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【步步高】2015届高考数学总复习 第四章 4.1任意角、弧度制及任意角的三角函数课件 理 北师大版



数学

北(理)

§4.1 任意角、弧度制及任意 角的三角函数
第四章 三角函数、解三角形

基础知识·自主学习
要点梳理
1.角的概念 (1)任意角:①定义:角可以看成平面内 一条射线 绕着端点 从一个位置旋转到另一个位置所形成的 图形 ;②分类:角按 旋转方向分为 正角 、 负角 和

零角 . (2)所有与角 α 终边相同的角,连同角 α 在内,构成的角的集
知识回顾 理清教材

360° ,k∈Z} . 合是 S= {β|β=α+k·
(3)象限角:使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与 x 轴的 非负半轴重合,那么,角的终边(除端点外)在第几象限,就说 这个角是第几象限角; 如果角的终边在坐标轴上, 那么这个角 不属于任何一个象限.

基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

2.弧度制 (1)定义:在以单位长为半径的圆中,单位长度的弧所 对的圆心角为 1 弧度的角.

π (2)角度制和弧度制的互化: 180° = π rad,1° = 180 rad, ?180? ? ? ?° 1 rad= ? π ? ? .
r ,扇形的面积公式: (3)扇形的弧长公式:l= |α|· 1 1 2 | α |· r lr S= 2 = 2 .

基础知识·自主学习
要点梳理
3.任意角的三角函数 任意角 α 的终边与单位圆交于点 P(x,y)时,sin α= y , 下表: 三角 函数 sin α cos α 定义域 第一象 第二象 第三象 第四象 限符号 限符号 限符号 限符号 + + + + - - - - + - + -

知识回顾 理清教材

y cos α= x ,tan α= x (x≠0).三个三角函数的初步性质如

R R

π {α|α≠kπ+2, tan α k∈Z}

基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

4.三角函数线 如下图, 设角 α 的终边与单位圆交于点 P, 过 P 作 PM⊥x 轴, 垂足为 M,过 A(1,0)作单位圆的切线与 α 的终边或终边的反 向延长线相交于点 T.

三角函 数线 有向线段 MP 为正弦线;有向线段 OM 为 余弦线;有向线段 AT 为正切线

基础知识·自主学习
夯基释疑
夯实基础 突破疑难

题号
1 2 3 4 5

答案
(1) × (2) × (3) √ (4) √ (5) √ (6) √

解析

C C

-8
? π π? ?2kπ- ,2kπ+ ?(k∈Z) 3 3? ?

题型分类·深度剖析
题型一 角及其表示
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 1】

(1)终边在直线 y= 3x

上的角的集合是_____________ ______. (2)如果 α 是第三象限角, 那么角 2α 的终边落在_______________ _________________.

题型分类·深度剖析
题型一 角及其表示
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 1】

(1)终边在直线 y= 3x
(1)利用终边相同的角的集合 进行表示,注意对结果进行 合并;
(2)根据 α 的范围求 2α 的范围, 再确定终边位置.

上的角的集合是_____________ ______. (2)如果 α 是第三象限角, 那么角 2α 的终边落在_______________ _________________.

题型分类·深度剖析
题型一 角及其表示
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 1】

(1)终边在直线 y= 3x

上的角的集合是_____________ ______.

(1)∵在(0,π)内终边在直线 π y= 3x 上的角是 , 3

∴终边在直线 y= 3x 上的角的 (2)如果 α 是第三象限角, 那么角 集合为{α|α=π+kπ,k∈Z}. 3 3 2α 的终边落在_______________ (2)∵2kπ+π<α<2kπ+2π,k∈Z,

_________________.

∴4kπ+2π<2α<4kπ+3π,k∈Z.
∴角 2α 的终边落在第一、 二象限 或 y 轴的非负半轴上.

题型分类·深度剖析
题型一 角及其表示
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 1】

π (1)∵在(0,π)内终边在直线 {α|α=kπ+ , π 上的角的集合是_____________ 3 y= 3x 上的角是 , 3 k∈Z} . ______

(1)终边在直线 y= 3x

∴终边在直线 y= 3x 上的角的 (2)如果 α 是第三象限角, 那么角 集合为{α|α=π+kπ,k∈Z}. 3 第一、二象限或 3 2α 的终边落在_______________ (2)∵2kπ+π<α<2kπ+ π,k∈Z, 2

y 轴的非负半轴上. _________________ .

∴4kπ+2π<2α<4kπ+3π,k∈Z.
∴角 2α 的终边落在第一、 二象限 或 y 轴的非负半轴上.

题型分类·深度剖析
题型一 角及其表示
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 1】

{α|α=kπ+ , 求适合某些条件的角,方法是先 上的角的集合是_____________ 3

(1)终边在直线 y= 3x (1)利用终边相同的角的集合可以 π
写出与这个角的终边相同的所有 角的集合,然后通过对集合中的

k∈Z} . ______

(2)如果 α 是第三象限角, 那么角 参数 k 赋值来求得所需角. 第一、二象限或 (2)利用终边相同的角的集合 S= 2α 的终边落在_______________

y 轴的非负半轴上. _________________ .

{β|β=2kπ+α,k∈Z}判断一个角 β 所在的象限时, 只需把这个角写 成[0,2π)范围内的一个角 α 与 2π 的整数倍的和,然后判断角 α 的 象限.

题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 (1)在直角坐标平面内,对于始边为 x 轴非负半轴的角, 下列命题中正确的是 A.第一象限中的角一定是锐角 C.相等的角终边一定相同 ( C ) B.终边相同的角必相等 D.不相等的角终边一定不同

(2)已知角 α=45° ,在区间[-720° ,0° ]内与角 α 有相同终边的角 β=

-675° 或-315° _________________.
π 解析 (1)第一象限角是满足 2kπ<α<2kπ+2,k∈Z 的角,当 k≠0 时,它 都不是锐角,与角 α 终边相同的角是 2kπ+α,k∈Z;
当 k≠0 时,它们都与 α 不相等,亦即终边相同的角可以不相等,但不相 等的角终边可以相同.
(2)由终边相同的角关系知 β=k· 360° +45° ,k∈Z,
∴取 k=-2,-1,得 β=-675° 或 β=-315° .

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

三角函数的概念
(1)已知角 θ 的顶点与原
思维启迪 解析 答案 思维升华

点重合,始边与 x 轴的正半轴重 合,终边在直线 y=2x 上,则 cos 2θ 等于 ( ) 4 3 3 4 A.- B.- C. D. 5 5 5 5 cos α (2)若 sin αtan α<0,且 <0, tan α 则角 α 是 A.第一象限角 C.第三象限角 ( ) B.第二象限角 D.第四象限角

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

三角函数的概念
(1)已知角 θ 的顶点与原
思维启迪 解析 答案 思维升华

点重合,始边与 x 轴的正半轴重 合,终边在直线 y=2x 上,则 cos 2θ 等于 ( ) 4 3 3 4 A.- B.- C. D. 5 5 5 5 cos α (2)若 sin αtan α<0,且 <0, tan α 则角 α 是 A.第一象限角 C.第三象限角 ( ) B.第二象限角 D.第四象限角

(1) 由于三角函数值与选择终边 上的哪个点没有关系,因此知道 了终边所在的直线,可在这个直 线上任取一点,然后按照三角函 数的定义来计算,最后用倍角公 式求值.
(2) 可以根据各象限内三角函数 值的符号判断.

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

三角函数的概念
(1)已知角 θ 的顶点与原
思维启迪 解析 答案 思维升华

点重合,始边与 x 轴的正半轴重 解析 (1)取终边上一点 (a,2a), a≠0, 根据任意角的三角函数定义, 5 y=2x 上,则 3 合,终边在直线 2 可得 cos θ=± ,故 cos 2θ=2cos θ-1=- . 5 5 cos 2θ 等于 ( ) 4 αtan α<0 3 可知 sin 3 α,tan 4 α 异号,从而 α 为第二或第三象 (2)由 sin A.- B.- C. D. 5 5 5 5 限角. cos α (2)若 sin αtan α<0,且 <0, tan α cos α 由 <0 可知 cos α,tan (α 异号,从而 α 为第三或第四象限角, 则角 ) tan α 是 A.第一象限角 B.第二象限角 故 α 为第三象限角. C.第三象限角 D.第四象限角

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

三角函数的概念
(1)已知角 θ 的顶点与原
思维启迪 解析 答案 思维升华

点重合,始边与 x 轴的正半轴重 合,终边在直线 y=2x 上,则 cos 2θ 等于 ( B ) 4 3 3 4 A.- B.- C. D. 5 5 5 5 cos α (2)若 sin αtan α<0,且 <0, tan α 则角 α 是 A.第一象限角 C.第三象限角 ( C ) B.第二象限角 D.第四象限角

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

三角函数的概念
(1)已知角 θ 的顶点与原
思维启迪 解析 答案 思维升华

点重合,始边与 x 轴的正半轴重 合,终边在直线 y=2x 上,则 cos 2θ 等于 ( B ) 4 3 3 4 A.- B.- C. D. 5 5 5 5 cos α (2)若 sin αtan α<0,且 <0, tan α 则角 α 是 A.第一象限角 C.第三象限角 ( C ) B.第二象限角 D.第四象限角

(1)利用三角函数的定义,求一个 角的三角函数值,需确定三个 量:角的终边上任意一个异于原 点的点的横坐标 x, 纵坐标 y, 该 点到原点的距离 r.
(2)根据三角函数定义中 x、y 的 符号来确定各象限内三角函数的 符号,理解并记忆:“一全正、 二正弦、三正切、四余弦”.

题型分类·深度剖析
跟踪训练 2 (1)已知角 α 的终边过点 P(-8m,-6sin 30° ),且 cos α= 4 - ,则 m 的值为 ( B ) 5 1 1 3 3 A.- B. C.- D. 2 2 2 2 sin?cos θ? (2)若 θ 是第二象限角,则 ________0.( 判断大小) < cos?sin θ?
-8m 4 解析 (1)∵r= 64m +9,∴cos α= =-5, 2 64m +9 2 4m 1 1 ∴m>0,∴ = ,即 m = . 2 25 2 64m +9
2

(2)∵θ 是第二象限角,∴-1<cos θ<0,0<sin θ<1,
sin?cos θ? ∴sin(cos θ)<0,cos(sin θ)>0,∴ <0. cos?sin θ?

题型分类·深度剖析
题型三 扇形的弧长、面积公式的应用
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】 已知一扇形的圆心角为 α (α>0),所在圆的半径为 R. (1)若 α=60° ,R=10 cm,求扇 形的弧长及该弧所在的弓形的 面积; (2) 若 扇 形 的 周 长 是 一 定 值 C (C>0),当 α 为多少弧度时,该 扇形有最大面积?

题型分类·深度剖析
题型三 扇形的弧长、面积公式的应用
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】 已知一扇形的圆心角为 α (α>0),所在圆的半径为 R. (1)若 α=60° ,R=10 cm,求扇 形的弧长及该弧所在的弓形的 面积; (2) 若 扇 形 的 周 长 是 一 定 值 C (C>0),当 α 为多少弧度时,该 扇形有最大面积?

(1) 弓 形面 积可 用扇形 面 积 与三角形面积相减得到; (2)建立关于 α 的函数.

题型分类·深度剖析
题型三 扇形的弧长、面积公式的应用
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】 已知一扇形的圆心角为 α (α>0),所在圆的半径为 R. (1)若 α=60° ,R=10 cm,求扇 形的弧长及该弧所在的弓形的 面积;



(1)设弧长为 l,弓形面积为

S 弓,则
π π 10π α=60° =3, R=10, l=3×10= 3 (cm),
S


=S



1 10π 1 - S△ = 2 × 3 ×10 - 2

(2) 若 扇 形 的 周 长 是 一 定 值 C ×102×sin π 3 (C>0),当 α 为多少弧度时,该 扇形有最大面积?
?π 50 50 3 3? ? 2 = 3 π- 2 =50? - ? (cm ). ? 3 2 ? ?

题型分类·深度剖析
题型三 扇形的弧长、面积公式的应用
思维启迪 解析 思维升华
(2)扇形周长 C=2R+l=2R+αR, C ∴R= , 2+α
? 1 2 1 ? ? C ?2 ∴S 扇= α· R = α· ? 2 2 ? ?2+α?

【例 3】 已知一扇形的圆心角为 α (α>0),所在圆的半径为 R. (1)若 α=60° ,R=10 cm,求扇 形的弧长及该弧所在的弓形的 面积; (2) 若 扇 形 的 周 长 是 一 定 值 C (C>0),当 α 为多少弧度时,该 扇形有最大面积?

C2 1 C2 1 = 2 α· = · 2 4 4+4α+α2 4+α+α C2 ≤ . 16
当且仅当 α2=4,即 α=2 时,扇 C2 形面积有最大值16.

题型分类·深度剖析
题型三 扇形的弧长、面积公式的应用
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】 已知一扇形的圆心角为 α (α>0),所在圆的半径为 R. (1)若 α=60° ,R=10 cm,求扇 形的弧长及该弧所在的弓形的 面积; (2) 若 扇 形 的 周 长 是 一 定 值 C (C>0),当 α 为多少弧度时,该 扇形有最大面积?

涉及弧长和扇形面积的计算 时,可用的公式有角度表示和 弧度表示两种,其中弧度表示 的公式结构简单,易记好用, 在使用前,应将圆心角用弧度 表示.弧长和扇形面积公式: 1 l=|α|R,S= |α|R2. 2

题型分类·深度剖析
跟踪训练 3

1 cm 已知扇形的周长为 4 cm,当它的半径为________

2 弧度时,扇形面积最大,这个最大面积是 和圆心角为 ________

1 cm2 . ________
解析 设扇形圆心角为 α,半径为 r,

4 则 2r+|α|r=4,∴|α|= -2. r 1 ∴S 扇形= |α|· r2=2r-r2=-(r-1)2+1, 2

∴当 r=1 时(S 扇形)max=1,此时|α|=2.

题型分类·深度剖析
思想与方法系列6 数形结合思想在三角函数中的应用

典例:(12 分)(1)求函数 y=lg(3-4sin2x)的定义域; θ θ θ (2)设 θ 是第二象限角,试比较 sin ,cos ,tan 的大小. 2 2 2
思 维 启 迪
规 范 解 答

温 馨 提 醒

题型分类·深度剖析
思想与方法系列6 数形结合思想在三角函数中的应用

典例:(12 分)(1)求函数 y=lg(3-4sin2x)的定义域; θ θ θ (2)设 θ 是第二象限角,试比较 sin ,cos ,tan 的大小. 2 2 2
审 思题 维路 启线 迪图 规 范 解 答 温 馨 提 醒

(1)求定义域,就是求使 3-4sin2x>0 的 x 的范围.用三角函数 线求解. (2)比较大小,可以从以下几个角度观察: θ θ ①θ 是第二象限角, ②sin 2, 2是第几象限角?首先应予以确定. θ θ cos 2,tan 2不能求出确定值,但可以画出三角函数线.③借助 三角函数线比较大小.

题型分类·深度剖析
思想与方法系列6 数形结合思想在三角函数中的应用

典例:(12 分)(1)求函数 y=lg(3-4sin2x)的定义域; θ θ θ (2)设 θ 是第二象限角,试比较 sin ,cos ,tan 的大小. 2 2 2
思 维 启 迪 规 范 解 答
2 2

温 馨 提 醒
2分



3 3 3 (1)∵3-4sin x>0,∴sin x< ,∴- <sin x< . 4 2 2

利用三角函数线画出 x 满足条件的终边范围 (如图阴影部分所示),
? π π? ∴x∈?kπ-3,kπ+3?(k∈Z). ? ?

4分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列6 数形结合思想在三角函数中的应用

典例:(12 分)(1)求函数 y=lg(3-4sin2x)的定义域; θ θ θ (2)设 θ 是第二象限角,试比较 sin ,cos ,tan 的大小. 2 2 2
思 维 启 迪 规 范 解 答 温 馨 提 醒

π (2)∵θ 是第二象限角,∴ +2kπ<θ<π+2kπ,k∈Z, 2 π θ π θ ∴4+kπ<2<2+kπ,k∈Z,∴2是第一或第三象限的角.

6分

(如图阴影部分),结合单位圆上的三角函数线可得: θ θ θ θ ①当 是第一象限角时, sin =AB, cos =OA, tan =CT, 2 2 2 2 θ θ θ 8分 从而得,cos 2<sin 2<tan 2;

题型分类·深度剖析
思想与方法系列6 数形结合思想在三角函数中的应用

典例:(12 分)(1)求函数 y=lg(3-4sin2x)的定义域; θ θ θ (2)设 θ 是第二象限角,试比较 sin ,cos ,tan 的大小. 2 2 2
思 维 启 迪 规 范 解 答 温 馨 提 醒

θ θ ②当 是第三象限角时,sin =EF,cos 2 2 θ θ θ 得 sin 2<cos 2<tan 2. θ θ 综上可得,当2在第一象限时,cos 2<sin θ θ θ θ 当2在第三象限时,sin 2<cos 2<tan 2.

θ θ =OE,tan =CT, 2 2
10分

θ θ 2<tan 2;
12分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列6 数形结合思想在三角函数中的应用

典例:(12 分)(1)求函数 y=lg(3-4sin2x)的定义域; θ θ θ (2)设 θ 是第二象限角,试比较 sin ,cos ,tan 的大小. 2 2 2
思 维 启 迪 规 范 解 答 温 馨 提 醒

(1)第(1)小题的实质是解一个简单的三角不等式, 可以用三角函数 图像,也可以用三角函数线.但用三角函数线更方便. (2)第 (2) 小题比较大小,由于没有给出具体的角度,所以用图形可以更直 θ 观的表示.(3)本题易错点:①不能确定 所在的象限;②想不到 2 应用三角函数线.原因在于概念理解不透,方法不够灵活.

思想方法·感悟提高
1. 在利用三角函数定义时, 点 P 可取终边上任一点, 如有可能则取终边与单位圆的交点. |OP|=r 一定

方 法 与 技 巧

是正值.
2.三角函数符号是重点,也是难点,在理解的基 础上可借助口诀:一全正,二正弦,三正切, 四余弦.

3.在解简单的三角不等式时,利用单位圆及三角 函数线是一个小技巧.

思想方法·感悟提高
1.注意易混概念的区别:象限角、锐角、小于 90° 的角 是概念不同的三类角.第一类是象限角,第二、第 三类是区间角.

失 误 与 防 范

2.角度制与弧度制可利用 180° =π rad 进行互化,在同 一个式子中, 采用的度量制度必须一致, 不可混用.

3.已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终 边在坐标轴上的情况.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

1.α=k· 180° +45° (k∈Z),则 α 在 A.第一或第三象限 B.第一或第二象限 C.第二或第四象限 D.第三或第四象限
解析

( A )

45° 角在第一象限,角 α 和 45° 角终边相同或互为反向

延长线,

∴角 α 在第一或第三象限.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

2.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长,则其圆 心角 α∈(0,π)的弧度数为 π π A. B. C. 3 3 2 ( C ) D.2

解析

设圆半径为 r,则其内接正三角形的边长为 3r,

所以 3r=α· r,∴α= 3.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

3.角 α 的终边过点 P(-1,2),则 sin α 等于 5 2 5 A. B. 5 5 5 2 5 C.- D.- 5 5
解析 由三角函数的定义,
2 2 5 得 sin α= 2 2= 5 . ?-1? +2

( B )

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

4.若 α 是第三象限角,则下列各式中不成立的是 A.sin α+cos α<0 C.cos α-tan α<0
解析

( B )

B.tan α-sin α<0 D.tan αsin α<0

在第三象限,sin α<0,cos α<0,tan α>0,

则可排除 A、C、D,故选 B.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

5.给出下列命题: ①第二象限角大于第一象限角; ②三角形的内角是第一象限角或第二象限角; ③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角,它们与扇 形的半径的大小无关; ④若 sin α=sin β,则 α 与 β 的终边相同; ⑤若 cos θ<0,则 θ 是第二或第三象限的角. 其中正确命题的个数是 A.1 B.2 C. 3 D.4 ( )

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

解析 由于第一象限角 370° 不小于第二象限角 100° , 故①错;
当三角形的内角为 90° 时,其既不是第一象限角,也不是第二 象限角,故②错;③正确;

π 5π π 5π 由于 sin 6=sin 6 ,但6与 6 的终边不相同,故④错;
当 cos θ=-1,θ=π 时既不是第二象限角,又不是第三象限 角,故⑤错.综上可知只有③正确.

答案 A

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

6.设 α 为第二象限角,其终边上一点为 P(m, 5),且 cos α= 10 2 m,则 sin α 的值为________ 4 . 4

解析 设 P(m, 5)到原点 O 的距离为 r,
m 2 则 r =cos α= 4 m,

5 5 10 ∴r=2 2,sin α= = = . r 2 2 4

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

2π 2π 7.已知角 α 的终边上一点的坐标为(sin ,cos ),则角 α 的 3 3 11 最小正值为________ 6π .
2π 1 cos - 3 2 3 ∵tan α= 2π = 3 =- 3 , sin 3 2

解析

2π 2π 且 sin 3 >0,cos 3 <0,
3 11 ∴α 在第四象限, 由 tan α=- 3 , 得 α 的最小正值为 6 π.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

8.y=

π 2π 3 {x|2kπ+ ≤x≤2kπ+ , sin x- 的定义域为________________________ 3 3 2

k∈Z} . _______
解析 3 3 ∵sin x≥ ,作直线 y= 交单位圆 2 2

于 A、B 两点,连接 OA、OB,则 OA 与 OB 围成的区域(图中阴影部分)
即为角 α 的终边的范围,故满足条件的角 α 的集合为 π 2π {x|2kπ+ ≤x≤2kπ+ ,k∈Z}. 3 3

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

2 9.已知角 θ 的终边经过点 P(- 3,m) (m≠0)且 sin θ= m,试 4 判断角 θ 所在的象限,并求 cos θ 和 tan θ 的值.
解 由题意,得 r= 3+m2,

m 2 所以 sin θ= 2= 4 m. 3+m
因为 m≠0, 所以 m=± 5, 故角 θ 是第二或第三象限角.

当 m= 5时,r=2 2,点 P 的坐标为(- 3, 5),角 θ 是第 二象限角,

x - 3 6 所以 cos θ=r= =- 4 , 2 2

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

2 9.已知角 θ 的终边经过点 P(- 3,m) (m≠0)且 sin θ= m,试 4 判断角 θ 所在的象限,并求 cos θ 和 tan θ 的值.
y 5 15 tan θ=x= =- ; 3 - 3

当 m=- 5时,r=2 2,点 P 的坐标为(- 3,- 5),角 θ 是第三象限角,
x - 3 6 所以 cos θ=r = =- 4 , 2 2
y - 5 15 tan θ=x= = 3 . - 3

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

10.一个扇形 OAB 的面积是 1 cm2,它的周长是 4 cm,求圆心 角的弧度数和弦长 AB.
解 设圆的半径为 r cm,弧长为 l cm,

1 ? ? ? lr=1, ?r=1, 则?2 解得? ? ?l=2. ? l + 2 r = 4 , ? l ∴圆心角 α=r=2 弧度.

如图,过 O 作 OH⊥AB 于 H,则∠AOH=1 弧度.
∴AH=1· sin 1=sin 1(cm),∴AB=2sin 1(cm).

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

k k 1.设集合 M={x|x= ×180° +45° , k∈Z},N={x|x= ×180° 2 4 +45° ,k∈Z},那么 A.M=N C.N?M
解析 方法一

( B.M?N D.M∩N=?

)

k 由于 M={x|x=2×180° +45° , k∈Z}={?,

-45° ,45° ,135° ,225° ,?}, k N={x|x=4×180° +45° , k∈Z}={?, -45° , 0° , 45° , 90° ,
135° ,180° ,225° ,?},
显然有 M?N.

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

k k 1.设集合 M={x|x= ×180° +45° , k∈Z},N={x|x= ×180° 2 4 +45° ,k∈Z},那么 A.M=N C.N?M
方法二

( B ) B.M?N D.M∩N=?

k 由于集合 M 中,x= ×180° +45° =k×90° +45° 2

=45° ×(2k+1),2k+1 是奇数;
k 而集合 N 中, x=4×180° +45° =k×45° +45° =(k+1)×45° , k+1 是整数,因此必有 M?N.

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

π sin θ 2. 已知角 α=2kπ- (k∈Z), 若角 θ 与角 α 的终边相同, 则 y= 5 |sin θ| cos θ tan θ + + 的值为 ( B ) |cos θ| |tan θ| A.1 B.-1 C.3 D.-3

π 解析 由 α=2kπ-5(k∈Z)及终边相同的概念知,角 α 的终边 在第四象限,

又角 θ 与角 α 的终边相同,所以角 θ 是第四象限角,

所以 sin θ<0,cos θ>0,tan θ<0.

所以 y=-1+1-1=-1.

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5
?π ? ? ? + 2 k π , ? ? ?3 ?

3.函数 y= sin x+
? ? ?

1 -cos x的定义域是________ 2

π+2kπ??(k∈Z) . ____________
?sin x≥0, ? 由题意知?1 ? -cos x≥0, ?2 ?sin x≥0, ? 即? 1 ?cos x≤ . 2 ?

?

解析

π ∴x 的取值范围为3+2kπ≤x≤π+2kπ,k∈Z.

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

4.已知扇形 AOB 的周长为 8. (1)若这个扇形的面积为 3,求圆心角的大小; (2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长 AB.
解 设扇形 AOB 的半径为 r,弧长为 l,圆心角为 α,

2r+l=8, ? ? ? ? ?r=3 ?r=1, (1)由题意可得?1 解得? 或? ? ? lr=3, ?l=2 ?l=6, ? ?2
l 2 l ∴α= = 或 α= =6. r 3 r

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

4.已知扇形 AOB 的周长为 8. (1)若这个扇形的面积为 3,求圆心角的大小; (2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长 AB.
(2)∵2r+l=8,

1 1 1 l+2r 2 1 8 2 ∴S 扇= lr= l· 2r≤ ( ) = ×( ) =4, 2 4 4 2 4 2
l 当且仅当 2r=l,即 α= =2 时,扇形面积取得最大值 4. r ∴r=2,∴弦长 AB=2sin 1×2=4sin 1.

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

5.已知 sin α<0,tan α>0. (1)求 α 角的集合; α (2)求 终边所在的象限; 2 α α α (3)试判断 tan sin cos 的符号. 2 2 2
解 (1)由 sin α<0,知 α 在第三、四象限或 y 轴的负半轴上;

由 tan α>0,知 α 在第一、三象限,

故 α 角在第三象限,其集合为 3π {α|(2k+1)π<α<2kπ+ ,k∈Z}. 2

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

5.已知 sin α<0,tan α>0. (1)求 α 角的集合; α (2)求 终边所在的象限; 2 α α α (3)试判断 tan sin cos 的符号. 2 2 2
3π (2)由(2k+1)π<α<2kπ+ ,k∈Z, 2
π α 3π 得 kπ+ < <kπ+ ,k∈Z, 2 2 4

α 故 终边在第二、四象限. 2

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

5.已知 sin α<0,tan α>0. (1)求 α 角的集合; α (2)求 终边所在的象限; 2 α α α (3)试判断 tan sin cos 的符号. 2 2 2 α α α α (3)当 在第二象限时,tan <0,sin >0,cos <0, 2 2 2 2 α α α 所以 tan sin cos 取正号; 2 2 2 α α α α 当 在第四象限时,tan <0,sin <0,cos >0, 2 2 2 2 α α α 所以 tan sin cos 也取正号. 2 2 2 α α α 因此,tan 2sin 2cos 2取正号.



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