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湖北省黄冈中学2015-2016学年高二数学上学期期中试题 理

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湖北省黄冈中学 2015 年秋季期中考试高二数学试卷（理科）
第Ⅰ卷 选择题

一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的） 1．经过圆 A、 的圆心且与直线 B、 平行的直线方程是（ ）

C、

D、

2． 已知

直线

，

， 若

， 则 m 的值是 （ ）

A、

B、－2

C、

D、2

3．某几何体的三视图如图所示，当 a＋b 取最大值时，该几何体体积为（ ）

A、

B、
1

C、

D、

4．如图正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 2，线段 B1D1 上有两个动点 E、F，且 EF＝1 则下列结 论中错误的是（ ）

A、EF∥平面 ABCD C、三棱锥 A—BEF 体积为定值

B、AC⊥BE D、Δ BEF 与Δ AEF 面积相等

5．已知{an}是等差数列，a3＝8，S6＝57，则过点 P（2，a7），Q（3，a8）的直线斜率为（ ）

A、3 C、—3

B、 D、—13

6．若点（1，1）和点（0，2）一个在圆 则正实数 a 的取值范围是（ ）

的内部，另一个在圆的外部，

A、 C、（0，1）

B、 D、（1，2）

2

7．如图，在四面体 A—BCD 中，AC 与 BD 互相垂直，且长度分别为 2 和 3，平行于这两条棱

的平面与边 AB、 BC、 CD、 DA 分别相交于点 E、 F、 G、 H， 记四边形 EFGH 的面积为 y， 设 则（ ）

，

A、函数 f(x)的值域为（0，1] B、函数 y＝f(x)满足 f(x)＝f(2－x) C、函数 y＝f(x)的最大值为 2

D、函数 y＝f(x)在

上单调递增

8．正四面体 ABCD 的外接球半径为 6，过棱 AB 作该球的截面，则截面面积的最小值为（ ） A、9π C、24π B、4π D、16π

9．已知圆 是（ ） A、x－y＋1＝0 C、3x－2y＋1＝0

与圆

关于直线 对称，则直线 的方程可以

B、x－y－2＝0 D、x＋y－1＝0

10．在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，直线 BC1 与平面 A1BD 所成角的余弦值为（ ）
3

A、

B、

C、

D、

11． 如果直线

和函数

的图像恒

过同一个定点， 且该定点始终落在圆 的取值范围是（ ）

的内部或圆上， 那么，

A、

B、

C、

D、

12．圆锥的轴截面 SAB 是边长为 4 的正三角形（S 为顶点），O 为底面中心，M 为 SO 中点， 动点 P 在圆锥底面内（包括圆周），若 AM⊥MP，则点 P 形成的轨迹长度为（ ）

A、

B、

C、

D、

第Ⅱ卷

非选择题

二、填空题（本大题共四小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．在底面直径为 4 的圆柱形容器中，放入一个半径为 1 的冰球，当冰球全部融化后，容器 中液面的高度为___________（相同体积的冰与水的质量比为 9：10）
4

14．已知三个不同的平面α 、β 、γ 和两条不同的直线 m、n，有下列五个命题： ①若 m∥n，m⊥α ，则 n⊥α ；②若 m⊥α ，m⊥β ，则α ∥β ③若 m⊥α ，m∥n， ，则α ⊥β ④若 则 m∥n

⑤若

且

则

其中正确命题的编号是______________.

15．在Δ ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 c＝0 被圆 x ＋y ＝4 所截得的弦长为__________.
2 2

，则直线 ax＋by－

16．设 P（4，0），A、B 是圆 C：x ＋y ＝4 上关于 x 轴对称的任意两个不同的点，连接 PB 交圆 C 于另一点 E，直线 AE 与 x 轴交于点 T，则|AT|×|TE|＝___________.

2

2

三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或者演算步骤） 17． （10 分） 如图所示， 在四棱锥 P—ABCD 中， PD⊥平面 ABCD， 底面 ABCD 是菱形， AB＝2， ，O 为 AC 与 BD 的交点，E 为棱 PB 上一点. ，

（1）证明：平面 EAC⊥平面 PBD；

（2）若三棱锥 P—EAD 的体积为

，求证：PD∥平面 EAC.

5

18．（12 分）在梯形 ABCD 中，AD∥BC，BC＝2AD， 沿 BD 翻折，使得平面 ABD⊥平面 BCD， （1）求证：CD⊥平面 ABD； （2）若 M 为线段 BC 的中点，求点 M 到平面 ACD 的距离.

，AB⊥BC，如图把Δ ABD

19．（12 分）如图，直三棱柱 ABC—A1B1C1 中，D、E 分别是 AB、BB1 的中点， ＝AC＝CB＝1. （1）求异面直线 AE 与 BC1 所成角的余弦值； （2）求二面角 D—A1C—A 的正切值

，AA1

6

20．（12 分）已知数列{an}（n＝1，2，3，……），⊙C1： 和⊙C2： 长. （1）求证数列{an}是等差数列； （2）若 a1＝1，则当⊙C1 面积最小时，求出⊙C1 的方程. ，若⊙C1 与⊙C2 交于 A、B 两点，且这两点平分圆 C2 的周

21．（12 分）已知圆 C： （1）求 m 的取值范围 （2）当 m＝1 时，若圆 C 与直线 x＋ay－2＝0 交于 M、N 两点，且 CM⊥CN，求 a 的值.

22．（12 分）已知圆 C 过点

且与圆 M：

关于直线 x

＋y＋4＝0 对称，定点 R 的坐标为（1，1）． （1）求圆 C 的方程； （2）设 Q 为圆 C 上的一个动点，求 的最小值；

（3）过点 R 作两条相异直线分别与圆 C 相交于 A、B，且直线 RA 和直线 RB 的倾斜角互 补，O 为坐标原点，试判断直线 OR 和直线 AB 是否平行，并说明理由.

7

答案与解析： 1、B

解析： 圆 线方程为 x＋2y＋2＝0. 2、B

， 所以直

解析： 3、A 解析：设

当且仅当

时

取最大值，所以体积为

.

4、D 解析：对 A 来说面 ABCD∥面 A1B1C1D1，而 EF BDD1B1，BE 面 BDD1B1，∴AC⊥BE. 面 A1B1C1D1，∴EF∥面 ABCD，对 B 来说 AC⊥面

对 C 来说 A 点到面 BDD1B1 的距离为定值，EF 为定值，点 B 到 EF 的距离为定值，所以三棱锥 A－BEF 的体积为定值. 5、A

解析：

6、C 解析： .
8

7、D

解析：由

，

由函数解析式可看出只有 D 答案是正确的.

8、C 解析：把正四面体 ABCD 放到正方体中，设正方体的棱长为 a，则 ，当圆的面积最小时，AB 为直径，所以圆的 面积为 9、B 解析：圆 O1 的圆心为（0，0），O2 的圆心为（2，－2），O1O2 的中点为（1，－1）， 所以直线的方程为 x―y―2＝0. 10、B 解析：以 D 为坐标原点，以 DA，DC，DD1 方向分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系. 则 D（0，0，0），A1（1，0，1），B（1，1，0），C1（0，1，1），易求得面 A1BD 的一个

法向量为

，

，

11、C 解析：函数 所以 a＋b＝5. 又（－1，3）始终在圆
2 2

的图像过定点（－1，3），故直线 3ax－by＋15＝0 也过该点，

的内部或圆上，故 ，即 a ＋b ≤16.分别以 a、b 为横轴和纵轴作出坐标系，并

9

在坐标系中作出直线 a＋b＝5 和圆 a ＋b ＝16 的内部（包括圆上），其公共部分为一线段，

2

2

如图.

表示经过原点与线段上点直线的斜率，结合图形可知，

.

12、D 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则 则

，

所以 P 点轨迹为圆 O 一条

弦，且弦心距为

由垂径定理可知弦长为

13、

14、①②③⑤ 解析：画图可知①②③⑤正确，④错误 15、

10

16．答案：3

法 2：易证：O，E，B，T 四点共圆

11

17、（1)证明： ∵PD⊥平面 ABCD， 平面 ABCD

∴AC⊥PD……2 分 ∵四边形 ABCD 是菱形 ∴AC⊥BD……3 分 又

∴AC⊥平面 PBD……4 分

∴平面 EAC⊥平面 PBD……5 分 (2)取 AD 中点 M，连接 BM、PM，在Δ PBM 内，过点 E 作 EH∥BM 交于 PM 于 H …6 分 ∵PD⊥平面 ABCD， 平面 PAD

∴平面 PAD⊥平面 ABCD……7 分 ∵ABCD 为菱形，∠BAD＝60° ∴Δ ABD 为正三角形……8 分 于是 BM⊥AD，平面 PAD∩平面 ABCD＝AD ∴BM⊥平面 PAD……9 分

……10 分

EH∥BM，BM⊥平面 PAD

故 EH⊥平面 PAD，

……11 分

12

∴E 为 PB 中点，故 ∴PD∥平面 EAC……12 分 18、(1)证明：

平面 EAC，OE

平面 EAC

∵平面 ABD⊥平面 BCD，平面 ABD∩平面 BCD＝BD ∴CD⊥平面 ABD （ ，1 分； ，1 分； ，2 分； ,1 分；

以下 1 分，共 6 分） （2）由（1）CD⊥平面 ABD，知 CD⊥AD，故 又 ∴BA⊥AC， 又 BA⊥AD，∴BA⊥平面 ACD , ，故

取 AC 中点 N，则 又 BA⊥平面 ACD

∴MN⊥平面 ACD，点 M 到平面 ACD 的距离为

13

（ ACD，每个点 1 分）

，

，BA⊥平面 ACD，

，MN⊥平面

19、（1）取 B1C1 中点 F，连接 EF，AF，A1F……2 分

于是 分 ∠AEF 或其补角为异面直线所成角，

……4

故∠AEF 为异面直线所成角，其余弦值为

……6 分

（2）取 AC 中点 M，在Δ A1AC 内，过点 M 作 MN⊥A1C 于 N，连结 DN，则∠DNM 为二面角 D— A1C—A 的平面角……8 分

由平几知识得

……11 分

在 RtΔ DMN 中， 20、(1)证明：

……12 分

联立

……1 分

①—②并化简得：

此即为 AB 直线方程……3 分

依题意，直线 AB 过点

，故

……4 分

14

即 从而{an}为等差数列……6 分 （2）由（1）知，d＝2，又 a1＝1 ……8 分

化⊙C1 为标准方程：

……9 分

则

……10 分

⊙C1 面积最小时，r 也最小，此时，

……11 分

故此时⊙C1 的方程为

……12 分

21、（1）化圆 C 为标准方程： 于是由 5－m>0 得 m<5……4 分 （2） 时，⊙C ……5 分

……2 分

设 M(x1，y1)，N(x2，y2)

由 消去 x 并化简得： ……6 分

是 又 即

①……7 分

15

故

……9 分

，

故

……10 分

即

解得

……11 分

适合①式，故

……12 分

22、（1）设 C（a，b），CM 交直线 x＋y＋4＝0 于 H，则 H

于是

……2 分

解得

……3 分

故⊙ 从而圆 C 方程为

，又⊙C 过点 ……4 分

（2）设

则 于是

……5 分

……7 分

16

故

的最小值为

……8 分

（3）直线 OR 和直线 AB 平行 理由如下： 方法一： 由题意知，直线 RA 和直线 RB 斜率均存在，且互为相反数， 故可令 ……9 分

由

得

∵点 R 的横坐标一定是该方程的解，故

……11 分

故直线 OR 和直线 AB 平行……12 分 方法二：设 x 轴交⊙C 于 M、N，

AB 交 x 轴于 G，RA，RB 分别交 x 轴于 E、F 则

即

17

于是

故∴AB∥OR 注：这里 等是其所对圆心角弧度数的简记.

18



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