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广东省揭阳市2015年高中毕业班高考第一次模拟考试数学文试题



绝密★启用前

揭阳市 2015 年高中毕业班高考第一次模拟考试

数学(文科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写 在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项

的答案信息点涂黑,如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应 位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上 要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 参考公式:棱锥的体积公式: V ?

1 Sh .其中 S 表示棱锥的底面积,h 表示棱锥的高. 3

导数公式: 若 f ( x) ? sin( x ? 1) ,则 f '( x) ? cos( x ? 1) ; 若 f ( x) ? cos( x ? 1) ,则 f '( x) ? ? sin( x ? 1) . 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.设集合 A ? {4,5,6,8}, B ? {3,5,7,8} ,则 A B 中元素的个数为 A.5 B.6 C.7 D.8 2.已知复数 z ? (?8 ? 7i)(?3i) ,则 z 在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2 2 3.“ a ? b ”是 “ a ? b ”的

A.充分不必要条件 4.双曲线

B.必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0) 的离心率为 a 2 4a 2
B.

A.

5

5 2
1 2

C.2

D.

3

5.已知 a ? (sin ? ,cos ? ), b ? ,若 a ? b ,则 tan ? 的值为 (-2,1 ) A. ?2 B. 2 C. D. ?

1 2

6.已知函数 y ? log a x (a ? 0, a ? 1) 的图象经过点 (2, ) ,则其反函数的解析式为 A. y ? 4
x

1 2

B. y ? log4 x

C. y ? 2

x

D. y ? ( )
50 岁以上 20% 30% 40 -50 岁

1 2

x

7.某单位 200 名职工的年龄分布情况如图 1 示,该单位为了

40 岁以下 50%

解职工每天的睡眠情况,按年龄用分层抽样方法从中抽取 40 名职工进行调查.则应从 40-50 岁的职工中抽取的人数为 A.8 B.12 C.20 D.30 图1

?5 x ? 3 y ? 15, ? 8.不等式组 ? y ? x +1, 表示的平面区域的面积为 ? x ? 5 y ? 3. ?
A. 14 B.5 C. 3 D. 7

9.设 l , m 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,则下列命题为真命题的是 A.若 m // l , m // ? , 则l // ? ; C.若 ? / / ? , l ? ? , m / / ? , 则l ? m ; 10. 对任意的 a 、 b ? R ,定义: min{a, b} = ? 则下列各式中恒成立的个数为 ① min{a, b} ? max{a, b} ? a ? b ③ (min{a, b}) ? (max{a, b}) ? a ? b A. 1 B. 2 ② min{a, b} ? max{a, b} ? a ? b ④ (min{a, b}) ? (max{a, b}) ? a ? b C. 3 D. 4 B.若 m ? ? , l ? m, 则l / /? ; D.若 m ? ? , m / / ? , l ? ? , l / /? , 则? / / ? .

? a, ( a ? b) ? a, ( a ? b) ; max{a, b} = ? . ?b.(a ? b) ?b.(a ? b)

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11-13 题) 11.不等式 x ? 3x ? 10 ? 0 的解集为
2



12.在△ABC 中, ?A、?B、?C 的对边分别为 a、b、c ,若 a ? 3 , ?B ? 2?A , cos A ? 则b ? .
3

6 , 3

13.已知函数 f ( x) ? x 对应的曲线在点 (ak , f (ak ))(k ? N ? ) 处的切线与 x 轴的交点为 (ak ?1 ,0) , 若 a1 ? 1 ,则

f ( 3 a1 ) ? f ( 3 a2 ) ? ? f ( 3 a10 ) ? 2 10 1? ( ) 3



(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中,直线 ? sin(? ? 被圆 ? =4 截得的弦长为 .

?

4 E

)?2
A

F

15.(几何证明选讲选做题)如图 2,BE、CF 分别为钝角 △ABC 的两条高,已知 AE ? 1, AB ? 3, CF ? 4 2, B 则 BC 边的长为 . 图2 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分)

C

已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ? )(? ? 0, x ? R) 的最小正周期为 ? . (1)求 ? 的值; (2)若 f (? ) ?

? 6

? 2 , ? ? (0, ) ,求 cos 2? 的值. 8 3



AQI

200 183 160 126 120 120



17.(本小题满分 12 分) 图 3 是某市今年 1 月份前 30 天空气质量指数(AQI)的趋势图.
指数 196 159 139 134 109 97 80 70 40 36 36 46 75 98 93 69 71 45 75 88 102 66 49 51 48 84 78 124 162

图3
日期

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

(1)根据该图数据在答题卷中完成频率分布表,并在图 4 中补全这些数据的频率分布直方图; (2)当空气质量指数(AQI)小于 100 时,表示空气质量优良.某人随机选择当月(按 30 天 计)某一天到达该市,根据以上信息,能否认为此人到达当天空气质量优良的可能性超过 60%?
(图中纵坐标1/300即

1 ,以此类推) 300

图4

18.(本小题满分14分) 如图 5,已知 ?BCD 中, ?BCD ? 90 , BC ? CD ? 1,

AB ? 6 , AB ⊥平面 BCD , E 、 F 分别是 AC 、 AD 的中点.
(1)求证:平面 BEF ⊥平面 ABC ; (2)设平面 BEF 平面 BCD ? l ,求证 CD / / l ; (3)求四棱锥 B-CDFE 的体积 V. 图5 19. (本小题满分 14 分) 已知 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和, Sn ? nan ? 3n(n ? 1) ( n ? N ),且 a2 ? 12 .
*

(1)求 a1 的值;

(2)求数列 ?an ? 的通项公式; (3)求证:

1 1 ? ? S1 S2

?

1 1 ? . Sn 3

20. (本小题满分 14 分) 已知抛物线 C :x2 ? 2 py( p ? 0) 的焦点为 F , 点 P 是直线 y ? x 与抛物线 C 在第一象限的交 点,且 | PF |? 5 . (1)求抛物线 C 的方程; (2)设直线 l : y ? kx ? m 与抛物线 C 有唯一公共点 M ,且直线 l 与抛物线的准线交于点 Q ,试 探究,在坐标平面内是否存在点 N ,使得以 MQ 为直径的圆恒过点 N ?若存在,求出点 N 的坐标, 若不存在,说明理由. 21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax , g ( x) ? ln x ,其中 a ? R . (1)若函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,当 a ? 1 时,求函数 F ( x) 的极值; (2)若函数 G( x) ? f (sin( x ? 1)) ? g ( x) 在区间 (0,1) 上为减函数,求 a 的取值范围;

(3)证明:

? sin k ? 1 ? ln(n ? 1) .
k ?1

n

1

揭阳市 2015 年高中毕业班高考第一次模拟考试

数学(文科)参考答案及评分说明
一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要 考查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难 度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答 有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数. 一、选择题:BBDAC ABDCB 解析:10. 由定义知⑴、⑶恒成立,⑵⑷不恒成立,正确答案B. 二、填空题: 11. {x | ?2 ? x ? 5} ;12. 2 6 ;13. 3;14. 4 3 ;15. 57 . 解析:13.由 f '( x) ? 3x 得曲线的切线的斜率 k ? 3ak ,故切线方程为 y ? ak ? 3ak ( x ? ak ) ,令
2

2

3

2

y ? 0 得 ak ?1 ?

2 2 a 2 ak ? k ?1 ? ,故数列 {an } 是首项 a1 ? 1 ,公比 q ? 的等比数列,又 3 3 ak 3

f ( 3 a1 ) ? f ( 3 a2 ) ?

? f ( 3 a10 ) ? a1 ? a2 ?

? a10 ?

a1 (1 ? q10 ) ? 3(1 ? q10 ) ,所以 1? q

f ( 3 a1 ) ? f ( 3 a2 ) ? ? f ( 3 a10 ) ?3. 2 10 1? ( ) 3
15.依题意得 BE ? 2 2 ,因△BEA∽△CFA 得

AE BE AB ? ? ,所以 AF ? 2, AC ? 6, AF FC AC

BC ? BE2 ? EC 2 ? 57 .
三、解答题: 16.解:(1)由



?

? π 得 ? =2 ----------------------------------------------------2 分

π 2 π 1 得 sin(2? ? ) ? -----------------------3 分 6 3 6 3 ? ? ? 5π ) , --------------------------------------------4 分 ∵ ? ? (0, ) ,∴ 2? ? ? ( , 8 6 6 12
(2)解法 1:由 f (? ) ? 2sin(2? ? ) ? ∴ cos(2? ? ) ? 1 ? sin (2? ? ) ?
2

π 6

π 6

2 2 -----------------------------------------6 分 3

∴ cos 2? ? cos[(2? ?

?

? cos(2? ? ) cos ? sin(2? ? ) sin ----------------------------------------10 分 6 6 6 6

?

?

) ? ] ----------------------------------------------------8 分 6 6

?

?

?

?

2 2 3 1 1 2 6 ?1 ? ? ? ? ----------------------------------------------------12 分 3 2 3 2 6
π 6 2 π 1 得 sin(2? ? ) ? ,--------------------------3 分 3 6 3

[解法 2:由 f (? ) ? 2sin(2? ? ) ? 即 sin 2? cos

?
6

? cos 2? sin

?
6

?

1 -------------------------------------------------5 分 3

2 ? cos 2? -----------------------①---------------------------------6 分 ? sin 2? ? 3 3
将①代入 sin 2? ? cos 2? ? 1 并整理得 4cos 2? ? 12cos 2? ? 23 ? 0 ,---------------8 分
2 2 2

解得: cos 2? ?

12 ? 24 6 1 ? 2 6 ? ,--------------------②---------------------10 分 72 6

∵ ? ? (0,

?
8

)

∴ 0 ? 2? ?

?
4

,∴ cos 2? ? 0 ,故②中负值不合舍去,----------------11 分

∴ cos 2? ?

1? 2 6 .-----------------------------------------------------------12 分] 6

17.解:(1)

---4 分

----8 分

(2) 由频率分布表知,该市本月前 30 天中空气质量优良的天数为 19,------------------9 分 故此人到达当天空气质量优良的概率:

P?

19 ? 0.63>0.6 -------------------------------------------------------------11 分 30
AB⊥平面 BCD, CD ? 平面 BCD

故可以认为此人到达当天空气质量优良的可能性超过 60% ----------------------------12 分 18.解:(1)证明: 又 BC ? CD , AB

? A B? C D ,----------------1 分

BC ? B , ? CD ? 平面 ABC ,------------------------------2 分

又 E、F 分别是 AC、AD 的中点,∴ EF // CD. ---------------------------------------3 分 ∴EF⊥平面 ABC 又 EF ? 平面 BEF,? 平面 BEF⊥平面 ABC -----------------------------------------4 分 (2) CD // EF, CD ? 平面 BEF , EF ? 平面 BEF

∴ CD / / 平面 BEF ,----------------------------6 分 又 CD ? 平面 BCD,且平面 BEF 平面 BCD ? l

∴ CD / / l .------------------------------------8 分 (3)解法 1:由(1)知 EF / / CD ∴ ?AEF

?ACD ------------------------------9 分


?

S?AEF 1 ? , S?ACD 4

VB ? AEF 1 ? ------------------11 分 VB ? ACD 4

3 3 1 1 1 6 ?V ? VB ? ACD ? VA? BCD ? S?BCD ? AB ? ? ?1?1? 6 ? . ------------------14 分 4 4 4 4 2 8
[解法 2:取 BD 中点 G,连结 FC 和 FG,则 FG//AB,-----9 分 ∵AB⊥平面 BCD,∴FG ⊥平面 BCD,-----------------10 分 由(1)知 EF⊥平面 ABC, ∴ V ? VF ? EBC ? VF ? BCD ?

1 1 S ?EBC ? EF ? S ?BCD ? FG ------12 分 3 3

1 6 1 1 1 6 6 .----------------14 分] ? ? ? ? ? ?1?1? ? 3 4 2 3 2 2 8

19.解:(1)由 S2 ? a1 ? a2 ? 2a2 ? 3 ? 2(2 ?1) 和 a2 ? 12. 可得 a1 ? 6 ,------------------2 分 (2)解法 1:当 n ? 2 时,由 an ? Sn ? Sn?1 得 an ? nan ? 3n(n ?1) ? (n ?1)an?1 ? 3(n ?1)(n ? 2) ,---------------------------------4 分

? (n ?1)an ? (n ?1)an?1 ? 6(n ?1) ? an ? an?1 ? 6(n ? 2, n ? N ? ) ---------------------6 分
∴数列 {an } 是首项 a1 ? 6 ,公差为 6 的等差数列,∴ an ? a1 ? 6(n ? 1) ? 6n -------------8 分 [解法 2:当 n ? 2 时,由 Sn ? nan ? 3n(n ?1) ? n(Sn ? Sn?1 ) ? 3n(n ?1) ------------------4 分 可得 (n ? 1)Sn ? nSn?1 ? 3n(n ? 1) ∴数列 {

?

S n S n ?1 ? ? 3 ,---------------------------------6 分 n n ?1

Sn S } 为首项 1 ? 6 ,公差为 3 的等差数列, n 1

?

Sn ? 6 ? 3(n ? 1) ? 3n ? 3 ,即 Sn ? 3n2 ? 3n . n

∴ an ? 6n ---------------------------------------------------------------------8 分] (3)证明:由(2)知 S n ?

n(a1 ? an ) ? 3n(n ? 1) -----------------------------------10 分 2

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) --------------------------------------------------12 分 Sn 3n(n ? 1) 3 n n ? 1 ? 1 1 ? ? S1 S2 ? 1 1 1 1 1 ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? Sn 3 2 2 3
1 1 1 1 1 )? , ?( ? )] ? (1 ? 3 n ?1 3 n n ?1

命题得证.---------------------------------------------------------------------14 分

20.解:(1)解法 1: ∵点 P 是直线 y ? x 与抛物线 C 在第一象限的交点, ∴设点 P(m, m)(m ? 0) ,----------------------------------------------------------1 分 ∵抛物线 C 的准线为 y ? ?

p p ,由 | PF |? 5 结合抛物线的定义得 m ? ? 5 -------①-----2 分 2 2

又点 P 在抛物线 C 上,∴ m2 ? 2 pm (m ? 0) ? m ? 2 p .----------------------②-----3 分 由①②联立解得 p ? 2 ,∴所求抛物线 C 的方程式为 x2 ? 4 y .-------------------------5 分 [解法 2:∵点 P 是直线 y ? x 与抛物线 C 在第一象限的交点, ∴设点 P(m, m)(m ? 0) ,----------------------------------------------------------1 分

∵抛物线 C 的焦点为 F (0, 即 m ? (m ?
2

p p ) ,由 | PF |? 5 得 m2 ? (m ? )2 ? 5 , 2 2

p 2 ) ? 25 ,-------------------------------------------①-------------2 分 2

又点 P 在抛物线 C 上,∴ m2 ? 2 pm (m ? 0) ? m ? 2 p .--------------②-------------3 分 由①②联立解得 p ? 2 ,∴所求抛物线 C 的方程式为 x2 ? 4 y .-------------------------5 分] (2)解法 1:由抛物线 C 关于 y 轴对称可知,若存在点 N ,使得以 MQ 为直径的圆恒过点 N , 则点 N 必在 y 轴上,设 N (0, n) ,--------------------------------------------------6 分
2 x0 ) ,由直线 l : y ? kx ? m 与抛物线 C 有唯一公共点 M 知,直线 l 与抛物线 C 相切, 4

又设点 M ( x0 , 由y?

1 2 1 1 x 得 y ' ? x ,∴ k ? y ' |x ? x0 ? x0 ,---------------------------------------7 分 4 2 2
2 x0 x ? 0 ( x ? x0 ) ,--------------------------------------------8 分 4 2

∴直线 l 的方程为 y ?

2 x0 ?2 x 2 令 y ? ?1 得 x ? 2 ,∴ Q 点的坐标为 ( 0 ? , ?1) ,-----------------------------9 分 x0 2 x0

? NM ? ( x0 ,

2 x0 x 2 ? n), NQ ? ( 0 ? , ?1 ? n) --------------------------------------10 分 4 2 x0

∵点 N 在以 MQ 为直径的圆上,

∴ NM ? NQ ?

2 x0 x2 x2 ? 2 ? (1 ? n)( 0 ? n) ? (1 ? n) 0 ? n2 ? n ? 2 ? 0 2 4 4

(*) --------------12 分

要使方程 (*) 对 x0 恒成立,必须有 ?

?1 ? n ? 0
2 ?n ? n ? 2 ? 0

解得 n ? 1 ,-------------------------13 分

∴在坐标平面内存在点 N ,使得以 MQ 为直径的圆恒过点 N ,其坐标为 (0,1) .--------14 分 [解法 2:设点 M ( x0 , y0 ) ,由 l : y ? kx ? m 与抛物线 C 有唯一公共点 M 知,直线 l 与抛物线相切,

1 2 1 1 x 得 y ' ? x ,∴ k ? y ' |x ? x0 ? x0 ,-----------------------------------6 分 4 2 2 x0 ( x ? x0 ) ,---------------------------------------------7 分 ∴直线 l 的方程为 y ? y0 ? 2
由y? 令 y ? ?1 得 x ?

2( y0 ? 1) 2( y0 ? 1) ,∴ Q 点的坐标为 ( , ?1) ,-------------------------8 分 x0 x0 2( y0 ? 1) ] ? 0 --------③----10 分 x0

∴以 MQ 为直径的圆方程为: ( y ? y0 )( y ? 1) ? ( x ? x0 )[ x ?

分别令 x0 ? 2 和 x0 ? ?2 ,由点 M 在抛物线 C 上得 y0 ? 1 , 将 x0 , y0 的值分别代入③得: ( y ? 1)( y ? 1) ? ( x ? 2) x ? 0 -------------------------------④

( y ? 1)( y ? 1) ? ( x ? 2) x ? 0 --------------------------------------------------------⑤
④⑤联立解得 ?

? x ? 0, ? x ? 0, 或? ,-----------------------------------------------12 分 ? y ? 1. ? y ? ?1.

∴在坐标平面内若存在点 N ,使得以 MQ 为直径的圆恒过点 N ,则点 N 必为 (0,1) 或 (0, ?1) , 将 (0,1) 的坐标代入③式得, 左边= 2(1 ? y0 ) ? (? x0 )[?

2( y0 ? 1) ] ? 2(1 ? y0 ) ? 2( y0 ?1) ? 0 =右边, x0

将 (0, ?1) 的坐标代入③式得, 左边= (? x0 )[?

2( y0 ? 1) ] ? 2( y0 ? 1) 不恒等于 0,------------------------------------13 分 x0

∴在坐标平面内是存在点 N ,使得以 MQ 为直径的圆恒过点 N ,点 N 坐标为为 (0,1) .--14 分] 21.解:(1)∵当 a ? 1 时, 函数 F ( x) ? x ? ln x , ( x ? 0)

∴ F '( x) ? 1 ?

1 x ?1 ? ,---------------------------------------------------------1 分 x x

令 F '( x) ? 0 得 x ? 1 ,

, ??) 时, F '( x) ? 0 ,即函数 F ( x) 在 (0,1) 单调递减,在 (1, ??) 当 x ? (0,1) 时 F '( x) ? 0 ,当 x ? (1
单调递增,---------------------------------------------------------------3 分 ∴函数 F ( x) 在 x ? 1 处有极小值, ∴ F ( x)极小 ? 1 ? ln1 ? 1 .----------------------------------------------------------4 分 (2)解法 1:∵函数 G( x) ? f (sin( x ?1)) ? g( x) = a sin( x ? 1) ? ln x 在区间 (0,1) 上为减函数 ∴ G '( x) ? a cos( x ? 1) ? 设 H ( x) ?

1 1 ? 0 在 (0,1) 上恒成立 ? a ? 在 (0,1) 上恒成立,----5 分 x x cos( x ? 1)

1 ? ? cos ? x ? 1? ? x sin ? x ? 1? ? x sin ? x ? 1? ? cos ? x ? 1? ,则 H '( x) ? ---7 分 ? x cos( x ? 1) x2 cos2 ( x ? 1) x2 cos2 ( x ?1)

当 x ? ? 0,1? 时, sin ? x ?1? ? 0 , cos ? x ?1? ? 0 所以 H '( x) ? 0 在 ? 0,1? 上恒成立,即函数 H ( x ) 在 ? 0,1? 上单调递减,-------------------8 分 ∴当 x ? ? 0,1? 时, H ( x) ? H (1) ? 1 , ∴ a ? 1 .-----------------------------------------------------------------------9 分 [解法 2:∵函数 G( x) ? f (sin( x ? 1)) ? g ( x) = a sin( x ? 1) ? ln x 在区间 (0,1) 上为减函数 ∴对 ?x ? (0,1) , G '( x) ? a cos( x ? 1) ? ∵ x ? (0,1) ,∴ cos( x ? 1) ? 0 , 当 a ? 0 时,( ? )式显然成立;----------------------------------------------------6 分 当 a ? 0 时,( ? )式 ?

1 ? 0 -----------( ? )恒成立,--------------5 分 x

1 ? x cos( x ? 1) 在 (0,1) 上恒成立, a

设 h( x) ? x cos( x ? 1) ,易知 h( x) 在 (0,1) 上单调递增,-------------------------------7 分 ∴ h( x) ? h(1) ? 1, ∴

1 ? 1 ? 0 ? a ? 1 ,------------------------------------------------------------8 分 a

综上得 a ? (??,1] .-------------------------------------------------------------9 分] (3)由(2)知,当 a ? 1 时, G( x) ? sin( x ? 1) ? ln x ? G(1) ? 0 ,

1 ? sin( x ? 1) ? ln x ? sin(1 ? x) ? ln ,------------------------②----------------10 分 x

∵对 ?k ? N 有 在②式中令 x ?

?

k ? (0,1) , k ?1

k k 1 k ?1 ) ? sin ? ln 得 sin(1 ? ,--------------------------12 分 k ?1 k ?1 k ?1 k 1 1 1 3 n ?1 ? ln 2 ? ln ? ? ln ∴ sin ? sin ? ? sin 2 3 n ?1 2 n 3 4 n ?1 ? ln(2 ? ? ? ) ? ln(n ? 1) , 2 3 n


? sin k ? 1 ? ln(n ? 1) .-------------------------------------------------------14 分
k ?1

n

1



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