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1.4.1正余弦函数的图像和性质(1)



正弦函数、余弦函数的图象 一、温故知新
1. sinα 、cosα 、tanα 的几何意义. 想一想?

y
1
P
T

正弦线MP

o

M

1

A

x

余弦线OM

正切线AT

三角问题

几何问题

正弦函数、余弦函数的图象
2.用描点法作出函数图象的主要步骤是怎样的?

(1) 列表

y ? sin x, x ? ?0,2? ?

(2) 描点

y
1-

0

?

(3) 连线

?1 -

2

?

3? 2

2?

x

-

-

-

-

正弦函数、余弦函数的图象
1.函数y ? sin x, x ? ?0,2? ? 图象的几何作法 . . . .
3

利用三角函数线 作三角函数图象

x的正弦线,巧妙地 , sin x),连线. 描点法 : 查三角函数表得三角函数值,描点 ( 几何法作图的关键是如何利用单位圆中角 x ? 查表 y ? sin ? ? 0.8660 如 :x ? 移动到直角坐标系内,从而确定对应的点 (x,sinx). 3

y
1

?
2

描点 ( ? ) 3 ,0.8660
?

y

P
?
3

0 ?1 1x

3? 2

2?

x

O

M

几何法: 作三角函数线得三角函数值,描点 ( x, sin x),连线 如: x ? ? 作 ? 的正弦线 MP, 平移定点 ( x, MP)
3

3

正弦函数、余弦函数的图象
函数 y ? sin x, x ? 0,2? 图象的几何作法
y

?

?

作法: (1) 等分 (2) 作正弦线
/ p1

1P 1
?
6

(3) 平移 (4) 连线
?
?
2

o1

M -1 1

A

o
-1-

? 6

3

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

2?

x

-

-

-

-

正弦函数.余弦函数的图象和性质
正弦曲线
y
1

? 6?
-

? 4?
-

? 2?
-

o-

-1

2?

4?
-

6?
-

x

-

因为终边相同的角的三角函数值相同,所以y=sinx的图象在 ?? 4? ,?2? ? , ?? 2? ,0?, ?0,2? ?, ?2? ,4? ?, 与y=sinx,x∈[0,2π]图象相同 余弦曲线(平移得到) 余弦曲线(几何作法)

-

正弦函数.余弦函数的图象和性质
y
1-

(五点作图法)

-1

o
-1-

图象的最高点 ( ,1) 2 与x轴的交点 (0,0) (? ,0) (2? ,0)
11? 6

?

? 6

?

?
2

3

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

2?

图象的最低点 ( 3? ,?1)
2

x

简图作法 (1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标) (2) 描点 (定出五个关键点) y (3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)
1-

-

图象的最高点 与x轴的交点

(0,1) (2? ,1)

-1

o
-1-

? 6

?
3

?
2

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

? 3? ( , 0 ) ( x 2? 2 2 ,0) 图象的最低点 (? ,?1)

-

正弦函数.余弦函数的图象和性质
例1.画出下列函数的简图
(1)y=sinx+1, x∈[0,2π]
(2)y=-cosx , x∈[0,2π] 解: (1) 列表
x
sin x sin x ? 1
0 0
? 2

描点作图
?
0
3? 2

2?

yy
2-

1 2

?1

1

1

0

0 1

(2)
x
cos x ? cos x
0
?
2

1 1oo ? 1 -?1
? 2

y ? 1 ? sin x, x ?[0,2? ] y ? cos x, x ?[0,2? ]
? 2

1 -1

0 0

? -1 1

0 0

3? 2

??

3? 3? 2

2?

1 -1

y ? sin x, x ?[0,2? ]

2

2? 2?

xx

y ? ? cos x, x ?[0,2? ]

正弦函数.余弦函数的图象和性质
练习:(1)作函数 y=1+3cosx,x∈[0,2π]的简图

(2)作函数 y=2sinx-1,x∈[0,2π]的简图
(1)y

x

正弦函数.余弦函数的图象和性质 例1 用“五点法”画出下列函数的简图: (1)y=1+sinx,x∈[0,2π]; (2)y=-cosx,x∈[0,2π] .

x sinx

0
0

π/2

π

3π/2 2π

1

0

-1

0

1+sinx 1
y 2 1 O -1

2

1

0

1

y=1+sinx
3p 2

p 2

π

2π x

x

0 -1

π/2

π

3π/2 2π

cosx 1 -cosx
y 1 O -1

0 0

-1 1

0 0

1 -1

y=-cosx
3p 2

p 2

2π x

π

例2 当x∈[0,2π]时,求不等式 cosx>1/2 的解集。
y 1

y =
O -1

? 2

π

?? 2



x

1 2

课堂小结 1.正、余弦函数的图象每相隔2π个单位重复出现,因 此,只要记住它们在 [0,2π]内的图象形态,就可以 画出正弦曲线和余弦曲线. 2. 作与正、余弦函数有关的函数图象,是解题的基 本要求,用“五点法”作图是常用的方法.

3.正、余弦函数的图象不仅是进一步研究函数性质的 基础,也是解决有关三角函数问题的工具,这是一种 数形结合的数学思想.

正弦函数.余弦函数的图象和性质
余弦曲线
y
1
-

? 6?
-

? 4?
-

? 2?
-

o

-

-1

2?

4?
-

6?
-

由于 y ? cos x ? cos(? x) ? sin[

所以余弦函数

? y ? cos x, x ? R与函数 y ? sin( x ? ), x ? R 2
? 2

? ? ? (? x)] ? sin( x ? ) 2 2

是同一个函数; 余弦函数的图像可以通过正弦曲线向左平移 个单位长度而得到。

-

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正弦函数.余弦函数的图象和性质
y
1P 1
/ p1

o1

M1

-1 A

y

余弦函数 y ? cos x, x ? ?0,2? ? 的图象
y
1-

-

o1

-

-1

-

-

o
-1-

? 6

?
3

?
2

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

2?

x

o
-1-

? 6

?

?
2

3

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

2?

x

-

-

正弦函数.余弦函数的图象和性质
y
1P 1
/ p1

o1

M1

-1 A

y

(1) 等分 作法: (2) 作余弦线 (3) 竖立、平移 (4) 连线
?
3

-

Q1

-

o
-1-

? 6

?
2

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

2?

x

y

y
1Q2

o1

M 2 M 1-1

o
-1-

? 6

?

?
2

3

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

2?

x

x

-

-

-

l

正弦函数.余弦函数的图象和性质
余弦曲线
y
1? 6?
-

? 4?
-

? 2?
-

-1 -

o

2?

4?
-

6?

-

x

因为终边相同的角的三角函数值相同,所以y=cosx的图象在 ?? 4? ,?2? ? , ?? 2? ,0?, ?0,2? ?, ?2? ,4? ?, 与y=cosx,x∈[0,2π]的图象相同

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-



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