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直线和平面垂直[1]


直线和平面垂直的 判 定

预备知识 1.异面直线所成的角如何定义?

2.两条异面直线垂直的定义是什么? 3.

b ? a? ? ? b ? a` a // a`?

(1)在阳光下,旗杆和它在地面上的影子所成 的角度是多少?

(2)随着时间的改变,影子的位置会移动,旗杆 与影子所成角是否发生改变?

(3)旗杆AB与地面上任意一条不过点B的直 线

一.直线和平面垂直的定义

如果一条直线 l 和一个平面?内的任意一条直线都 垂直,我们就说直线 l和平面 ?互相垂直,记作 l ? ? .
直线 l 叫做平面? 的垂线,平面? 叫做直线 l 的垂面.

它们唯一的公共点即交点叫做垂足.

a

l ? ? ? l ? m, 任意 m ? ? .

问题 直线和平面垂直如何判定?

1.利用直线与平面垂直定义能检验我们的旗 杆竖直地面吗? 2.如果一条直线和一个平面内的一条直线 垂直,此直线是否和平面垂直? 3.如果一条直线和一个平面内的两条 直线垂直,此直线是否和平面垂直?

直线与平面垂直判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都 垂直,则该直线与此平面垂直.

? ? ? a ?? ??l ?? ? b ?? ? a ?b ? A ?
判定定理

l?a l ?b

l

b

?

A

a

线线垂直

线面垂直

例1 求证:如果两条平行直线中的一条垂直 于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面

例2 求证:过一点和已知平面垂直的直线 只有一条。

C 例3:已知 PA ? 平面 ABC , AB 是⊙O的直径, PC ? CB . 是⊙O上的任一点,求证:
PC ? BC

(2)平面的斜线、斜足、点到平面的斜线段 一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直 时,这条直线叫做平面的斜线,斜线和平面的交 点叫斜足.从平面外一点向平面引斜线,这点与斜 足间的线段叫做这点到这个平面的斜线段.
平面的斜线 P 点P到平面的斜线段 Q ? 斜足

(3)斜线在平面内的射影、斜线段在平面内 的射影. 从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线,过垂足 和斜足的直线叫做斜线在平面内的射影 垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在 这个平面内的射影.
P

?

P

Q

斜线段在平面内的射影 斜线在平面内的射影

例题4:在正方体中,ABCD ? A 1B 1C 1D 1
M为 CC1 的中点,AC交BD于点O, 求证: AO 1 ? 平面MBD.

练习题
1、在空间四边形SABC中, SA?平面ABC, ?ABC = 90?, AN?SB于N, AM?SC于M。 求证: ①AN?BC; ②SC?平面ANM

2、在三棱锥A-BCD中,BC=AC, AD=BD, 作BE⊥CD,E为垂足,作AH⊥BE 于H.求证:AH⊥平面BCD.


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