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上海立信会计学院



上海立信会计学院 2010~2011 学年第 2 学期

10 级本科 《微积分 B》期终考试 A 卷
(本场考试属闭卷考试,禁止使用计算器) 共 4 页

班级________________学号________________姓名___________ 题号 得分 一 二 三 四 五 总分

得分

>
一、单项选择题(本大题共 6 小题,每小题 2 分,共 12 分)

1.设 I1 ?

?

2

1

x 2dx , I 2 ? ? x 4dx ,则 I 1 与 I 2 的大小关系是
1

2

(

)

A. I1 ? I 2 2.设 z ? A.

B.不能确定

C. I1 ? I 2

D. I1 ? I 2 ( )

ln( xy ) ,则

?z 等于 ?x
1 2 y ln( xy )
C.
1 y y

1 x ln( xy )

B.

1 2 x ln( xy )

D.

1 2 ln( xy )
( )

3.设 f ( x, y ) 为连续函数,二次积分 A. C.

? dy ?
0

f ( x, y )dx 交换积分次序后等于
x x2
x2

? dx ?
0

1

x x x

f ( x, y )dy f ( x, y )dy

B. D.

? dx ?
0

1

f ( x, y )dy
f ( x, y )dy
( )

?

1

0

dx ?

x

?

1

0

dx ?

x

d2y 4.若函数 y ? cos ? x 是方程 2 ? 9 y ? 0 的解,则 ? 的值等于 dx
1

A. ?1 B. ?2 C. ?3 5.微分方程 y?? ? 5 y? ? 6 y ? 0 的通解为 A. y ? C1e C. y ? e
n ??

D. ?4 (
2x

)

?2 x

? C2e

?3 x

B. y ? C1e D. y ? e
2x

? C2 e

3x

2x

? e3 x

? e3 x
( )

6.设 lim un ? 0 ,则级数 A.一定收敛,其和为零 C. 一定发散

?u
n ?1

?

n

B. 一定收敛,但和不一定为零 D. 可能收敛,也可能发散

得分 1. 设 y ?

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分,把 答案填在题中的横线上)

?

x3

0

1 ? t 2 dt ,则

dy ?( dx

). ).

2 2. 函数 z ? 1 ? x ?

y 2 ? 1 的定义域是(

3.

已 知

? f ( x)dx ? 3
0

1

1

, 则

?? f (
D

x) f ( y ) ? ( d y d x
1 }
). ).

), 其 中

. 0 D ? { ( x , y )? | 0? x ?1 ,y ? x 4. 方程 y?? ? 2 y ? e 的特解形式为( 5. 设幂级数

?

( ?1) n x 的收敛域为( n n ?1
? n

三、计算题(本大题共 7 小题,每小题 9 分,共 63 分,解答应写出推 理,演算步骤)
得分

1. 求积分

?

e3

1

dx . x 1 ? ln x

得分

2. 求积分 ?1 | ln x | dx .
e

e

得分

?2 z 3. 已知求函数 z ? ln( y ? x ? y ) ,求 2 . ?y
2 2

2

得分

4. 求积分 ?? sin x 2 ? y 2 dxdy ,其中 D 为环形域 ? 2 ? x 2 ? y 2 ? 4? 2 。
D

得分

5. 判断级数 ? ( ?1) n
n ?1

?

1 绝对收敛和条件收敛性. n ?1

得分

6. 求方程

dy y sin x 的通解. ? ? dx x x

得分

7. 将函数 f ( x ) ?

1 展开成 ( x ? 4) 的幂级数。 x ? 3x ? 2
2

3

得分

四、应用题(本题满分 6 分,解答应写出推理,演算步骤)
求曲线 y ? ln x 在区间 (2, 6) 内的一条切线,使得该切线与直线 x ? 2, x ? 6 和该曲线所围成的平面图形的面积最小.

得分

五、证明题(本题满分 4 分,解答应写出推理,演算步 骤)
设 y ? f ( x, t ) ,而 t 是由方程 F ( x, y, t ) ? 0 所确定的 x , y 的函数, 其中 f , F 都具有一阶连续偏导数,试证
?f ?F ?f ?F ? ? ? dy ?x ?t ?t ?x ? ?f ?F ?F dx ? ? ?t ?y ?t

4

《微积分 B》期终考试(A 卷)参考解答
一、单项选择题(本大题共 6 小题,每小题 2 分,共 12 分)
1. C 2. C 3. B 4. C 5. B 6.
1 9

D

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分)
1. 3x 2 1 ? x 6 4. Ae x 或 ? e x 2. {( x, y ) || x |? 1,| y |? 1} 5. ( ?1,1] 3.

三、计算题(本大题共 7 小题,共 63 分)
1.

?

e3

1

e3 1 dx ?? d (1 ? ln x ) 1 1 ? ln x x 1 ? ln x
e ? 2 1 ? ln x |1 ? 2 .
3

…………………… +3 …………………… +9 …………………… +3
e

2.

?

e

1 e

| ln x | dx ? ? ?1 ln xdx ? ? ln xdx
e 1

1

e

e ? ? x ln x |1 ? ?1 dx ? x ln x |1 ? ? dx …………………… +6 1 e e 1

1

1 ? 2(e ? ) e

…………………… +9
y x ? y2
2

3.

?z 1 ? ? (1 ? ?y y ? x 2 ? y 2

)

?

1 x ? y2
2

…………………+5

3 ? ?2 z 1 2 2 2 ? ? (x ? y ) ? 2 y ?y 2 2 y ?? . 2 ( x ? y 2 )3

…………………+4

4.

?? sin
D

x 2 ? y 2 dxdy ? ? d? ? (sin r)rdr
0

2?

2?

?

………………+4

2 ? ? [?(r cos r ? sin r) |?? ]d?

2?

? ? ?3? d? ? ?6? 2
0

0 2?

………………+5

5. 由于 而?
n ?1 ?

? (?1)
n ?1

?

n

? 1 1 ?? , n ? 1 n ?1 n ? 1

? 1 1 1 1 1 ? 为 p ? 的 p 级数,所以 ? 发散。又 , 2 n n n n ?1 n ?1

5

从而 ?
n ?1

?

? 1 1 发散,所以 ? ( ?1) n 不是绝对收敛。 n ?1 n ?1 n ?1 ?

…………… +5

但是交错级数 ? ( ?1) n
n ?1

1 满足 n ?1

un ?
?

1 1 ? ? un ?1 , n ?1 n?2
1 条件收敛。 n ?1

lim un ? lim
n ?? n ??

1 ?0 n ?1

所以级数 ? ( ?1) n
n ?1

………………………+9

6.

? P ( x ) dx ? P ( x ) dx y?e ? ( ? Q( x)e ? dx ? C )
?

1 1 ? x dx ( sin x e ? x dx dx ? C ) ?e …………………+6 ? x 1 ? ( ? sin xdx ? C ) x 1 …………………+9 ? ( ? cos x ? C ) x 7. 令 x ? 4 ? t ,即 x ? t ? 4 ,于是 1 1 1 1 1 1 1 ………+2 f ( x) ? 2 ? ? ? ? ? ? x ? 3x ? 2 2 ? t 3 ? t 2 1 ? t 3 1 ? t 2 3 ? ? ? 1 t 1 t 1 1 ? ? ( ) n ? ? ( ) n ? ? ( n ?1 ? n ?1 )t n 2 n ?0 2 3 n ?0 3 3 n ?0 2 ? 1 1 ………+7 ? ? ( n ?1 ? n ?1 )( x ? 4) n 3 n ?0 2 t t 由于 | |? 1 ,且 | |? 1 ,即 ?6 ? x ? ?2 。从而收敛域为 ( ?6, ?2) 。……+9 2 3

四、应用题(满分 6 分)
设所求切线与 y ? ln x 相切于 (c, ln c) ,则切线方程为 1 y ? ln c ? ( x ? c) . c 而切线与直线 x ? 2, x ? 6 和曲线所围成的平面图形的面积 6 1 A ? ? [ ( x ? c) ? ln c ? ln x]dx 2 c …………………+2 4 ? 4( ? 1) ? 4 ln c ? 4 ? 6 ln 6 ? 2 ln 2 . c 由于 dA 16 4 4 ? ? 2 ? ? ? 2 ( 4 ? c) , dc c c c

6

dA ? 0 ,解得驻点 c ? 4 . dc dA dA 当 c ? 4 时, ? 0 ,而当 c ? 4 时, ? 0 . 故 c ? 4 时, A 取得极小值. 由 dc dc 于驻点唯一,故当 c ? 4 时, A 取得最小值. …………………+5 1 此时切线方程为 y ? x ? 1 ? ln 4 . …………………+6 4



五、证明题(本题满分 4 分)
由于 f , F 都具有一阶连续偏导数,所以 f , F 都是可微函数,从而 ?f ?f ? dy ? dx ? dt , ? ?x ?t ? …………………+2 ? ?F ?F ?F ? dx ? dy ? dt ? 0. ?y ?t ? ? ?x
于是

?F ?f ?F ?f ?F ?f ? dx ? ? dy ? (dy ? dx ) ? 0 . ?x ?t ?y ?t ?t ?x

解之得,
?f ?F ?f ?F ? ? ? dy ?x ?t ?t ?x ? ?f ?F ?F dx ? ? ?t ?y ?t

…………………+4

即命题得证.

7



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