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理科数学2011暑假作业1



2011 高二数学(理)暑假作业(1)
一.选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.
1.已知全集 U ? {1, 2,3, 4,5,6,7} ,集合 M ? {x ? Z | x2 ? 6 x ? 5 ? 0} ,则集合 ? M 为 U A. {1,5, 6, 7} B. {1, 4,5

, 6, 7} C. {6, 7}
ab

D. {5,6,7}

2. 若 ? a ? 2i ? i ? b ? 2i ,其中 a、b ? R, i 是虚数单位,则 i 等于 A.1 3. B. ?1 C. i D. ?i

tan 50? ? tan 20? 的值为 1 ? tan 50? ? tan 20?
A. tan 70
?

B.

3 3

C.

3

D.

1 2

4. “ p 或 q 是假命题”是“非 p 为真命题”的 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

5.双曲线 离为 A. 5

x2 y 2 ? ? 1 上一点 P 到右焦点的距离是实轴两端点到右焦点距离的等比中项,则 P 点到左焦点的距 16 9
B. 11
C

C.13

D.17

6. 若 logm n ? ?1 ,则 3n ? m 的最小值是 A. 2 2 7.若 (1 ? 2 x) A.0
2 2010

B.2 = a0 ? a1 x ? a2 x ? ? ? a2010 x
2

C. 2 3
2010

D.

5 2

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B.1

a0 a1 a2 a ? 1 ? 2 ? ? ? 2010 的值为 0 2 2 2 22010 2010 C.2010 D. 2
,则

8. 函数 f ( x) ? x ? 2x ? 2 , x ? [?6, 6] ,对于任意 x0 ?[?6,6] ,使 f ( x0 ) ? 1 的概率为 A.

2 3

B.

1 2

C.

4 49

D.

1 3

1

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,把答案填在答题卡相应横线上.
9. 简谐运动 f ( x) ? 3sin x ? cos x 的最小正周期为 、振幅为 . .

10. 已知 x, y 满足: x ? 0, y ? 0, x ? 2 y ? 1, 则 x 2 ? y 2 的最小值为 11.设 f ( x) ? ?

? x 2 , x ?[0,1] ?2 ? x.x ? [1, 2]

,则函数的图象与 x 轴围成的封闭区域的面积为



12.从 5 名上海世博会志愿者中抽出 4 人在周六、周日两天到中国馆协助接待外国游客,若每天安排 2 人,则 不同的安排方案有 种. (用数字作答)

13.2009 年 8 月 15 日晚 8 时开始某市交警一队在该市一交通岗前设点对过往的车辆进行抽查,经过两个小时 共查出酒后驾车者 60 名,图甲是对这 60 名酒后驾车者血液中酒精浓度进行检测后依所得结果画出的频率分布 直方图,则其中酒精浓度在 80 mg /100ml (含 80)以上人数约为 ,统计方法中,同一组数据常用 该组区间的中点值作为代表,图乙的程序框图是对这 60 名酒后驾车者血液的酒精含量做进一步的统计,则图 乙输出的 S 值为 .
开始 S=0 i =1 输入m i,fi S=S+m i×f i i =i+1 否

(图乙中数据 mi 与 f i 分别表示图甲中各组的组中值及频率)
频率/组距
0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 0 20 30 40 50 60 70 80 90

酒精含量 (单位:mg/100ml)

i >=6? 是 输出S

(图甲)
结束

(图乙)

14.设面积为 S 的平面四边形的第 i 条边的边长为 ai ( i ? 1, 2,3, 4 ) 是该四边形内任意一点,P 点到第 i 条 ,P 体积为 V 的三棱锥的第 i 个面的面积记为 S( i ? 1, 2,3, 4 ) , ? a h ? 2S ,类比上述结论,
i ?1 i i 4

边的距离记为 hi , 则有

i

Q 是该三棱锥内的任意一点,点 Q 到第 i 个面的距离记为 H i ,则相应的有

.

2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15. (本题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足 cos (1)求 bc 的值; (2)若 b ? c ? 7 ,求 a 的值. 16. (本题满分 12 分) 为满足上海世博会旅客用餐的需要,某公司要将一批海鲜用汽车运往 A 酒店,如果能按约定时间送到,则 公司可获得销售收入 3 万元,每提前 1 小时送到,可多获 1 千元,每迟到 1 小时送到,将少获 1 千元,为保证 海鲜新鲜,汽车只能在约定时间的前 2 小时出发,且行驶路线只能选择公路 1 或公路 2 中的一条,运费由公司 承担,其他信息如下表所示:

A 2 5 , ?ABC 的面积为 4. ? 2 5

(1)记汽车走公路 1 时公司获得的毛利润为 ? (万元) ,求 ? 的分布列和数学期望 E? ; (2)假如你是公司的决策者,从利润的角度出发,你将选择哪条公路运送海鲜? (注:毛利润=销售收入-运费)

17. (本小题满分 14 分) 在三棱锥 S ? ABC 中,底面 ABC 内接于 ? O ,点 O 在 AB 上,

?SAB ? ?SAC ? 90? , AC ? 1, BC ? 3, SB ? 2 2 .
(1) 求三棱锥 A ? SBC 的体积; (2) 证明: BC ? SC ; (3) 求异面直线 SB 和 AC 所成角的余弦值.

3

18.(本小题满分 14 分) 已知直线 l: y ? k ( x ? 2) ,圆 O : x2 ? y 2 ? 1 与 x 轴交于 A, B 两点.

(1)求以 A、B 为焦点,离心率 e ?

3 的椭圆 C 的方程. 2

1 ,求直线 l 的方程; 4 (3)试探究在椭圆 C 上是否存在点 M ,使得△ AMB 是以 M 为直角顶点的直角三角形?若存在,求出 点 M 的坐标,若不存在,说明理由.
? (2)若直线 l 交圆 O 于 P、 Q 两点,且 PQ 恰为圆周的

19. (本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn 和通项 an 满足 2Sn ? 1 ? an . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2) 求证: S n ?

1 ; 2

(3)设函数 f ( x) ? log 1 x , bn ? f (a1 ) ? f (a2 ) ? ? ? f (an ) ,是否存在正整数 m ,使
3

?b
i ?1

n

1
i

?

m 对 2

?n ? N ? 都成立?若存在,求出 m 的值,若不存在,说明理由.

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? (2ax ? x2 )eax ,其中 a 为常数,且 a ? 0 . (1)若 a ? 1 ,求函数 f ( x) 的极大值; (2)若函数 f ( x) 在区间 [ 2,2] 上单调递减,求实数 a 的取值范围.

4

数学(理科)参考答案
一.选择题:CABB 解析: 5.由 a ? 4, b ? 3, 得 c ? 5 设左焦点为 F ,右焦点为 F2 ,则 | PF2 |2 ? (c ? a)(c ? a) ? c2 ? a2 1 BCDD

? b2 ? 9 , | PF2 |? 3 ,由双曲线的定义得: | PF1 |? 2a? | PF2 |? 8 ? 3 ? 11 .选 B.
6.由 logm n ? ?1 得 mn ? 1 ,且 m ? 0, n ? 0, ∵ 3n ? m ? 2 3mn ? 2 3 ,当且仅当 m ? n 时“=”成立,故 选 C.

a a a a 1 1 2010 ? 22010 ,选 D. 可得 0 ? 1 ? 2 ? ? ? 2010 = (1 ? 2 ? ) 0 1 2 2010 2 2 2 2 2 2 4 1 ? ,故选 D. 8.使 f ( x0 ) ? 1 的 x0 ?[?1,3] ,由几何概型概率计算公式的 P ? 12 3
7.在展开式中令 x ? 二. 填空题: 2?(3 分) 2 2 分) 10. 9. 、 ( ;

1 5 ; 11. ; 30; (2 分) 42.75 mg/100ml 分) 14. 12. 13.3 、 (3 ; 5 6

?S H
i ?1 i

4

i

? 3V .

解析:9. f ( x) ? 3sin x ? cos x = 2sin( x ?

?
6

) ,故最小正周期 T ? 2? ,振幅 A ? 2 .
y

10.不等式组 x ? 0, y ? 0, x ? 2 y ? 1, 确定的平面区域如图阴影部分,则

x 2 ? y 2 的最小值为直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 上的点到原点距离最小值的平方,
1 2 1 ) ? . 即( 5 5
11.由定积分的几何意义可得所求封闭区域的面积为
4 2 2 12.共有 C5 C4 C2 ? 30 种.

0.5 o

x 1 x+2y-1=0

?

1

0

x 2 dx ? ? (2 ? x)dx ?
1

2

5 . 6

13.酒精浓度在 80 mg /100ml (含 80)以上人数约为: 0.05 ? 60 ? 3 , 由图乙知输出的 S ? 0 ? m1 f1 ? m2 f 2 ? ? ? m6 f 6 = 25 ? 0.25 ? 35 ? 0.15 ? 45 ? 0.2 ? 55 ? 0.15 ? 65 ? 0.1 ? 75 ? 0.1 ? 42.75 (mg/100ml). 三.解答题: 15.解: (1)∵ cos

A 2 5 ? ,0 ? A ? ? 2 5
5

∴ sin

A A 5 ? 1 ? cos 2 ? , -----------------------------------------------------2 分 2 2 5
A A 4 cos ? . -----------------------------------------------------4 分 2 2 5

∴ sin A ? 2sin ∵ S ?ABC ?

1 bc sin A ? 4 , 2
----------------------------------------------------------------------------6 分

∴ bc ? 10 .

(2)解法 1:∵ s i n ? ∴ cos A ? 1 ? 2 sin
2

A 2

5 , 5
A 3 ? .---------------------------------------------------------8 分 2 5

∵ bc ? 10 , b ? c ? 7 , ∴ a ? b ? c ? 2bc cos A ---------------------------------------------------------9 分
2 2 2

? (b ? c) 2 ? 2bc(1 ? cos A) ? 17 ------------------------------------------11 分
∴ a ? 17 . --------------------------------------------------12 分

解法 2:∵ cos

A 2 5 ? 2 5

A ∴c o s ?

A 3 2 c 2o s ? ? 1 ,下同上. 2 5

16.解: (1)汽车走公路 1 时不堵车时获得的毛利润 ? ? 3 ? 0.16 ? 2.84 万元------------1 分 堵车时公司获得的毛利润 ? ? 3 ? 0.16 ? 0.1 ? 2.74 万元---------------------------------2 分 ∴汽车走公路 1 时获得的毛利润 ? 的分布列为

?
P

2.84

2.74

9 10

1 10

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------4 分

9 1 ? 2.74 ? ? 2.83 万元-----------------------------------------------------------6 分 10 10 (2)设汽车走公路 2 时获得的毛利润为? 万元 不堵车时获得的毛利润? ? 3 ? 0.08 ? 0.1 ? 3.02 万元----------------------------------------7 分 堵车时的毛利润 ? ? 3 ? 0.08 ? 0.2 ? 2.72 万元-------------------------------------------------8 分 ∴汽车走公路 2 时获得的毛利润 ? 的分布列为 ? E? ? 2.84 ?

?
P

3.02

2.72

1 2

1 2
6

1 1 ? E ? ? 3.02 ? ? 2.72 ? ? 2.87 万元----------------------------------------------------------------10 分 2 2 ? E? ? E?
∴假如我是公司的决策者,从利润的角度出发,我会选择公路 2,这样可能获利更多.-----------12 分 17.解:(1)∵ ?SAB ? ?SAC ? 90
?

∴ SA ? AB, SA ? AC, 且 AB ? AC ? A , ∴ SA ? 平面 ABC ----------------------------1 分 ∵AB 是 ? O 的直径, ∴ ?ACB ? 90 在 Rt ?ACB 中, AB ?
?

BC 2 ? AC 2 ? 2 ,-----------------------------2 分

在 Rt ?SAB 中, SA ? SB2 ? AB2 ? 8 ? 4 ? 2 -------------------------3 分 ∵ S?ABC ?

1 1 3 , AC ? BC ? ?1? 3 ? 2 2 2

∵ VA?SBC ? VS ? ABC ∴ VA? SBC ?

1 1 3 3 .---------------------------------5 分 S?ABC ? SA ? ? ?2 ? 3 3 2 3

(2)证法 1:由(1)知 SA=2, 在 Rt ?SAC 中, SC ? SA2 ? AC 2 ? 4 ?1 ? 5 ---7 分
2 2 2 ∵ BC ? SC ? 3 ? 5 ? 8 ? SB ,∴ BC ? SC -------------------9 分

S

证法 2:由(1)知 SA ? 平面 ABC ,∵ BC ? 面 ABC ,∴ BC ? SA ,-----6 分 ∵ BC ? AC , AC ? AS ? A ,∴ BC ? 面 SAC ---------------8 分 又∵ SC ? 面 SAC ,∴ BC ? SC ----------------------9 分
B O D C E

A

(3) 解法 1:分别取 SA、 BC 的中点 E、D, 连结 ED、DO、OE、ED,则 OE // BS , OD // AC , ∴ ?EOD (或其邻补角)就是异面直线 SB 和 AC 所成的角----------11 分 ∵ OE ?

1 1 1 SB ? 2, DO ? AC ? , 2 2 2

7

AD ? AC 2 ? CD2 ? 1 ?

3 7 ? 4 2 7 11 , ? 4 2

∴ DE ?

AE 2 ? AD2 ? 1 ?

1 11 ?2? DO 2 ? OE 2 ? DE 2 4 4 ? ? 2 --13 分 在△ODE 中,由余弦定理得 cos ?EOD ? ? 1 4 2 DO ? OE 2? ? 2 2
∴异面直线 SB 和 AC 所成的角的余弦值为

2 ---------------------------------14 分 4
z
S

解法 2:以点 A 为坐标原点,AC 所在的直线为 x 轴建立空间直角坐标系如图示, 则可得点 A(0,0,0),C(1,0,0),B (1, ? 3,0) , S (0, 0, 2) -------10 分 ∴ BS ? (?1, 3, 2), AC ? (1,0,0) ----------11 分 设异面直线 SB 和 AC 所成的角为 ?
B O

??? ?

??? ?

A

??? ???? ? BS ? AC 1 2 ? ???? ?| ? |? 则 cos ? ? ??? ---------------13 分 4 | BS | ? | AC | 8
∴异面直线 SB 和 AC 所成的角的余弦值为

y
C

x

2 .--------------------------------------------------14 分 4

18.解: (1)设椭圆方程为 由e ?

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

3 c ? 得 3a ? 2c ,---------------------------------------------------------------------1 分 a 2

2 3 -------------------------------------------------------------------------------2 分 3 1 ∴ b2 ? a2 ? c2 ? , -----------------------------------------------------------------------------------4 分 3 3x 2 ? 3 y 2 ? 1. --------------------------------------------------------------------5 分 ∴所求椭圆方程为 4 1 ? ? (2)? PQ 为圆周的 , ∴ ?POQ ? ---------------------------------------------6 分 4 2 2 M . -------7 分 ∵ | PQ |? 2 ∴点 O 到直线 l 的距离为 2 A

? c ? 1 ,∴ a ?

y

x o B

8

由点到直线的距离公式得 解得 k ? ?

| 2k | k ?1
2

?

2 1 ? k2 ? 2 7

7 --------------------------------------------------------------9 分 7 7 ( x ? 2). -----------------------------------------------------------10 分 ∴直线 l 的方程为 y ? ? 7
(3)∵椭圆 C 的长半轴 a ?

2 3 3 ? 1 ,短半轴 b ? ?1. 3 3 ∴椭圆 C 与 ? O 有四个交点,---------------------------------------------11 分 ∵AB 是 ? O 的直径
∴这四个点的任一点与 A、B 构成的三角形都是直角三角形,且以该点为直角顶点.

? 2 2 ? 2 2 ? 2 2 ? 2 2 ? x2 ? ? x3 ? ? ? x4 ? ? ? x1 ? ? x2 ? y 2 ? 1, ? ? ? ? ? 3 , 3 , 3 .-----13 分 3 , 由? 2 解得 ? ? ? ? 1 1 1 1 3x ? 12 y 2 ? 4. ? ?y ? ? ?y ? ?y ? ? ? ?y ? ? 2 ? 3 3 ? 4 ? 1 3 3 3 ? ? ? ? 即在椭圆 C 上是存在点 M ,使得△ AMB 是以 M 为直角顶点的直角三角形,这样的点有四个,它们的坐
标分别为: (

2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 , ),( , ? ),( ? , ),( ? , ? ) .-------------------14 分 3 3 3 3 3 3 3 3

19.解: (1)由 2Sn ? 1 ? an 得当 n ? 2 时

an ?


1 1 1 1 (1 ? an ) ? (1 ? an ?1 ) ? ? an ? an ?1 , 2an ? ?an ? an?1 2 2 2 2

an 1 ? ,---------------------------------------------------------------------------2 分 an ?1 3

1 1 (1 ? a1 ) 得 a1 ? -----------------------------------------------------3 分 2 3 1 1 1 1 n ?1 1 n ∴数列 {an } 是首项 a1 ? 、公比为 的等比数列,∴ an ? ? ( ) ? ( ) ------5 分 3 3 3 3 3 1 n (2)证明:由(1)知 an ? ( ) 3 1 1 n ∴ S n ? [1 ? ( ) ] ---------------------------------6 分 2 3 1 1 1 1 ?1 ? ( ) n ? 1 ,∴ [1 ? ( ) n ] ? 3 2 3 2 1 ∴ S n ? -----------------------------------------------------8 分 2
由 S1 ? a1 ? (3) ? f ( x) ? log 1 x
3

9

?bn ? log 1 a1 ? log 1 a2 ? ? ? log 1 an = log 1 (a1a2 ? an )
3 3 3 3

= log 1 ( )
3

1 3

1? 2 ??? n

? 1? 2 ??? n ?

n(1 ? n) -----------------------------------10 分 2



1 2 1 1 ? ? 2( ? ) bn n(1 ? n) n n ?1



?b
i ?1 n i ?1

n

1
i

?

1 1 1 1 1 2n 1 1 1 )] = --------12 分 ? ? ? ? ? 2[(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? 2 2 3 n n ?1 n ?1 b1 b2 bn 6n 4(n ? 1) ? 4 4 m ? ? 4? 得m ? -------( ? ) n ?1 n ?1 n ?1 2
?



?b

1
i

?

∵( ? )对 ?n ? N 都成立

∴m ? 4?

4 ?2 1?1

∵ m 是正整数,∴ m 的值为 1,2. ∴使

?b
i ?1

n

1
i

?

m ? 对 ?n ? N 都成立的正整数 m 存在,其值为:1,2.----------14 分 3

20.解: (1)∵当 a ? 1 时 f ( x) ? (2 x ? x2 )e x ,∴ f ?( x) ? (2 ? x2 )e x ,--------------------------1 分 令 f ?( x )? 0 ,得 x ? ? 2 , ----------------------------------------------------------2 分

f ?( x) , f ( x) 随 x 的变化情况入下表:
x

(??, ? 2)


? 2
0 极小值

(? 2, 2)
+

2
0 极大值

( 2, ??)


f ?( x) f ( x)

?

?

?

-----------------------4 分 由上表可知, x ? 2 是函数 f ( x) 的极大值点. ∴ f ( x) 的极大值 f ( x)极大=f ( 2) ? 2( 2 ? 1)e
2

-------------------------------------------------5 分 ------7 分

(2)解法 1:∵ f ?( x) ? (2a ? 2x)eax ? a(2ax ? x2 )eax ? [?ax2 ? (2a2 ? 2) x ? 2a]eax ,

10

由函数 f ( x) 在区间 [ 2,2] 上单调递减可知: f '( x) ? 0 对任意 x?[ 2,2] 恒成立,--------8 分 当 a ? 0 时, f ?( x) ? ?2 x ,显然 f ?( x) ? 0 对任意 x?[ 2,2] 恒成立;--------------------------9 分 当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ? ax2 ? (2a2 ? 2) x ? 2a ? 0 , ∵ x?[ 2,2] ,不等式 ax2 ? (2a2 ? 2) x ? 2a ? 0 ? x ? 令 g ( x) ? x ? , x ?[ 2,2] , 则 g ?( x) ? 1 ?

2 2a2 ? 2 ,---------------------10 分 ? x a

2 x

2 ,在 [ 2,2] 上显然有 g ?( x) ? 0 恒成立,∴函数 g ( x) 在 [ 2,2] 单调递增, x2

∴ g ( x) 在 [ 2,2] 上的最小值为 g ( x)min ? g ( 2) ? 0 ,--------------------------------------------12 分 由于 f ?( x) ? 0 对任意 x?[ 2,2] 恒成立 ? x ? 须且只须 g ( x)min ?

2 2a2 ? 2 对任意 x?[ 2,2] 恒成立, ? x a

2a2 ? 2 2a2 ? 2 ,即 0 ? ,解得 ?1 ? a ? 1 ,∵ a ? 0 ,∴ 0 ? a ? 1 . a a

综上所述,若函数 f ( x) 在区间 [ 2,2] 上单调递减,则实数 a 的取值范围为 0 ? a ? 1 .----------14 分 (2)解法 2:∵ f ?( x) ? (2a ? 2x)eax ? a(2ax ? x2 )eax ? [?ax2 ? (2a2 ? 2) x ? 2a]eax , 由函数 f ( x) 在区间 [ 2,2] 上单调递减可知: f ?( x) ? 0 对任意 x?[ 2,2] 恒成立, 即 ax2 ? (2a2 ? 2) x ? 2a ? 0 对任意 x ? ( 2,2) 恒成立, --------------------------------------------8 分 ---------7 分

当 a ? 0 时, f ?( x) ? ?2 x ,显然 f ?( x) ? 0 对任意 x?[ 2,2] 恒成立; ---------------------------------9 分 当 a ? 0 时,令 h( x) ? ax2 ? (2a2 ? 2) x ? 2a ,则函数 h( x) 图象的对称轴为 x ? 若

a2 ? 1 --------------10 分 a

a2 ? 1 ? 0 ,即 0 ? a ? 1 时,函数 h( x) 在 (0, ??) 单调递增,要使 h( x) ? 0 对任意 x?[ 2,2] 恒成立,须且只须 a
-------------------------------------------------12 分

h( 2) ? 0 ,解得 ?1 ? a ? 1 ,所以 0 ? a ? 1 ;


a2 ? 1 ? 0 ,即 a ? 1 时,由于函数 h( x) 的图象是连续不间断的,假如 h( x) ? 0 对任意 x?[ 2,2] 恒成立,则有 a

h( 2) ? 0 ,解得 ?1 ? a ? 1 ,与 a ? 1 矛盾,所以 h( x) ? 0 不能对任意 x?[ 2,2] 恒成立.
综上所述,若函数 f ( x) 在区间 [ 2,2] 上单调递减,则实数 a 的取值范围为 0 ? a ? 1 .-------------14 分
11

12



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