<a<1 时,没有点在区域 D 上. 当 a>1,y=ax 恰好经过 A 点时,由 a2=9,得 a=3. 要满足题意, 需满足 a2≤9,解得 1<a≤3.

x-y≥0, ? ?2x+y≤2, 14.若不等式组? y≥0, ? ?x+y≤a ______________. 答案 解析 4 0<a≤1 或 a≥ 3

表示的平面区域是一个三角形,则 a 的取值范围是

不等式表示的平面区域如图所示, 2 2? 4 当 x+y=a 过 A? ?3,3?时表示的区域是△AOB,此时 a=3; 4 当 a> 时,表示区域是△AOB; 3 当 x+y=a 过 B(1,0)时表示的区域是△DOB,此时 a=1; 当 0<a<1 时可表示三角形; 4 4 当 a<0 时不表示任何区域,当 1<a< 时,区域是四边形.故当 0<a≤1 或 a≥ 时表示的 3 3 平面区域为三角形. 1.二元一次不等式(组)的解集对应着坐标平面的一个区域,该区域内每一个点的坐标 均满足不等式(组).常用特殊点法确定二元一次不等式表示的是直线哪一侧的部分. 2.画平面区域时,注意边界线的虚实问题. 3.求平面区域内的整点个数时,要有一个明确的思路不可马虎大意,常先确定 x 的范 围,再逐一代入不等式组,求出 y 的范围最后确定整数解的个数.



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