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宁夏银川市唐徕回民中学2015届高考数学三模试卷(文科)



宁夏银川市唐徕回民中学 2015 届高考数学三模试卷(文科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知集合 A={﹣2,a},B={2 ,b},若 A∩B={1},则 A∪B=() A.{﹣2,1,3} B.{﹣2,1,2} C.{﹣2,1} D.{﹣2,1,5} 2.

(5 分)设复数 z= A.1 ,则 z 的共轭复数的模等于() B. C. D.
a

3. (5 分)若实数 x,y 满足条件

则 z=3x﹣4y 的最大值是()

A.﹣13

B . ﹣3

C . ﹣1

D.1

4. (5 分)公比为 2 的等比数列{an}的各项都是正数,且 a4a10=16,则 a6=() A.1 B. 2 C. 4 D.8 5. (5 分)以下是某个几何体的三视图(单位:cm) ,则该几何体的体积是()

A.2cm

3

B.3cm

3

C.4cm

3

D.5cm

3

6. (5 分)给出以下命题 2 ①数列{an}的前 n 项和 Sn=n +n+1, 则{an}是等差数列; ②直线 l 的方程是 x+2y﹣1=0,则它的方向向量是(2,﹣1) ; ③向量 =({1,1}) , =({0,﹣1}) ,则 在 方向上的投影是 1; ④三角形 ABC 中,若 sinA= ,则 A= A.3 B. 2 ;以上正确命题的个数是() C. 1 D.0

7. (5 分)已知 m 是平面 α 的一条斜线,点 A?α,l 为过点 A 的一条动直线,那么下列情形 可能出现的是() A.l∥m,l⊥α B.l⊥m,l⊥α C.l⊥m,l∥α D.l∥m,l∥α 8. (5 分)已知实数 x,y 满足 a <a (0<a<1) ,则下列关系式恒成立的是() 2 2 A.ln(x +1)>ln(y +1) B. sinx>siny C. x >y
3 3 x y

D.

9. (5 分)执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为()

A.1

B.

C.

D.

10. (5 分)设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 a1=1,a3=5,Sk+2﹣Sk=36,则 k 的值为() A.8 B. 7 C. 6 D.5 11. (5 分)在三角形 ABC 中,D 为底边 BC 的中点,M 为 AD 上的任一点,过 M 点任作一 直线 l 分别交边 AB、AC 与 E,F(E,F 不与端点重合) ,且 则 m,n,k 满足的关系是() A. B. C. D.m+n=k , ,

12. (5 分)已知函数 f(x)= 同的实根,则实数 a 的取值范围是() A.(﹣ ,0) B.(0, )

,若关于 x 的方程 f(x)=|x﹣a|有三个不

C.(﹣ , )

D.(﹣ , 0) 或 (0, )

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. (5 分)已知 x、y 的取值如下表: x 2 3 4 5 y 2.2 3.8 5.5 6.5 从散点图分析,y 与 x 线性相关,且回归方程为 ,则 为.

14. (5 分)在三角形 ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若三角形 ABC 的面积 S= (a +b ﹣c ) ,则 C=.
2 2 2

15. (5 分)已知点 F(﹣c,0) (c>0)是双曲线
2 2 2

=1(a>0,b>0)的左焦点,过 F
2

且平行于双曲线渐近线的直线与圆 x +y =c 交于另一点 P,且点 P 在抛物线 y =4cx 上,则该 双曲线的离心率的平方是. 16. (5 分)把一数列依次按第一个括号内一个数,第二个括号内两个数,第三个括号内三个 数,第四个括号内一个数,…循环分为(1) , (3,5) , (7,9,11) , (13) , (15,17) , (19, 21,23) , (25) ,…,则第 50 个括号内各数之和为.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (12 分)已知函数 f(x)=cosx?sin(x+ (Ⅰ)求 f(x)的最小正周期; (Ⅱ)求 f(x)在闭区间[﹣ , ]上的最大值和最小值. )﹣ cos x+
2

,x∈R.

18. (12 分)如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AC⊥BC,且 AC=BC=CC1=2,M 是 AB1 与 A1B 的交点,N 是 B1C1 的中点. (Ⅰ)求证:MN∥平面 ACC1A1; (Ⅱ)求三棱锥 N﹣A1BC 的体积.

19. (12 分)某企业有甲、乙两个分厂生产某种零件,按规定内径尺寸(单位:mm)的值落 在[29.94,30.06)的零件为优质品. 从甲、乙两个分厂生产的零件中各抽出 500 件,量其内径尺寸的结果如下表:

甲厂的零件内径尺寸: 分组 [29.86,29.90) [29.90,29.94) [29.94,29.98) [29.98, 30.02) [30.02,30.06) [30.06,30.10) [30.10,30.14) 频数 15 30 125 198 77 35 20 乙厂的零件内径尺寸: 分组 [29.86,29.90) [29.90,29.94) [29.94,29.98) [29.98, 30.02) [30.02,30.06) [30.06,30.10) [30.10,30.14) 频数 40 70 79 162 5955 35 (Ⅰ)由以上统计数据填下面 2×2 列联表,并问是否有 99.9%的把握认为“生产的零件是否为 优质品与在不同分厂生产有关”; 甲厂 乙厂 合计 优质品 非优质品 合计 附: P(K ≥k0) 0.100 0.050 0.010 0.025 0.001 k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 (Ⅱ)现用分层抽样方法(按优质品和非优质品分两层)从乙厂中抽取 5 件零件,求从这 5 件零件中任意取出 2 件,至少有 1 件非优质品的概率.
2

20. (12 分)已知椭圆

+

=1(a>b>0)的右焦点为 F,椭圆过(2,

)且离心率为



(1)求椭圆的标准方程; (2)A 为椭圆上异于椭圆左右顶点的任意一点,B 与 A 关于原点 O 对称,直线 AF 交椭圆于 另外一点 C,直线 BF 交椭圆于另外一点 D, ①求直线 DA 与直线 DB 的斜率之积 ②判断直线 AD 与直线 BC 的交点 M 是否在一条直线上?说明理由.

21. (12 分)已知函数 f(x)=lnx﹣a(x﹣1) ,g(x)=e . (1)当 a=2 时,求函数 f(x)的最值;

x

(2)当 a≠0 时,过原点分别作曲线 y=f(x)与 y=g(x)的切线 l1,l2,已知两切线的斜率互 为倒数,证明: <a< .

请考生在 22,23,24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时用 2B 铅笔在答题纸卡上把所选的题目对应的标号涂黑. (10 分)[平面几何证明选讲] 22. (10 分)在△ ABC 中,AB=AC,过点 A 的直线与其外接圆交于点 P,交 BC 延长线于点 D. (1)求证: ;

(2)若 AC=3,求 AP?AD 的值.

[坐标系与参数方程选修] 23.已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与 x 轴的非负半轴重合,长度单位 相同,直线 l 的参数方程为: ,曲线 C 的极坐标方程为:ρ=2 sin

(θ﹣

) .

(Ⅰ)判断曲线 C 的形状,简述理由; (Ⅱ)设直线 l 与曲线 C 相交于 M,N,O 是坐标原点,求三角形 MON 的面积.

[不等式证明选讲] 24.已知函数 f(x)=2|x+1|﹣|x﹣3| (1)求不等式 f(x)≥5 的解集; (2)当 x∈[﹣2,2]时,关于 x 的不等式 f(x)﹣|2t﹣3|≥0 有解,求实数 t 的取值范围.

宁夏银川市唐徕回民中学 2015 届高考数学三模试卷(文 科)

参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. a 1. (5 分)已知集合 A={﹣2,a},B={2 ,b},若 A∩B={1},则 A∪B=() A.{﹣2,1,3} B.{﹣2,1,2} C.{﹣2,1} D.{﹣2,1,5} 考点: 并集及其运算;交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 由 A∩B={1},可得 1∈A 且 1∈B,进而可得 a=1,b=1,求出集合 A,B 后,根据集合 并集运算规则可得答案 解答: 解:集合 A={﹣1,a},B={2 ,b}, 又∵A∩B={1}, a ∴a=1,2 =2,则 b=1 故 A={﹣1,1},B={1,2} ∴A∪B={﹣2,1,2} 故选 B. 点评: 本题以集合交集及并集运算为载体考查了集合关系中的参数取值问题,解答是要注 意集合元素的互异性 2. (5 分)设复数 z= A.1 ,则 z 的共轭复数的模等于() B. C. D.
a

考点: 复数求模. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 直接利用复数的模的运算法则求解即可. 解答: 解:∵z= , ,∴|z|= = = = .

故选:D. 点评: 本题考查复数的模的求法,复数的基本运算,考查计算能力.

3. (5 分)若实数 x,y 满足条件

则 z=3x﹣4y 的最大值是()

A.﹣13

B . ﹣3

C . ﹣1

D.1

考点: 简单线性规划. 专题: 计算题;不等式的解法及应用. 分析: 作出题中不等式组表示的平面区域, 得到如图的△ ABC 及其内部, 再将目标函数 z=3x ﹣4y 对应的直线进行平移,观察直线在 y 轴上的截距变化,可得当 x=y=1 时,z 达到最大值 ﹣1.

解答: 解:作出不等式组

表示的平面区域,

得到如图的△ ABC 及其内部, 其中 A(﹣1,3) ,B(1,1) ,C(3,3) . 设 z=F(x,y)=3x﹣4y,将直线 l:z=3x﹣4y 进行平移, 观察直线在 y 轴上的截距变化,可得当 l 经点 C 时,目标函数 z 达到最大值, ∴z 最大值=F(1,1)=﹣1, 故选:C

点评: 本题给出二元一次不等式组,求目标函数的最大值,着重考查了二元一次不等式组 表示的平面区域和简单的线性规划等知识,属于基础题. 4. (5 分)公比为 2 的等比数列{an}的各项都是正数,且 a4a10=16,则 a6=() A.1 B. 2 C. 4 D.8 考点: 等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由题意结合等比数列的性质可得 a7=4,由通项公式可得 a6. 解答: 解:由题意可得 又数列的各项都是正数, 故 a7=4,故 a6= = =2 =a4a10=16,

故选 B 点评: 本题考查等比数列的通项公式,属基础题. 5. (5 分)以下是某个几何体的三视图(单位:cm) ,则该几何体的体积是()

A.2cm 考点: 专题: 分析: 解答:

3

B.3cm

3

C.4cm

3

D.5cm

3

棱柱、棱锥、棱台的体积. 空间位置关系与距离. 由三视图得到原几何体,然后直接由棱柱的体积公式求得答案. 解:由三视图作出几何体原图形如图,

则原几何体为底面三角形是等腰三角形,高为 3 的直三棱柱, 且底面三角形 ABC 的面积为 S= .
3

∴该几何体的体积 V=S△ ABC?EF=1×3=3(cm ) . 故选:B. 点评: 本题考查几何体的三视图,关键是能由三视图得到原几何体,是中档题. 6. (5 分)给出以下命题 ①数列{an}的前 n 项和 Sn=n +n+1, 则{an}是等差数列; ②直线 l 的方程是 x+2y﹣1=0,则它的方向向量是(2,﹣1) ; ③向量 =({1,1}) , =({0,﹣1}) ,则 在 方向上的投影是 1; ④三角形 ABC 中,若 sinA= ,则 A= A.3 B. 2 ;以上正确命题的个数是() C. 1 D.0
2

考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 简易逻辑. 分析: ①根据所给的数列的前 n 项和,仿写一个前 n﹣1 项的和,两个式子相减,得到数列 的第 n 项的表示式,是一个等差数列,验证首项不符合题意. ②利用直线的平行向量与斜率的关系即可得出.

③根据投影的定义,应用公式|

求解.

④在△ ABC 中,正弦值对应的角度值由 2 个,用此判断. 2 解答: 解:对于①∵数列{an}的前几项和 Sn=n +n+1,① 2 ∴Sn﹣1=(n﹣1) +(n﹣1)+1,n>1,② ①﹣②an=2n, (n>1)当 n=1 时,a1=3,∴数列是一个从第二项起的等差数列,故①错. 对于②∵直线 x+2y+1=0 的斜率为﹣ , ∴平行向量(2,﹣1) ,所以②正确. 对于③∵ 以③错. 对于④在△ ABC 中,sinA= ,∴A=30°或 A=150°.故④错. 故选:C 点评: 本题主要考查数列的通项公式、直线得方向向量、向量的投影、三角形内角大小等 知识点,属于中档题型. 7. (5 分)已知 m 是平面 α 的一条斜线,点 A?α,l 为过点 A 的一条动直线,那么下列情形 可能出现的是() A.l∥m,l⊥α B.l⊥m,l⊥α C.l⊥m,l∥α D.l∥m,l∥α 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 分析: 本题考查的知识点是空间中直线与平面之间的位置关系, 由 m 是平面 α 的一条斜线, 点 A?α,l 为过点 A 的一条动直线,则若 l∥m,l⊥α,则 m⊥α,这与 m 是平面 α 的一条斜 线矛盾; 若 l⊥m, l⊥α, 则 m∥α, 或 m?α, 这与 m 是平面 α 的一条斜线矛盾; 若 l∥m, l∥α, 则 m∥α, 或 m?α, 这与 m 是平面 α 的一条斜线矛盾; 故 A, B, D 三种情况均不可能出现. 分 析后即可得到答案. 解答: 解:∵m 是平面 α 的一条斜线,点 A?α,l 为过点 A 的一条动直线, A 答案中:若 l∥m,l⊥α,则 m⊥α, 这与 m 是平面 α 的一条斜线矛盾; 故 A 答案的情况不可能出现. B 答案中:若 l⊥m,l⊥α, 则 m∥α,或 m?α, 这与 m 是平面 α 的一条斜线矛盾; 故 B 答案的情况不可能出现. D 答案中:若 l∥m,l∥α, 则 m∥α,或 m?α, 这与 m 是平面 α 的一条斜线矛盾; 故 D 答案的情况不可能出现. 故 A,B,D 三种情况均不可能出现. 故选 C ∴ 在 方向上的投影为 .所

点评: 要判断空间中直线与平面的位置关系,有良好的空间想像能力,熟练掌握空间中直 线与直线、直线与平面、平面与平面平行或垂直的判定定理及性质定理,并能利用教室、三棱 锥、长方体等实例举出满足条件的例子或反例是解决问题的重要条件. 8. (5 分)已知实数 x,y 满足 a <a (0<a<1) ,则下列关系式恒成立的是() 2 2 A.ln(x +1)>ln(y +1) B. sinx>siny C. x >y
3 3 x y

D.

考点: 不等式比较大小. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 实数 x,y 满足 a <a (0<a<1) ,可得 x>y,对于 A.C.D 分别举反例即可否定, 3 对于 C:由于 y=x 在 R 上单调递增,即可判断出正误. x y 解答: 解:∵实数 x,y 满足 a <a (0<a<1) , ∴x>y, A.取 x=2,b=﹣3,不成立; B.取 x=π,y=﹣π,不成立; 3 C.由于 y=x 在 R 上单调递增,因此正确; D.取 x=2,y=﹣1,不成立. 故选:C. 点评: 本题考查了函数的单调性,考查了推理能力,属于基础题. 9. (5 分)执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为()
x y

A.1

B.

C.

D.

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图.

分析: 从框图赋值入手,先执行一次运算,然后判断运算后的 i 的值与 2 的大小,满足判断 框中的条件,则跳出循环,否则继续执行循环,直到条件满足为止. 解答: 解:框图首先给变量 i 和 S 赋值 0 和 1. 执行 ,i=0+1=1;

判断 1≥2 不成立,执行

,i=1+1=2;

判断 2≥2 成立,算法结束,跳出循环,输出 S 的值为



故选 C. 点评: 本题考查了程序框图,考查了直到型结构,直到型循环是先执行后判断,不满足条 件执行循环,直到条件满足结束循环,是基础题. 10. (5 分)设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 a1=1,a3=5,Sk+2﹣Sk=36,则 k 的值为() A.8 B. 7 C. 6 D.5 考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由 a1=1,a3=5,可解得公差 d,进而由 Sk+2﹣Sk=36 可得 k 的方程,解之即可. 解答: 解:由 a1=1,a3=5,可解得公差 d= =2,

再由 Sk+2﹣Sk=ak+2+ak+1=2a1+(2k+1)d=4k+4=36, 解得 k=8, 故选 A 点评: 本题考查等差数列的通项公式和求和公式,属基础题. 11. (5 分)在三角形 ABC 中,D 为底边 BC 的中点,M 为 AD 上的任一点,过 M 点任作一 直线 l 分别交边 AB、AC 与 E,F(E,F 不与端点重合) ,且 则 m,n,k 满足的关系是() A. B. C. D.m+n=k , ,

考点: 向量在几何中的应用. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 由题意, 论. 解答: 解:由题意, ∵E,M,F 三点共线, =k = ( + )= ? + ? , =k = ( + )= ? + ? ,利用 E,M,F 三点共线,可得结

∴ ∴

+

=1, ,

故选:A. 点评: 本题考查向量在几何中的应用,考查三点共线结论的运用,考查学生的计算能力, 正确替换是关键.

12. (5 分)已知函数 f(x)= 同的实根,则实数 a 的取值范围是() A.(﹣ ,0) B.(0, )

,若关于 x 的方程 f(x)=|x﹣a|有三个不

C.(﹣ , )

D.(﹣ , 0) 或 (0, )

考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 计算题;作图题;函数的性质及应用. 分析: 由题意,关于 x 的方程 f(x)=|x﹣a|有三个不同的实根转化为函数图象的交点问题, 从而作图解答. x 解答: 解:直线 y=x﹣a 与函数 f(x)=e ﹣1 的图象在 x≥0 处有一个切点, 切点坐标为(0,0) ;此时 a=0; 2 直线 y=|x﹣a|与函数 y=﹣x ﹣2x 的图象在 x<0 处有两个切点, 切点坐标分别是(﹣ , )和(﹣ , ) ; 此时相应的 a= ,a=﹣ ; 观察图象可知,方程 f(x)=|x﹣a|有三个不同的实根时, 实数 a 的取值范围是 (﹣ ,0)或(0, ) ; 故选 D.

点评: 本题考查了函数的图象与方程的根的关系,属于中档题. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. (5 分)已知 x、y 的取值如下表: x 2 3 4 5 y 2.2 3.8 5.5 6.5 从散点图分析,y 与 x 线性相关,且回归方程为 ,则 为﹣0.61.

考点: 线性回归方程. 专题: 应用题. 分析: 本题考查回归直线方程的求法.依据所给条件可以求得 足回归直线的方程 解答: 解:依题意可得, = 、 ,因为点( , )满

,所以将点的坐标代入即可得到 a 的值. =3.5, = =4.5,

则 a= ﹣1.46 =4.5﹣1.46×3.5=﹣0.61. 故答案为:﹣0.61. 点评: 回归分析部分作为新课改新加内容, 在 2015 届高考中一直受到重视, 从山东考题看, 一般以选择题或填空题出现. 本题给出了线性回归直线方程考查的常见题型, 体现了回归直线 方程与样本中心点的关联. 14. (5 分)在三角形 ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若三角形 ABC 的面积 S= (a +b ﹣c ) ,则 C=
2 2 2



考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 计算题. 分析: 由三角形 ABC 的面积 S= ab?sinC= tanC= = ,可得 C 的值. , ,再由余弦定理求出

解答: 解:∵在三角形 ABC 中,三角形 ABC 的面积 S= ab?sinC=

∴sinC= ∴tanC= ∴C= , . = ,

=

cosC,

故答案为

点评: 本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用,根据三角函数的值求角,属于中档题.

15. (5 分)已知点 F(﹣c,0) (c>0)是双曲线
2 2 2

=1(a>0,b>0)的左焦点,过 F
2

且平行于双曲线渐近线的直线与圆 x +y =c 交于另一点 P,且点 P 在抛物线 y =4cx 上,则该 双曲线的离心率的平方是 .

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 利用抛物线的性质、双曲线的渐近线、直线平行的性质、圆的性质、相似三角形的 性质即可得出. 解答: 解:如图,设抛物线 y =4cx 的准线为 l,作 PQ⊥l 于 Q, 设双曲线的右焦点为 F′,P(x,y) . 2 2 2 由题意可知 FF′为圆 x +y =c 的直径, ∴PF′⊥PF,且 tan∠PFF′= ,|FF′|=2c, 满足 y =4cx①,x +y =c ②, 将①代入②得 x +4cx﹣c =0, 则 x=﹣2c± c, 即 x=( ﹣2)c, (负值舍去) 代入③,即 y=
2 2 2 2 2 2 2 2

= ,

,再将 y 代入①得,

=

=e ﹣1

2

即e = 故答案为:

. .

点评: 本题考查双曲线的性质,掌握抛物线的性质、双曲线的渐近线、直线平行的性质、 圆的性质是解题的关键.

16. (5 分)把一数列依次按第一个括号内一个数,第二个括号内两个数,第三个括号内三个 数,第四个括号内一个数,…循环分为(1) , (3,5) , (7,9,11) , (13) , (15,17) , (19, 21,23) , (25) ,…,则第 50 个括号内各数之和为 392. 考点: 等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由题意得:每三个括号算一组,并确定每组中的数个数,再求出第 50 个括号里的数 的个数、第一个数,即可求出第 50 个括号内各数之和. 解答: 解:括号里的数有规律:即每三个括号算一组,里面的数个数都是 1+2+3=6 个, 所以到第 49 个括号时共有数 6×16+1=97 个数,且第 50 个括号里的数的个数为 2, 则第 50 个括号里的第一个数是 2×98﹣1=195, 所以第 50 个括号里的数之和为 195+197=392, 故答案为:392. 点评: 本题考查等差数列的通项公式,关键是由规律确定第 50 个括号里数的个数,第 1 个 数,考查观察、归纳能力. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (12 分)已知函数 f(x)=cosx?sin(x+ (Ⅰ)求 f(x)的最小正周期; (Ⅱ)求 f(x)在闭区间[﹣ , ]上的最大值和最小值. )﹣ cos x+
2

,x∈R.

考点: 三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (Ⅰ)根据两角和差的正弦公式、倍角公式对解析式进行化简,再由复合三角函数 的周期公式 求出此函数的最小正周期; 的范围,再利用正弦函数

(Ⅱ)由(Ⅰ)化简的函数解析式和条件中 x 的范围,求出 的性质求出再已知区间上的最大值和最小值. 解答: 解: (Ⅰ)由题意得,f(x)=cosx?( sinx = = = = 所以,f(x)的最小正周期 =π. cosx)

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 f(x)= 由 x∈[﹣ ∴当 当 = , =﹣ ]得,2x∈[﹣ 时,即 , ],则

, ∈[ , ], ,

=﹣1 时,函数 f(x)取到最小值是: = 时,f(x)取到最大值是: , .

时,即

所以,所求的最大值为 ,最小值为

点评: 本题考查了两角和差的正弦公式、倍角公式,正弦函数的性质,以及复合三角函数 的周期公式 应用,考查了整体思想和化简计算能力,属于中档题.

18. (12 分)如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AC⊥BC,且 AC=BC=CC1=2,M 是 AB1 与 A1B 的交点,N 是 B1C1 的中点. (Ⅰ)求证:MN∥平面 ACC1A1; (Ⅱ)求三棱锥 N﹣A1BC 的体积.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ)连接 MN,AC1,然后由三角形的中位线定理得到 MN∥AC1,再由线面平行 的判定定理得答案; (Ⅱ)把三棱锥 N﹣A1BC 的体积转化为 A1﹣BNC 的体积求解. 解答: (Ⅰ)证明:如图,

连接 MN,AC1,∵M、N 分别为 AB1、B1C1 的中点, ∴MN∥AC1, ∵MN?面 AA1C1C,AC1?面 AA1C1C, ∴MN∥平面 ACC1A1; (Ⅱ)解:∵三棱柱 ABC﹣A1B1C1 为直三棱柱, ∴四边形 BB1C1C 为矩形, N 为 B1C1 的中点,则 ,

又 AC⊥BC,AC⊥CC1,∴AC⊥面 BB1C1C,

则 故答案为: .

=



点评: 本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识,考查数形结合、化归与转化 的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力,是中档题. 19. (12 分)某企业有甲、乙两个分厂生产某种零件,按规定内径尺寸(单位:mm)的值落 在[29.94,30.06)的零件为优质品. 从甲、乙两个分厂生产的零件中各抽出 500 件,量其内径尺寸的结果如下表: 甲厂的零件内径尺寸: 分组 [29.86,29.90) [29.90,29.94) [29.94,29.98) [29.98, 30.02) [30.02,30.06) [30.06,30.10) [30.10,30.14) 频数 15 30 125 198 77 35 20 乙厂的零件内径尺寸: 分组 [29.86,29.90) [29.90,29.94) [29.94,29.98) [29.98, 30.02) [30.02,30.06) [30.06,30.10) [30.10,30.14) 频数 40 70 79 162 5955 35 (Ⅰ)由以上统计数据填下面 2×2 列联表,并问是否有 99.9%的把握认为“生产的零件是否为 优质品与在不同分厂生产有关”; 甲厂 乙厂 合计 优质品 非优质品 合计 附: P(K ≥k0) 0.100 0.050 0.010 0.025 0.001 k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 (Ⅱ)现用分层抽样方法(按优质品和非优质品分两层)从乙厂中抽取 5 件零件,求从这 5 件零件中任意取出 2 件,至少有 1 件非优质品的概率. 考点: 独立性检验. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ)由图中表格数据易得 2×2 列联表,计算可得 X 的近似值,可得结论; (Ⅱ)从乙厂抽取优质品 3 件,记为 A,B,C,非优质品 2 件,记为 1,2,列举可得总的方 法种数为十种,至少有一件非优质品的抽法七种,由概率公式可得. 解答: 解: (Ⅰ)由图中表格数据可得 2×2 列联表如下: 甲 厂 乙 厂 合计 优质品 400 300 700 非优质品 100 200 300 合计 500 500 1000
2 2

计算可得

≈47.619,

∵47.619>10.828,∴有 99.9%的把握认为“生产的零件是否为优质品与分厂有关”; (Ⅱ)现用分层抽样方法(按优质品和非优质品分二层)从乙厂抽取五件零件, 从乙厂抽取优质品 3 件,记为 A,B,C,非优质品 2 件,记为 1,2. 从这五件零件中任意取出两件,共有{AB,AC,A1,A2,BC,B1,B2,C1,C2,12}这十 种抽法, 至少有一件非优质品的抽法为{A1,A2,B1,B2,C1,C2,12}共七种, ∴所求概率为 P= 点评: 本题考查独立检验,涉及分层抽样和列举法求概率,属基础题.

20. (12 分)已知椭圆

+

=1(a>b>0)的右焦点为 F,椭圆过(2,

)且离心率为



(1)求椭圆的标准方程; (2)A 为椭圆上异于椭圆左右顶点的任意一点,B 与 A 关于原点 O 对称,直线 AF 交椭圆于 另外一点 C,直线 BF 交椭圆于另外一点 D, ①求直线 DA 与直线 DB 的斜率之积 ②判断直线 AD 与直线 BC 的交点 M 是否在一条直线上?说明理由.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (1)根据椭圆的离心率以及椭圆过点,建立方程关系求出 a,b 即可求椭圆的标准方 程; (2)利用设而不求的思想设出 A,B 的坐标没求出直线 DA,DB 的斜率即可得到结论. 解答: 解: (1)∵离心率为 将 解得 a =8,b =4 故所求椭圆的标准方程为 …(5 分)
2 2

,∴

∴a =2b …(2 分)

2

2

代入椭圆方程得

(2)①设 A(x1,y1) ,D(x2,y2) ,

则 B(﹣x1,﹣y1) , ∵A,D 都在椭圆上,∴ ∴ ②M 在定直线 x=4 上. ∵ ,∴ , ∴ . …(10 分) …(11 分)

∴直线 AD 的方程为



同理,直线 BC 的方程为



由②﹣①得 整理得 ∵ ∴x=4 所以直线 AD 与 BC 的交点 M 在定直线 x=4 上. …(16 分) 点评: 本题主要考查椭圆方程的求解以及直线和椭圆方程的位置关系的应用,利用设而不 求的思想以以及点差法是解决本题的关键. 21. (12 分)已知函数 f(x)=lnx﹣a(x﹣1) ,g(x)=e . (1)当 a=2 时,求函数 f(x)的最值; (2)当 a≠0 时,过原点分别作曲线 y=f(x)与 y=g(x)的切线 l1,l2,已知两切线的斜率互 为倒数,证明: <a< .
x



考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 计算题;证明题;导数的综合应用. 分析: (1)当 a=2 时,f(x)=lnx﹣2(x﹣1)的定义域为(0,+∞) ,再利用导数求函数 的单调区间,从而求解函数的最值; (2)设切线 l2 的方程为 y=k2x,从而由导数及斜率公式可求得切点为(1,e) ,k2=e;再设 l1 的方程为 y= x;设 l1 与曲线 y=f(x)的切点为(x1,y1) ,从而可得 y1= =1﹣ax1,a= ﹣

;结合 y1=lnx1﹣a(x1﹣1)可得 lnx1﹣1+

﹣ =0,再令 m(x)=lnx﹣1+ ﹣ ,从而求导

确定函数的单调性,从而确定

<a<

,问题得证.

解答: 解: (1)当 a=2 时,f(x)=lnx﹣2(x﹣1)的定义域为(0,+∞) , f′(x)= ﹣2= ;

当 x∈(0, )时,f′(x)>0,当 x∈( ,+∞)时,f′(x)<0, 即函数 f(x)在(0, )上单调递增,在( ,+∞)上单调递减. 所以 f(x)max=f( )=1﹣ln2,没有最小值. (2)证明:设切线 l2 的方程为 y=k2x,切点为(x2,y2) ,则 y2= k2=g′(x2)= = , ,

所以 x2=1,y2=e,则 k2=e. 由题意知,切线 l1 的斜率为 k1= = ,l1 的方程为 y= x;

设 l1 与曲线 y=f(x)的切点为(x1,y1) ,则 k1=f′(x1)=

﹣a= =



所以 y1=

=1﹣ax1,a=

﹣ .

又因为 y1=lnx1﹣a(x1﹣1) ,消去 y1 和 a 后, 整理得 lnx1﹣1+ ﹣ =0.

令 m(x)=lnx﹣1+ ﹣ =0,

则 m′(x)= ﹣

=

,m(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.

若 x1∈(0,1) ,因为 m( )=2+e﹣ >0,m(1)=﹣ <0,所以 x1∈( ,1) , ﹣ 在 x1∈( ,1)上单调递减,所以

而 a=

<a<



若 x1∈(1,+∞) ,因为 m(x)在(1,+∞)上单调递增,且 m(e)=0,则 x1=e, 所以 a= ﹣ =0(舍去) .

综上可知,

<a<



点评: 本题考查利用导数讨论含参数函数的单调性、利用导数求曲线的切线问题,主要考 查利用导函数研究曲线的切线及结合方程有解零点存在定理的应该用求参数的问题, 得到不等 式的证明;属于难题. 请考生在 22,23,24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时用 2B 铅笔在答题纸卡上把所选的题目对应的标号涂黑. (10 分)[平面几何证明选讲] 22. (10 分)在△ ABC 中,AB=AC,过点 A 的直线与其外接圆交于点 P,交 BC 延长线于点 D. (1)求证: ;

(2)若 AC=3,求 AP?AD 的值.

考点: 相似三角形的性质;相似三角形的判定. 专题: 计算题;证明题. 分析: (1)先由角相等∠CPD=∠ABC,∠D=∠D,证得三角形相似,再结合线段相等即 得所证比例式; (2)由于∠ACD=∠APC,∠CAP=∠CAP,从而得出两个三角形相似:“△ APC~△ ACD”结 合相似三角形的对应边成比例即得 AP?AD 的值. 解答: 解: (1)∵∠CPD=∠ABC,∠D=∠D, ∴△DPC~△ DBA,∴ 又∵AB=AC,∴ (5 分) ,

(2)∵∠ACD=∠APC,∠CAP=∠CAP,∴△APC~△ ACD∴
2

∴AC =AP?AD=9(5 分) 点评: 本小题属于基础题.此题主要考查的是相似三角形的性质、相似三角形的判定,正 确的判断出相似三角形的对应边和对应角是解答此题的关键. [坐标系与参数方程选修]

23.已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与 x 轴的非负半轴重合,长度单位 相同,直线 l 的参数方程为: ,曲线 C 的极坐标方程为:ρ=2 sin

(θ﹣

) .

(Ⅰ)判断曲线 C 的形状,简述理由; (Ⅱ)设直线 l 与曲线 C 相交于 M,N,O 是坐标原点,求三角形 MON 的面积. 考点: 参数方程化成普通方程. 专题: 直线与圆;坐标系和参数方程. 分析: (Ⅰ)运用两角差的正弦公式和 ρ =x +y ,x=ρcosθ,y=ρsinθ,即可得到曲线 C 的普 通方程,即可判断形状; (Ⅱ)将直线 l 的参数方程代入圆的普通方程,可得 M,N 的坐标,再由三角形的面积公式计 算即可得到. 解答: 解: (Ⅰ)ρ=2
2 2 2 2

sin(θ﹣

)即为 ρ=2



sinθ﹣

cosθ)

=2sinθ﹣2cosθ,即 ρ =2ρsinθ﹣2ρcosθ, 2 2 2 2 即有 x +y +2x﹣2y=0,即为(x+1) +(y﹣1) =2, 则曲线 C 的形状为以(﹣1,1)为圆心, 为半径的圆; (Ⅱ)将直线 l 的参数方程为: 代入圆(x+1) +(y﹣1) =2,可得 2t =2, 解得 t=±1, 可得 M(0,2) ,N(﹣2,0) , 则三角形 MON 的面积为 S= ×2×2=2. 点评: 本题考查极坐标方程和普通方程的互化,同时考查直线和圆的位置关系,考查运算 能力,属于基础题. [不等式证明选讲] 24.已知函数 f(x)=2|x+1|﹣|x﹣3| (1)求不等式 f(x)≥5 的解集; (2)当 x∈[﹣2,2]时,关于 x 的不等式 f(x)﹣|2t﹣3|≥0 有解,求实数 t 的取值范围. 考点: 绝对值不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: (1)化简函数的解析式,把不等式转化为与之等价的 3 个不等式组,解出每个不等 式组的解集,再取并集,即得所求. (2)当 x∈[﹣2,2]时,f(x)∈[﹣4,5],由题意可得 5﹣|2t﹣3|≥0,由此求得 t 的范围.
2 2 2



解答: 解: (1) f (x) =2|x+1|﹣|x﹣3|=

, 由式 f (x) ≥5, 可得

①,或

②,或



解①求得 x≥3,解②求得 2≤x<3,解③求得 x≤﹣10. 故不等式的解集为[2,+∞)∪(﹣∞,﹣10]. (2)当 x∈[﹣2,2]时,f(x)∈[﹣4,5],∵关于 x 的不等式 f(x)﹣|2t﹣3|≥0 有解, ∴5﹣|2t﹣3|≥0,即﹣5≤2t﹣3≤5,求得﹣1≤t≤4, 故 t 的范围为[﹣1,4]. 点评: 本题主要考查绝对值不等式的解法,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题.



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