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益阳市十五中高一数学期中考试题



益阳市十五中 2016 年高一数学期中考试题
时量:90 分钟 命题:乐在其中 满分:100 分 审核:列兵

座位号

祝大家考试顺利!

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合要求的.


1.cos120°

的值等于( A.

). B.-

考号

1 2

1 2

C. ). C.4

3 2

D.-

3 2

2.已知 AB ? (?1, 3) ,那么 AB 等于( A.2 B.3



D.5 ). D.



3.在 0 到 2?范围内,与角- A.

2? 终边相同的角是( 3
C.

? 6

B.

? 3

2? 3
).

4? 3

班级

4.若 cos ?<0,sin ?>0,则角 ??的终边在(


A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限 ). C.

D.第四象限

5.sin 20° cos 10° +sin 70° cos80° 的值等于( A.

1 4

B.

3 2

6.下列函数中,最小正周期为

? ?的是( 2

1 2

D.

3 4



). C.y=cos3x D.y=cos 4x ).

姓名

线

A.y=sin x

B.y=sin 2x

7.已知向量 m=(4,-2),向量 n=(5,x),且 m∥n,那么 x 等于( A.10


B.5

C.-

5 2

D.-10

8.若 sin ?= A.-3

3 ? 3 10 ,cos ?= ,0<???? 则 tan(?-?)等于( 5 2 10
B.3 C.-

).

1 3
).



D.

1 3

9.函数 y=3cos(2 x+ A.2,-2

? )-1 的最大值、最小值分别是( 3
B.1,-3 C.1,-1

D.2,-4

10.已知△ABC 三个顶点的坐标分别为 A (3,2),B (-1,0), C(0,m),若 AC ⊥ BC , 那么 m 的值是( ).
第 1 页 共 8 页

A.-1,3

B.1,-3

C.-2,1

D.2, -1

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分. 11.已知角 ??的终边经过点 P(3m,-4m), m ? 0 ,则 tan ??的值为 12.已知向量 a=(-3,2),b=(0, 1),那么向量 3b-a 的坐标是 13.已知 0< ? < . . .

? ,且 tan 2

? = ,那么 cos 2 ? 等于
2? 时, 3

14.已知 AB ? 4 , e 是单位向量,当它们之间的夹角为

?

4 3

? AB 在 e 方向上的投影为
15.已知函数



y ? A cos(? x ? ? ) ? B 的一部分图象如右图所
?
2
,则 ? =

示,若 A ? 0, ? ? 0, | ? |?

请 同 学 们 注 意 :请把第一题、第二题答案填入下表格中。 . . . . . .
题号 答案 题号 答案
三、解答题:本大题共 4 小题,共 40 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 10 分) 已知非零向量 m,n 满足|m|=1,且(m-n)·(m+n)= (1)求|n|; (2)当 m·n=

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

1 . 2

1 时,求向量 m 与 n 的夹角 ? 的值. 2

第 2 页 共 8 页

17.(本小题满分 10 分) 已知 tan α、tan β 是方程 x2-4x-2=0 的两个实根, 求 cos2(α+β)+2sin(α+β)cos(α+β)-3sin2(α+β)的值.

密 封 线 内

18.(本小题满分 10 分) 设函数 f(x)=a· b,其中向量 a=(2cos x,1), 不 b=(cos x, 3sin 2x),x∈R. π π? (1)若函数 f(x)=1- 3,且 x∈? ?-3,3 ?,求 x 的值; (2)在给出的坐标系中画出 y=f(x)在区间[0,π]上的 图象,并求函数 y=f(x)的单调增区间, 得 答 题

第 3 页 共 8 页

19. (本小题满分 10 分)

? ? ? ? ? ? ? ? ? (1)求向量 a ? b 的模; ??? ? ? ??? ? ? ( 2 )若 AB ? a, AC ? b, 作三角形 ABC ,点 P 是三角形 ABC 所在平面上任意一点,求 ??? ? ??? ? ??? ? ( PC ? PB) ? PA 的最小值.
已知向量 a 与 b 满足: | a |? 4,| b |? 3,(2 a ?3b) ? (2 a ? b) ? 61;

?

第 4 页 共 8 页

益阳市十五中 2016 年高一数学期中考试题 答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合要求的. 1.cos120° 的值等于( B ). A.

1 2

B.-

1 2

C. ). C.4

3 2

D.-

3 2

2.已知 AB ? (?1, 3) ,那么 AB 等于( A A.2 B.3

D.5

3.在 0 到 2?范围内,与角- A.

2? 终边相同的角是( D ). 3
C.

? 6

B.

? 3

2? 3
).

D.

4? 3

4.若 cos ?<0,sin ?>0,则角 ??的终边在( B A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 C C. ).

D.第四象限

5.sin 20° cos 10° +sin 70° cos80° 的值等于( A.

1 4

B.

3 2

6.下列函数中,最小正周期为 A.y=sin x

? ?的是( D 2

1 2

D.

3 4

). C.y=cos3x D.y=cos 4x ).

B.y=sin 2x

7.已知向量 m=(4,-2),向量 n=(5,x),且 m∥n,那么 x 等于( C A.10 B.5 C.-

5 2

D.-10

8.若 sin ?= A.-3

3 ? 3 10 ,cos ?= ,0<???? 则 tan(?-?)等于( C 5 2 10
B.3 C.-

).

1 3
D ).

D.

1 3

9.函数 y=3cos(2 x+ A.2,-2

? )-1 的最大值、最小值分别是( 3
B.1,-3 C.1,-1

D.2,-4

10.已知△ABC 三个顶点的坐标分别为 A (3,2),B (-1,0), C(0,m),若 AC ⊥ BC , 那么 m 的值是( A.-1,3 A ). B.1,-3 C.-2,1
第 5 页 共 8 页

D.2, -1

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在题中横线上. 11.已知角 ??的终边经过点 P(3m,-4m), m ? 0 ,则 tan ??的值为 12.已知向量 a=(-3,2),b=(0, 1),那么向量 3b-a 的坐标是 13.已知 0< ? <

?

4 3

. . .

(3,1)

? ,且 tan 2

? = ,那么 cos 2 ? 等于
2? 时, 3

14.已知 AB ? 4 , e 是单位向量,当它们之间的夹角为

?

4 3

?

7 25

AB 方向上的投影为
15.已知函数

-2



y ? A cos(? x ? ? ) ? B 的一部分图象如右图所
?
2
,则 ? =

示,若 A ? 0, ? ? 0, | ? |?

?

?
3

三、解答题:本大题共 4 小题,共 40 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 10 分) 已知非零向量 m,n 满足|m|=1,且(m-n)·(m+n)= (1)求|n|; (2)当 m·n=

1 . 2

1 时,求向量 m 与 n 的夹角 ? 的值. 2 1 1 ,即 m2-n2= , 2 2

解:(1)因为(m-n)·(m+n)= 所以|n|2=|m|2- (2)因为 cos

2 1 1 1 =1- = ,故|n|= . 2 2 2 2

? = m·n =
mn

2 ,故 ? =??° . 2

17.(本小题满分 10 分) 已知 tan α、tan β 是方程 x2-4x-2=0 的两个实根, 求 cos2(α+β)+2sin(α+β)cos(α+β)-3sin2(α+β)的值. 解 由已知有 tan α+tan β=4,tan αtan β=-2,………………………………(2 分) tan α+tan β 4 ∴tan(α+β)= = ,………………………………………………………(4 分) 1-tan αtan β 3 cos2(α+β)+2sin(α+β)cos(α+β)-3sin2(α+β) cos2?α+β?+2sin?α+β?cos?α+β?-3sin2?α+β? 1+2tan?α+β?-3tan2?α+β? = = ……(8 分) cos2?α+β?+sin2?α+β? 1+tan2?α+β? 4 16 1+2× -3× 3 9 3 = =- .………………………………………………………………(10 分) 16 5 1+ 9 18.(本小题满分 10 分)

第 6 页 共 8 页

设函数 f(x)=a· b,其中向量 a=(2cos x,1),b=(cos x, 3sin 2x),x∈R. π π? (1)若函数 f(x)=1- 3,且 x∈? ?-3,3 ?,求 x 的值; (2)在给出的坐标系中画出 y=f(x)在区间[0, π]上的图象, 并求函数 y=f(x)的单调增区间.



π? (1)依题设得 f(x)=2cos2x+ 3sin 2x=1+cos 2x+ 3sin 2x=2sin? ?2x+6?+1.

π? π? 3 ? 由 2sin? ?2x+6 ?+1=1- 3,得 sin?2x+6?=- 2 . π π π π 5π π π π ∵- ≤x≤ ,∴- ≤2x+ ≤ ,∴2x+ =- ,即 x=- . 3 3 2 6 6 6 3 4 (2) x y 0 2 π 6 3 π 3 2 π 2 0 2π 3 -1 5π 6 0 π 2

π π π π π 当- +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ(k∈Z),即- +kπ≤x≤ +kπ(k∈Z)时, 2 6 2 3 6 π π ? 函数 y=f(x)单调递增,即函数 y=f(x)的单调增区间为? ?-3+kπ,6+kπ?(k∈Z), 19. 已知向量 a 与 b 满足: | a |? 4,| b |? 3,(2a ? 3b)? (2a ? b) ? 61; (1)求向量 a ? b 的模;

?

?

?

?

?

?

? ?

? ? ??? ? ? ??? ? ? ( 2 )若 AB ? a, AC ? b, 作三角形 ABC ,点 P 是三角形 ABC 所在平面上任意一点,求 ??? ? ??? ? ??? ? ( PC ? PB) ? PA 的最小值. ? ? ? ? 2 ?2 ?? ?? ? (1) ? (2a ? 3b)? (2a ? b) ? 61 ? 4a ? 3b ? 4ab; a?b ? ?6,

第 7 页 共 8 页

? ? ?2 ? ? ?2 ? ? | a ? b |2 ? a ? 2a ? b ? b ? 13,| a ? b |? 13,
(2)设 BC 的中点为 E,AE 的中点为 F, BC ?| a ? b |? 37, AE ?

? ?

1 ? ? 13 | a ? b |? 2 2

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 13 13 ( PC ? PB) ? PA ? 2 PE ? PA ? 2( PF ? FE ) ? ( PF ? FE ) ? 2( PF 2 ? EF 2 ) ? 2( PF 2 ? ) ? ? 16 8
另:建立直角坐标系,将 A 放在坐标原点,B 放在坐标轴上 x 轴上,A(4,0) ,C ( ? ,

3 3 ), 2 2

记 P(x,y) , ( PC ? PB) ? PA ? [(?

??? ? ??? ? ??? ?

3 3 3 5 ? x, ? y) ? (4 ? x, ? y)] ? (? x, ? y) ? 2( x ? ) 2 2 2 8

?2( y ?

3 3 2 13 ) ? 8 8

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