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(学生)数列求和的基本方法和技巧


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数列求和的基本方法和技巧
一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式: S n ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2

(q ? 1) ? na1 ? a1 (1 ? q n ) a1 ? a n q 2、等比数列求和公式: S n ? ? ? (q ? 1) ? 1? q 1? q ?
3、 S n ?

1 ? k ? 2n(n ? 1) k ?1

n

4、 S n ?

?k
k ?1

n

2

1 ? n(n ? 1)( 2n ? 1) 6

5、 S n ?

?k
k ?1

n

3

1 ? [ n(n ? 1)]2 2
?1 2 3 n ,求 x ? x ? x ? ? ? ? ? x ? ? ? ? 的前 n 项和. log 2 3

[例 1] 已知 log 3 x ? 解:

[例 2] 设 Sn=1+2+3+…+n,n∈N*,求 f (n) ? 解:

Sn 的最大值. (n ? 32) S n?1

1

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二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{an· bn}的前 n 项和,其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列. [例 3] 求和: S n ? 1 ? 3x ? 5 x ? 7 x ? ? ? ? ? (2n ? 1) x
2 3 n ?1

………………………①

解:

[例 4] 求数列

2 4 6 2n , 2 , 3 ,? ? ?, n ,? ? ? 前 n 项的和. 2 2 2 2

解:

2

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三、反序相加法求和 这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序) ,再把它与原 数列相加,就可以得到 n 个 (a1 ? an ) . [例 5] 求证: C n ? 3C n ? 5C n ? ? ? ? ? (2n ? 1)C n ? (n ? 1)2
0 1 2 n n

证明:

[例 6] 求 sin 1 ? sin 2 ? sin 3 ? ? ? ? ? sin 88 ? sin 89 的值
2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ?

解:

3

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四、分组法求和 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或 常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可. [例 7] 求数列的前 n 项和: 1 ? 1, 解:

1 1 1 ? 4, 2 ? 7,? ? ?, n?1 ? 3n ? 2 ,… a a a

[例 8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前 n 项和. 解:

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五、裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后 重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解(裂项)如: (1) a n ? f (n ? 1) ? f (n) (2)

sin1? ? tan(n ? 1)? ? tan n ? ? ? cos n cos(n ? 1)

(3) a n ?

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1

(4) an ?

( 2n) 2 1 1 1 ? 1? ( ? ) (2n ? 1)( 2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

(5) an ?

1 1 1 1 ? [ ? ] n(n ? 1)( n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)( n ? 2)
n?2 1 2(n ? 1) ? n 1 1 1 1 ? n ? ? n ? ? , 则S n ? 1 ? n ?1 n n(n ? 1) 2 n(n ? 1) 2 n?2 (n ? 1)2 (n ? 1)2 n

(6) a n ?

[例 9] 求数列 解:

1 1? 2

,

1 2? 3

,? ? ?,

1 n ? n ?1

,? ? ? 的前 n 项和.

[例 10] 在数列{an}中, an ? 解:

2 1 2 n ,又 bn ? ,求数列{bn}的前 n 项的和. ? ? ??? ? a n ? a n?1 n ?1 n ?1 n ?1

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1 1 1 cos1? [例 11] 求证: ? ? ??? ? ? cos 0 ? cos1? cos1? cos 2 ? cos88 ? cos89 ? sin 2 1?
解:

六、合并法求和 针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此,在求数列的和时,可将这 些项放在一起先求和,然后再求 Sn. [例 12] 求 cos1°+ cos2°+ cos3°+··+ cos178°+ cos179°的值. · 解:

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[例 13] 数列{an}: a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 2, an? 2 ? an?1 ? an ,求 S2002.

[例 14] 在各项均为正数的等比数列中,若 a5 a6 ? 9, 求 log 3 a1 ? log 3 a 2 ? ? ? ? ? log 3 a10 的值. 解:

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七、利用数列的通项求和 先根据数列的结构及特征进行分析,找出数列的通项及其特征,然后再利用数列的通项揭示的规律来 求数列的前 n 项和,是一个重要的方法.

[例 15] 求 1 ? 11 ? 111 ? ? ? ? ? 111 ? ? 之和. ??? ?1
n个1

解:

[例 16] 已知数列{an}: a n ? 解:

? 8 , 求? (n ? 1)( a n ? a n ?1 ) 的值. (n ? 1)( n ? 3) n ?1

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