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2015《创新大课堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业:第2章 第12节 导数的应用(一)



课时作业
一、选择题 1 1.(2012· 辽宁高考)函数 y=2x2-ln x 的单调递减区间为 ( A.(-1,1] C.[1,+∞) B.(0,1] D.(0,+∞) )

2 1 1 x -1 B [对函数 y=2x2-ln x 求导,得 y′=x-x = x (x>0), 2 ?x -1 ? ≤0, 1 令? x 解得 x∈(0,1]

.因此函数 y=2x2-ln x 的单调递减区间为(0, ? ?x>0,

1].故选 B.] 2.(2014· 荆州市质检)设函数 f(x)在 R 上可导,其导函数是 f′(x),且函数 f(x)在 x=-2 处取得极小值,则函数 y=xf′(x)的图象可能是 ( )

C

[f(x)在 x=-2 处取得极小值,即 x<-2,f′(x)<0;

x>-2,f′(x)>0,那么 y=xf′(x)过点(0,0)及(-2,0). 当 x<-2 时,x<0,f′(x)<0,则 y>0; 当-2<x<0 时,x<0,f′(x)>0,y<0; 当 x>0 时,f′(x)>0,y>0,故 C 正确.] ex e2 3. (理)(2013· 辽宁高考)设函数 f(x)满足 x2f′(x)+2xf(x)= x , f(2)= 8 , 则 x>0 时, f(x) ( A.有极大值,无极小值 B.有极小值,无极大值 )

C.既有极大值又有极小值 D.既无极大值也无极小值 D [令 F(x)=x2f(x), ex e2 则 F′(x)=x f′(x)+2xf(x)= x ,F(2)=4· f(2)= 2 .
2

ex 由 x f′(x)+2xf(x)= x ,
2

ex-2x2f(x) ex 得 x2f′(x)= x -2xf(x)= , x ex-2F(x) ∴f′(x)= . x3 令 φ(x)=ex-2F(x), 2ex e (x-2) 则 φ′(x)=ex-2F′(x)=ex- x = . x ∴φ(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增, ∴φ(x)的最小值为 φ(2)=e2-2F(2)=0. ∴φ(x)≥0. 又 x>0,∴f′(x)≥0.∴f(x)在(0,+∞)上单调递增. ∴f(x)既无极大值也无极小值.故选 D.] 3.(文)(2013· 福建高考)设函数 f(x)的定义域为 R,x0(x0≠0)是 f(x)的极大值点,以 下结论一定正确的是 ( A.?x∈R,f(x)≤f(x0) B.-x0 是 f(-x)的极小值点 C.-x0 是-f(x)的极小值点 D.-x0 是-f(-x)的极小值点 D [由函数极大值的概念知 A 错误; 因为函数 f(x)的图象与 f(-x)的图象关于 y 轴对称, 所以-x0 是 f(-x)的极大值点. B 选项错误; 因为 f(x)的图象与-f(x) 的图象关于 x 轴对称,所以 x0 是-f(x)的极小值点.故 C 选项错误;因为 f(x) 的图象与-f(-x)的图象关于原点成中心对称,所以-x0 是-f(-x)的极小值 点.故 D 正确.] )
x

1 4.若 f(x)=-2(x-2)2+bln x 在(1,+∞)上是减函数,则 b 的取值范围是 ( A.[-1,+∞) C.(-∞,-1] C B.(-1,+∞) D.(-∞,-1) )

b [由题意可知 f′(x)=-(x-2)+ x ≤0 在(1,+∞)上恒成立,即 b≤x(x-2)

在 x∈(1,+∞)上恒成立, 由于 φ(x)=x(x-2)=x2-2x(x∈(1,+∞))的值域是(-1,+∞),故只要 b≤ -1 即可.正确选项为 C.] 5. (2013· 湖北高考)已知函数 f(x)=x(ln x-ax)有两个极值点, 则实数 a 的取值范围 是 ( A.(-∞,0) C.(0,1) 1? ? B.?0,2? ? ? D.(0,+∞) )

?1 ? B [f′(x)=ln x-ax+x?x-a?=ln x-2ax+1,函数 f(x)有两个极值点,即 ? ? ln x-2ax+1=0 有两个不同的根(在正实数集上),即函数 g(x)= ln x+1 x 与函

-ln x 数 y=2a 在(0,+∞)上有两个不同交点.因为 g′(x)= x2 ,所以 g(x)在 (0,1)上递增,在(1,+∞)上递减,所以 g(x)max=g(1)=1,如图.

若 g(x)与 y=2a 有两个不同交点,须 0<2a<1. 1 即 0<a<2,故选 B.] 6.函数 f(x)=x3-3x-1,若对于区间[-3,2]上的任意 x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)| ≤t,则实数 t 的最小值是

( A.20 C.3 B.18 D.0

)

A [因为 f′(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),令 f′(x)=0,得 x=± 1,所以-1,1 为函数的极值点.又 f(-3)=-19,f(-1)=1,f(1)=-3,f(2)=1,所以在区 间[-3,2]上 f(x)max=1,f(x)min=-19.又由题设知在区间[-3,2]上 f(x)max- f(x)min≤t,从而 t≥20,所以 t 的最小值是 20.] 二、填空题 7.已知函数 f(x)=x3+mx2+(m+6)x+1 既存在极大值又存在极小值,则实数 m 的取值范围是________. 解析 f′(x)=3x2+2mx+m+6= 0 有两个不等实根,即 Δ=4m2 - 12×(m+

6)>0.所以 m>6 或 m<-3. 答案 (-∞,-3)∪(6,+∞)

8.(2014· 济宁模拟)若函数 f(x)=x3-6bx+3b 在(0,1)内有极小值,则实数 b 的 取值范围是__________. 解析 f′(x)=3x2-6b.

当 b≤0 时,f′(x)≥0 恒成立,函数 f(x)无极值. 当 b>0 时,令 3x2-6b=0 得 x=± 2b. 由函数 f(x)在 (0,1)内有极小值,可得 0< 2b<1, 1 ∴0<b<2. 答案 1? ? ?0,2? ? ?

1 9.已知函数 f(x)=-2x2+4x-3ln x 在[t,t+1]上不单调,则 t 的取值范围是 __________. 解析
2 (x-1)(x-3) 3 -x +4x-3 由题意知 f′(x)=-x+4- x = =- ,由 x x

f′(x)=0 得函数 f(x)的两个极值点为 1,3,则只要这两个极值点有一个在区间 (t,t+1)内,函数 f(x)在区间[t,t+1]上就不单调,由 t<1<t+1 或者 t<3< t+1,得 0<t<1 或者 2<t<3.

答案

(0,1)∪(2,3)

三、解答题 1 10.已知函数 f(x)=ax2+bln x 在 x=1 处有极值2. (1)求 a,b 的值; (2)判断函数 y=f(x)的单调性并求出单调区间. 解析 b (1)∵f′(x)=2ax+ x .

1 又 f(x)在 x=1 处有极值2. 1 1 ? ?f(1)= , ? ?a= , 2 ∴? 即? 2 ? ?f′(1)=0, ? ?2a+b=0. 1 解得 a=2,b=-1. 1 (2)由(1)可知 f(x)=2x2-ln x,其定义域是(0,+∞), 1 (x+1)(x-1) 且 f′(x)=x- x= . x 由 f′(x)<0,得 0<x<1; 由 f′(x)>0,得 x>1. 所以函数 y=f(x)的单调减区间是(0,1), 单调增区间是(1,+∞). 11.(2014· 兰州调研)已知实数 a>0,函数 f(x)=ax(x-2)2(x∈R)有极大值 32. (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)求实数 a 的值. 解析 (1)f(x)=ax3-4ax2+4ax,

f′(x)=3ax2-8ax+4a. 令 f′(x)=0,得 3ax2-8ax+4a=0. 2 ∵a≠0,∴3x2-8x+4=0,∴x=3或 x=2. 2? ? ∵a>0,∴当 x∈?-∞,3?或 x∈(2,+∞)时,f′(x)>0. ? ?

2? ? ∴函数 f(x)的单调递增区间为?-∞,3?和(2,+∞); ? ? ?2 ? ∵当 x∈?3,2?时,f′(x)<0, ? ? ?2 ? ∴函数 f(x)的单调递减区间为?3,2?. ? ? 2? ? (2)∵当 x∈?-∞,3?时,f′(x)>0; ? ? ?2 ? 当 x∈?3,2?时,f′(x)<0; ? ? 当 x∈(2,+∞)时,f′(x)>0, 2 ∴f(x)在 x=3时取得极大值, 2?2 ?2 ? -2? 即 a· 3?3 ? =32. ∴a=27. 1-x 12.(2014· 郑州质量预测)已知函数 f(x)= ax +ln x. 1 (1)当 a=2时,求 f(x)在[1,e]上的最大值和最小值; 1 (2)若函数 g(x)=f(x)-4x 在[1,e]上为增函数,求正实数 a 的取值范围. 解析 2(1-x) 1 (1)当 a=2时,f(x)= +ln x, x

x-2 f′(x)= x2 ,令 f′(x)=0,得 x=2, ∴当 x∈[1,2)时,f′(x)<0,故 f(x)在[1,2)上单调递减; 当 x∈(2,e]时,f′(x)>0,故 f(x)在(2,e]上单调递增, 故 f(x)min=f(2)=ln 2-1. 2-e 又∵f(1)=0,f(e)= e <0. ∴f(x)在区间[1,e]上的最大值 f(x)max=f(1)=0. 综上可知,函数 f(x)在[1,e]上的最大值是 0,最小值是 ln 2-1. 1 1-x 1 (2)∵g(x)=f(x)-4x= ax +ln x-4x,

-ax2+4ax-4 ∴g′(x)= (a>0), 4ax2 设 φ(x)=-ax2+4ax-4, 由题意知,只需 φ(x)≥0 在[1,e]上恒成立即可满足题意. ∵a>0,函数 φ(x)的图象的对称轴为 x=2, ∴只需 φ(1)=3a-4≥0, 4 即 a≥3即可. ?4 ? 故正实数 a 的取值范围为?3,+∞?. ? ?



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