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湖北省黄冈中学2015-2016学年高二数学上学期期中试题 理



湖北省黄冈中学 2015 年秋季期中考试高二数学试卷(理科)
第Ⅰ卷 选择题

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.经过圆 A、 的圆心且与直线 B、 平行的直线方程是( )

C、

D、

2. 已知

直线



, 若

, 则 m 的值是 ( )

A、

B、-2

C、

D、2

3.某几何体的三视图如图所示,当 a+b 取最大值时,该几何体体积为( )

A、

B、
1

C、

D、

4.如图正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 2,线段 B1D1 上有两个动点 E、F,且 EF=1 则下列结 论中错误的是( )

A、EF∥平面 ABCD C、三棱锥 A—BEF 体积为定值

B、AC⊥BE D、Δ BEF 与Δ AEF 面积相等

5.已知{an}是等差数列,a3=8,S6=57,则过点 P(2,a7),Q(3,a8)的直线斜率为( )

A、3 C、—3

B、 D、—13

6.若点(1,1)和点(0,2)一个在圆 则正实数 a 的取值范围是( )

的内部,另一个在圆的外部,

A、 C、(0,1)

B、 D、(1,2)

2

7.如图,在四面体 A—BCD 中,AC 与 BD 互相垂直,且长度分别为 2 和 3,平行于这两条棱

的平面与边 AB、 BC、 CD、 DA 分别相交于点 E、 F、 G、 H, 记四边形 EFGH 的面积为 y, 设 则( )



A、函数 f(x)的值域为(0,1] B、函数 y=f(x)满足 f(x)=f(2-x) C、函数 y=f(x)的最大值为 2

D、函数 y=f(x)在

上单调递增

8.正四面体 ABCD 的外接球半径为 6,过棱 AB 作该球的截面,则截面面积的最小值为( ) A、9π C、24π B、4π D、16π

9.已知圆 是( ) A、x-y+1=0 C、3x-2y+1=0

与圆

关于直线 对称,则直线 的方程可以

B、x-y-2=0 D、x+y-1=0

10.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,直线 BC1 与平面 A1BD 所成角的余弦值为( )
3

A、

B、

C、

D、

11. 如果直线

和函数

的图像恒

过同一个定点, 且该定点始终落在圆 的取值范围是( )

的内部或圆上, 那么,

A、

B、

C、

D、

12.圆锥的轴截面 SAB 是边长为 4 的正三角形(S 为顶点),O 为底面中心,M 为 SO 中点, 动点 P 在圆锥底面内(包括圆周),若 AM⊥MP,则点 P 形成的轨迹长度为( )

A、

B、

C、

D、

第Ⅱ卷

非选择题

二、填空题(本大题共四小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.在底面直径为 4 的圆柱形容器中,放入一个半径为 1 的冰球,当冰球全部融化后,容器 中液面的高度为___________(相同体积的冰与水的质量比为 9:10)
4

14.已知三个不同的平面α 、β 、γ 和两条不同的直线 m、n,有下列五个命题: ①若 m∥n,m⊥α ,则 n⊥α ;②若 m⊥α ,m⊥β ,则α ∥β ③若 m⊥α ,m∥n, ,则α ⊥β ④若 则 m∥n

⑤若





其中正确命题的编号是______________.

15.在Δ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 c=0 被圆 x +y =4 所截得的弦长为__________.
2 2

,则直线 ax+by-

16.设 P(4,0),A、B 是圆 C:x +y =4 上关于 x 轴对称的任意两个不同的点,连接 PB 交圆 C 于另一点 E,直线 AE 与 x 轴交于点 T,则|AT|×|TE|=___________.

2

2

三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或者演算步骤) 17. (10 分) 如图所示, 在四棱锥 P—ABCD 中, PD⊥平面 ABCD, 底面 ABCD 是菱形, AB=2, ,O 为 AC 与 BD 的交点,E 为棱 PB 上一点. ,

(1)证明:平面 EAC⊥平面 PBD;

(2)若三棱锥 P—EAD 的体积为

,求证:PD∥平面 EAC.

5

18.(12 分)在梯形 ABCD 中,AD∥BC,BC=2AD, 沿 BD 翻折,使得平面 ABD⊥平面 BCD, (1)求证:CD⊥平面 ABD; (2)若 M 为线段 BC 的中点,求点 M 到平面 ACD 的距离.

,AB⊥BC,如图把Δ ABD

19.(12 分)如图,直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,D、E 分别是 AB、BB1 的中点, =AC=CB=1. (1)求异面直线 AE 与 BC1 所成角的余弦值; (2)求二面角 D—A1C—A 的正切值

,AA1

6

20.(12 分)已知数列{an}(n=1,2,3,……),⊙C1: 和⊙C2: 长. (1)求证数列{an}是等差数列; (2)若 a1=1,则当⊙C1 面积最小时,求出⊙C1 的方程. ,若⊙C1 与⊙C2 交于 A、B 两点,且这两点平分圆 C2 的周

21.(12 分)已知圆 C: (1)求 m 的取值范围 (2)当 m=1 时,若圆 C 与直线 x+ay-2=0 交于 M、N 两点,且 CM⊥CN,求 a 的值.

22.(12 分)已知圆 C 过点

且与圆 M:

关于直线 x

+y+4=0 对称,定点 R 的坐标为(1,1). (1)求圆 C 的方程; (2)设 Q 为圆 C 上的一个动点,求 的最小值;

(3)过点 R 作两条相异直线分别与圆 C 相交于 A、B,且直线 RA 和直线 RB 的倾斜角互 补,O 为坐标原点,试判断直线 OR 和直线 AB 是否平行,并说明理由.

7

答案与解析: 1、B

解析: 圆 线方程为 x+2y+2=0. 2、B

, 所以直

解析: 3、A 解析:设

当且仅当



取最大值,所以体积为

.

4、D 解析:对 A 来说面 ABCD∥面 A1B1C1D1,而 EF BDD1B1,BE 面 BDD1B1,∴AC⊥BE. 面 A1B1C1D1,∴EF∥面 ABCD,对 B 来说 AC⊥面

对 C 来说 A 点到面 BDD1B1 的距离为定值,EF 为定值,点 B 到 EF 的距离为定值,所以三棱锥 A-BEF 的体积为定值. 5、A

解析:

6、C 解析: .
8

7、D

解析:由



由函数解析式可看出只有 D 答案是正确的.

8、C 解析:把正四面体 ABCD 放到正方体中,设正方体的棱长为 a,则 ,当圆的面积最小时,AB 为直径,所以圆的 面积为 9、B 解析:圆 O1 的圆心为(0,0),O2 的圆心为(2,-2),O1O2 的中点为(1,-1), 所以直线的方程为 x―y―2=0. 10、B 解析:以 D 为坐标原点,以 DA,DC,DD1 方向分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系. 则 D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),C1(0,1,1),易求得面 A1BD 的一个

法向量为





11、C 解析:函数 所以 a+b=5. 又(-1,3)始终在圆
2 2

的图像过定点(-1,3),故直线 3ax-by+15=0 也过该点,

的内部或圆上,故 ,即 a +b ≤16.分别以 a、b 为横轴和纵轴作出坐标系,并

9

在坐标系中作出直线 a+b=5 和圆 a +b =16 的内部(包括圆上),其公共部分为一线段,

2

2

如图.

表示经过原点与线段上点直线的斜率,结合图形可知,

.

12、D 解析:建立如图所示的空间直角坐标系,则 则



所以 P 点轨迹为圆 O 一条

弦,且弦心距为

由垂径定理可知弦长为

13、

14、①②③⑤ 解析:画图可知①②③⑤正确,④错误 15、

10

16.答案:3

法 2:易证:O,E,B,T 四点共圆

11

17、(1)证明: ∵PD⊥平面 ABCD, 平面 ABCD

∴AC⊥PD……2 分 ∵四边形 ABCD 是菱形 ∴AC⊥BD……3 分 又

∴AC⊥平面 PBD……4 分

∴平面 EAC⊥平面 PBD……5 分 (2)取 AD 中点 M,连接 BM、PM,在Δ PBM 内,过点 E 作 EH∥BM 交于 PM 于 H …6 分 ∵PD⊥平面 ABCD, 平面 PAD

∴平面 PAD⊥平面 ABCD……7 分 ∵ABCD 为菱形,∠BAD=60° ∴Δ ABD 为正三角形……8 分 于是 BM⊥AD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD ∴BM⊥平面 PAD……9 分

……10 分

EH∥BM,BM⊥平面 PAD

故 EH⊥平面 PAD,

……11 分

12

∴E 为 PB 中点,故 ∴PD∥平面 EAC……12 分 18、(1)证明:

平面 EAC,OE

平面 EAC

∵平面 ABD⊥平面 BCD,平面 ABD∩平面 BCD=BD ∴CD⊥平面 ABD ( ,1 分; ,1 分; ,2 分; ,1 分;

以下 1 分,共 6 分) (2)由(1)CD⊥平面 ABD,知 CD⊥AD,故 又 ∴BA⊥AC, 又 BA⊥AD,∴BA⊥平面 ACD , ,故

取 AC 中点 N,则 又 BA⊥平面 ACD

∴MN⊥平面 ACD,点 M 到平面 ACD 的距离为

13

( ACD,每个点 1 分)



,BA⊥平面 ACD,

,MN⊥平面

19、(1)取 B1C1 中点 F,连接 EF,AF,A1F……2 分

于是 分 ∠AEF 或其补角为异面直线所成角,

……4

故∠AEF 为异面直线所成角,其余弦值为

……6 分

(2)取 AC 中点 M,在Δ A1AC 内,过点 M 作 MN⊥A1C 于 N,连结 DN,则∠DNM 为二面角 D— A1C—A 的平面角……8 分

由平几知识得

……11 分

在 RtΔ DMN 中, 20、(1)证明:

……12 分

联立

……1 分

①—②并化简得:

此即为 AB 直线方程……3 分

依题意,直线 AB 过点

,故

……4 分

14

即 从而{an}为等差数列……6 分 (2)由(1)知,d=2,又 a1=1 ……8 分

化⊙C1 为标准方程:

……9 分



……10 分

⊙C1 面积最小时,r 也最小,此时,

……11 分

故此时⊙C1 的方程为

……12 分

21、(1)化圆 C 为标准方程: 于是由 5-m>0 得 m<5……4 分 (2) 时,⊙C ……5 分

……2 分

设 M(x1,y1),N(x2,y2)

由 消去 x 并化简得: ……6 分

是 又 即

①……7 分

15



……9 分





……10 分



解得

……11 分

适合①式,故

……12 分

22、(1)设 C(a,b),CM 交直线 x+y+4=0 于 H,则 H

于是

……2 分

解得

……3 分

故⊙ 从而圆 C 方程为

,又⊙C 过点 ……4 分

(2)设

则 于是

……5 分

……7 分

16



的最小值为

……8 分

(3)直线 OR 和直线 AB 平行 理由如下: 方法一: 由题意知,直线 RA 和直线 RB 斜率均存在,且互为相反数, 故可令 ……9 分





∵点 R 的横坐标一定是该方程的解,故

……11 分

故直线 OR 和直线 AB 平行……12 分 方法二:设 x 轴交⊙C 于 M、N,

AB 交 x 轴于 G,RA,RB 分别交 x 轴于 E、F 则



17

于是

故∴AB∥OR 注:这里 等是其所对圆心角弧度数的简记.

18



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