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广东省第二学期模拟试题分类汇编---第3部分数列



广东省第二学期模拟试题分类汇编---第 3 部分:数列
一.选择题 2.(2009 年佛山市普通高中高三教学质量检测(一)(理科))记数列 ? a n ? 的前 n 项
和为 S n ,且 S n ? 2 ( a n ? 1) ,则 a 2 ? A. 4 C. 1 B. 2 D. ? 2 A

3. (广东省汕头市 2009 年高中毕业生学

业水平考试理科数学) 记等比数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,若 S 3 ? 2 , S 6 ? 18 ,则 A. ? 3 B.5 C. ? 31 D.33
S 10 S5

等于( D

6. (广东省汕头市 2009 年高中毕业生学业水平考试文科数学)记等比数列 { a n } 的 前 n 项和为 S n ,若 S 3 ? 2 , S 6 ? 18 ,则 A. ? 3 B.5
S 10 S5

等于(D

) D.33

C. ? 31

5 .( 广 东 省 湛 江 高 三 第 二 次 月 考 ( 文 科 ) 数 学 试 题 )
在等差数列
A . 24

{ a n }中 , 有 a 6 ? a 7 ? a 8 ? 12 , 则该数列的前
B . 52 C . 56 D . 104

13 项之和为

(

) 5. B

2. (2009 年佛山市普通高中高三教学质量检测(一)(文科))记数列 ? a n ? 的前 n 项 和为 S n ,且 S n ? 2 ( a n ? 1) ,则 a 2 ? A. 4 B. 2 C. 1 D. ? 2

二.填空题
12 .( 广 东 省 湛 江 高 三 第 二 次 月 考 ( 理 科 ) 数 学 试 题 ) 已 知 数 列
{ a n } , a1 ? 1, a n ? a n ?1 ? a n ? 2 ? ? ? ? a1 ,则该数列的前 8 项和为 12. 128

三.解答题 21. (广东省湛江高三第二次月考(文科)数学试题) (本小题满分 14 分)

已知数列 { a n }的各项都是正数 (1) 求数列 { a n }的通项公式 ;

, S n 为其前 n 项和 , 对于任意 n ? N , 满足关系 S n ? 2 a n ? 2
*

( 2 ) 设数列 { b n }的前 n 项和为 T n , 且 b n ? 在正数数列 { C n }中 , 设 ( C n )
n ?1

1 (log
2

an )

2

, 求证 : 对于任意 n ? N , 总有 T n ? 2 ;
* *

(3 )

?

n ?1 2
n ?1

? a n ? 1 ( n ? N ), 求数列 {ln C n }中的最大项

.

21 解:
(1) 解 :? S n ? 2 a n ? 2 ( n ? N *)........ ......... ① ? a n ? 0 , a1 ? S 1 ? 2 a1 ? 2 解得 a1 ? 2 ? { a n }是以 2 为首项 , 公比为 2的等比数列 , 其通项公式为 a n ? 2 ( n ? N *)........ ... 4 分
n

? S n ? 1 ? 2 a n ? 1 ? 2 ( n ? 2 且 n ? N *).... ②

由 ① ? ② 得 a n ? 2 a n ? 2 a n ? 1则 a n ? 2 a n ? 1 ( n ? 2 且 n ? N *)

(2) 证明 : ? bn ? ? Tn ? 1 (log 1 1
2 2 2

? (log 1 3
2

1
2

an ) 1 2
2

2 ) 1 n

n

2

?

1 n
2

.......... .......... ..... 5 分 1 1? 2 ? 1 2?3
? 1 n

?

?

? ... ?

2

?1?

? ... ?

1 ( n ? 1) ? n
1 n ? 2

.......... .......... 7 分

? 1 ? (1 ?

1 2

)?(

1 2

?

1 3

)?(

1 3

?

1 4

) ? ... ? (

1 n ?1

)? 2?

所以对任意

n ? N *, 总有 T n ? 2 .......... .......... .......... .......... .......... .......... ........ 9 分

1 令 f (x) ? ln x x 由 f ' ( x ) ? 0得 x ? e 所以 f ( x ) 在 ( e , ?? ) 上是减函数 , 则得 f ' ( x ) ? x

? x ? ln x ? 1 x
2

?

1 ? ln x x
2

.......... .......... .......... .......... 12 分

所以当 n ? 2 且 n ? N * 时 , {ln C n }单调递减 . 又 ln C 1 ? ln C 2 所以数列 {ln C n }的最大项为 ln C 2 ? 1 3 ln 3 .......... .......... .......... .... 14 分

(3)解 : 由 (C n )
n ?1

?

n ?1 2
n ?1

? a n ?1 ?

n ?1 2
n ?1

?2

n ?1

? n ? 1得 ln( C n ) ln( n ? 1) n ?1

n ?1

? ln( n ? 1)

即 ( n ? 1) ln C n ? ln( n ? 1)

? ln C n ?

.......... .......... .. 10 分

17. (广东省汕头市 2009 年高中毕业生学业水平考试理科数学) (本小题满分 12 分) 在等比数列{an}中, a n ? 0 ( n ? N ) ,公比 q ? ( 0 ,1) ,且 a 1 a 5 ? 2 a 3 a 5 ? a 2 a 8 ? 25 ,
*

a3 与 a5 的等比中项为 2。 (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 b n ? log 的值。 17.解: (1)? a 1 a 5 ? 2 a 1 a 5 ? a 2 a 8 ? 25 , ? a 3 ? 2 a 3 a 5 ? a 5 ? 25 ,
2 2

2

a n ,数列{bn}的前 n 项和为 Sn,当

S1 1

?

S2 2

?? ?

Sn n

最大时,求 n

又 a n ? 0 , ? a 3 ? a 5 ? 5 , ………………………………………………2 分 又 a 3 与 a 5 的等比中项为 2,? a 3 a 5 ? 4 , 而 q ? ( 0 ,1),
?q ? 1 2
? a3 ? a5 , ? a 3 ? 4, a 5 ? 1 ,

………………………………4 分 , ……………………………6 分

, a 1 ? 16 ,

1 n ?1 5?n ? a n ? 16 ? ( ) ? 2 2

(2) b n ? log

2

an ? 5 ? n ,

? b n ?1 ? b n ? ? 1 ,

? {b n }是以 b1 ? 4 为首项,-1 为公差的等差数列。 ………………………9 分

? Sn ?

n (9 ? n ) 2 Sn n

,

?

Sn n

?

9?n 2



?当n ? 8 时,

? 0 ;当 n ? 9 时 ,

Sn n

? 0 ;当 n ? 9 时 ,

Sn n

? 0,

?当 n ? 8 或 9 时,

S1 1

?

S2 2

?

S3 3

?? ?

Sn n

最大。 …………………………12 分、

20.(2009 年佛山市普通高中高三教学质量检测(一)(理科))(本题满分 14 分) 已知 O 为 A , B , C 三点所在直线外一点,且 OA ? ? O B ? ? OC 。数列 { a n } ,{b n } 满足
? a n ? ? a n ?1 ? ? b n ?1 ? 1 a 1 ? 2 , b1 ? 1 ,且 ? (n ? 2 ) ? b n ? ? a n ?1 ? ? b n ?1 ? 1

(Ⅰ) 求 ? ? ? ; (Ⅱ) 令 c n ? a n ? b n ,求数列 { c n } 的通项公式; (III) 当? ? ? ?
1 2

时,求数列 { a n } 的通项公式.
??? ? ????

20. (本题满分 14 分) (I)解: A , B , C 三点共线,设 A B ? m B C ,则
??? ? ??? ??? ? ? ??? ? ???? ??? ? A B ? O B ? O A ? m B C ? m ( O C ? O B ) ,………………………………………………2 分

化简得: O A ? ( m ? 1)O B ? m O C ,所以 ? ? m ? 1, ? ? ? m , 所以 ? ? ? =1。……………………………………………………………………………4 分 (II)由题设得 a n ? b n ? ( ? ? ? )( a n ?1 ? b n ?1 ) ? 2 ? a n ?1 ? b n ?1 ? 2 ( n ? 2 ) …… 6 分 即 c n ? c n ?1 ? 2 ( n ≥ 2 ),∴ { c n } 是首项为 a1 ? b1 ? 3 ,公差为2的等差数列,通项公式为
c n ? 2 n ? 1 …8 分

??? ?

??? ?

????

(III)由题设得 a n ? b n ? ( ? ? ? )( a n ?1 ? b n ?1 ) ? 令 d n ? a n ? b n ,则 d n ? 列, 通项公式为 d n ?
1 2
n ?1

1 2

( a n ? 1 ? b n ? 1 ) ( n ? 2 ) ,……10 分 1 2

1 2

d n ? 1 ( n ≥ 2) .所以 { d n } 是首项为 a 1 ? b1 ? 1 ,公比为

的等比数

.…………………………………………………12 分

? a n ? b n ? 2 n ? 1, 1 1 ? 由? 解得 a n ? n ? n ? ·························14 分 ··········· ·········· ···· ·········· ··········· ··· 1 2 2 a n ? b n ? n ?1 ? ? 2

18. (广东省汕头市 2009 年高中毕业生学业水平考试文科数学) (本小题满分 14 分) 在等比数列{an}中, a n ? 0 ( n ? N ) ,公比 q ? ( 0 ,1) ,且 a 1 a 5 ? 2 a 3 a 5 ? a 2 a 8 ? 25 ,
*

a3 与 a5 的等比中项为 2。 (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 b n ? log 的值。 18. 解: (1)? a 1 a 5 ? 2 a 1 a 5 ? a 2 a 8 ? 25 , ? a 3 ? 2 a 3 a 5 ? a 5 ? 25 ,
2 2

2

a n ,数列{bn}的前 n 项和为 Sn,当

S1 1

?

S2 2

?? ?

Sn n

最大时,求 n

又 a n ? 0, ? a 3 ? a 5 ? 5 ,

…………………………………………3 分

又 a 3 与 a 5 的等比中项为 2,? a 3 a 5 ? 4 , 而 q ? ( 0 ,1),
?q ? 1 2

? a3 ? a5 ,

? a 3 ? 4, a 5 ? 1 ,

………………………………5 分 , ……………………………7 分

, a 1 ? 16 ,

1 n ?1 5?n ? a n ? 16 ? ( ) ? 2 2

(2) b n ? log

2

an ? 5 ? n ,

? b n ?1 ? b n ? ? 1 ,

? {b n }是以 b1 ? 4 为首项,-1 为公差的等差数列。

…………… 9 分

? Sn ?

n (9 ? n ) 2 Sn n

,

?

Sn n

?

9?n 2



……………11 分

?当n ? 8 时,

? 0 ;当 n ? 9 时 ,

Sn n

? 0 ;当 n ? 9 时 ,

Sn n

? 0,

?当 n ? 8 或 9 时,

S1 1

?

S2 2

?

S3 3

?? ?

Sn n

最大。 …………………………14 分

21. (广东省湛江高三第二次月考 (理科) 数学试题) (本小题 14 分)已知数列 ?a n ? 中,
a 1 ? 1, 且点 P ? a n , a n ? 1 ??n ? N
?

? 在直线 x ?

y ? 1 ? 0 上.

(1)求数列 ?a n ? 的通项公式; (2)若函数 f ( n ) ? 最小值; (3)设 b n ?
1 an , S n 表示数列 ?b n ? 的前项和。试问:是否存在关于 n 的整式 g ? n ? ,使得
1 n ? a1 ? 1 n ? a2 ? 1 n ? a3 ?? ? 1 n ? an

?n ?

N , 且 n ? 2 ?, 求函数 f ( n )



S 1 ? S 2 ? S 3 ? ? ? S n ?1 ? ? S n ? 1 ? ? g ? n ? 对于一切不小于 2 的自然数 n 恒成立?

若存在,写出 g ? n ? 的解析式,并加以证明;若不存在,试说明理由. 21. (1) 解: 由点 P ( a n , a n ? 1 ) 在直线 x ? y ? 1 ? 0 上, a n ? 1 ? a n ? 1 , a 1 ? 1 , 即 且 数列{ a n } 是以 1 为首项,1 为公差的等差数列
a n ? 1 ? ( n ? 1) ? 1 ? n ( n ? 2 ) , a 1 ? 1 同样满足,所以 a n ? n

n ?1 n ? 2 2n 1 1 1 1 1 f ( n ? 1) ? ? ? ?? ? n?2 n?3 n?4 2n ? 1 2n ? 2 1 1 1 1 1 1 f ( n ? 1) ? f ( n ) ? ? ? ? ? ? 0 2n ? 1 2n ? 2 n ? 1 2n ? 2 2n ? 2 n ? 1 7 所以 f ( n ) 是单调递增,故 f ( n ) 的最小值是 f ( 2 ) ? 12 1 1 1 1 1 (3) b n ? ,可得 S n ? 1 ? ? ? ? ? , S n ? S n ? 1 ? ( n ? 2 ) n 2 3 n n
nS
n

(2) f ( n ) ?

1

?

1

?? ?

1

? ( n ? 1) S n ? 1 ? S n ? 1 ? 1 ,

( n ? 1) S n ? 1 ? ( n ? 2 ) S n ? 2 ? S n ? 2 ? 1

……
S 2 ? S1 ? S1 ? 1
nS
n

? S 1 ? S 1 ? S 2 ? S 3 ? ? ? S n ?1 ? n ? 1
n

S 1 ? S 2 ? S 3 ? ? ? S n ?1 ? nS
g (n) ? n

? n ? n ( S n ? 1) ,n≥2

故存在关于 n 的整式 g(x)=n,使得对于一切不小于 2 的自然数 n 恒成立.



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