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湖南省醴陵市第二中学2014-2015学年高二下学期数学(文)练习题(5)



高二数学(文)练习题(5)
一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1、已知椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1 ,则这个椭圆的焦距为( A 23 32
B.2 C. 3 5

)

A.6

D.

6 5

2、下列命题为真命题的是( B ) A.若 a ? b ,则 ac ? bc C.若 | x ? 3|? 1 ,则 2 ? x ? 4 3、 若椭圆
2 2 B.若 a ? b ? 0 ,则 a ? b

D.若 2 ? x ? 2 ,则 x ? 4
2

5 ?1 x2 y 2 , 则称该椭圆为 “优美椭圆” , ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e 为黄金分割比 2 a b 2
x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 中 a 2 b2

该类椭圆具有性质 b2 ? ac ( c 为该椭圆的半焦距).那么在双曲线 具有类似性质的“优美双曲线”的离心率为 ( B )

5 ?1 2 1 ? 4、 p : ? ? 30 是 q : sin ? ? 成立的 2
A. B. A 必要不充分条件

5 ?1 2

C.

5 2

D. 5 ( B ) C 充要条件 D 非充分非必要条件

B 充分不必要条件

5、过点 (0, 2) 与抛物线 y 2 ? 8x 只有一个公共点的直线有( C ) A 1条 B 2条 ) C 3条 D 无数多条

6、下列求导运算正确的是( B

1 ' 1 A、( ) ? 2 x x

B、 (log 2 x)' ?

1 x ln 2

C、 (cos x)' ? sin x

D、 ( x 2 ? 4)' ? 2 x ? 4
)

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 m 的取值范围是( D 7、如果方程 4?m m?3
A 3? m? 4 B

m?

7 2

C

3? m?

7 2
y

D

7 ?m?4 2
) y

8、下图是导函数 y ? f '( x) 的图像,则原函数 y ? f ( x) 的图像可能为( C y’ 0 (第 8 题) x y 0 A x y 0 B x

0

x C

0 D

x

二 、填空题(本大题共 7 个小题,每小题 5 分,共 35 分)

2 9、若 p: ?x0 ? R, x0 ? 2x0 ? 2 ? 0 ,则 ? p 为___ ?x ? R, x2 ? 2x ? 2 ? 0 ___________.

10、已知某生产厂家的年利润 y (单位:万元)与年产量 x (单位:万件)的函数关系式为

1 y ? ? x 3 ? 81x ? 234 , 则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 3
2

9

.

11、一个物体的运动方程为 s ? 1 ? t ? t 其中 s 的单位是米, t 的单位是秒,那么物体在 3 秒 末的瞬时速度是___5____m/s 2 2 12、一条渐近线方程为 y=x,且过点(2,4)的双曲线标准方程为__ y -x =12 _______。 13、椭圆

x2 ? y 2 ? 1被直线 y ? x ? 1 截得的弦长为 2
1 3

4 2 3



14、函数 f ( x) ? x3 ? x 2 ? x 的单调减区间是_____ ( ? ,1) _____________

15、已知点 A 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的右顶点,过点 A 且垂直于 x 轴的直线与双曲线的两条渐 a 2 b2

近线交于 B、 C 两点, 若△BOC 为锐角三角形,则离心率的取值范围为____ (1, 2 ) _________. 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 75 分,解答应写出文字说明及演算步骤) 16、 (本题 12 分)已知函数 f ( x) ? x3 ? 7 x ? 1 。 (1)求在 x ? ?1 处的切线方程; 解:依题意得, f '( x) ? 2 x2 ? 7 (2)求该切线与坐标轴所围成的三角形面积。

又 切点为(-1,7),切线斜率为-5 ? f ' (? 1 )? 2? 7? ? 5? f (? 1 )? 7 ?

?切线方程为:y ? 7 ? ? 5 x ( ? 1即 ) ,y=-5x+2
当 x=0 时,y=2;当;当 y=0 时,x= 2
5 1 2 2 ? S ? ? 2? ? 2 5 5

17、 (本题 12 分)已知椭圆中心在原点,焦点在 x 轴上,长轴长等于 12,离心率为

1 . 3
y

(Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)过椭圆左顶点作直线 l,若动点 M 到椭圆右焦点的距离比它到直线 l 的距离小 4,求点 M 的轨迹方程. H 【解】 (Ⅰ)设椭圆的半长轴长为 a,半短轴长为 b,半焦距为 c. 由已知,2a=12,所以 a=6. 于是 b2=a2-c2=36-4=32. 因为椭圆的焦点在 x 轴上,故椭圆的标准方程是 又

M

c 1 = ,即 a=3c,所以 3c=6,即 c=2. l a 3
F1 O F2 x

x y + = 1. 36 32

2

2

(Ⅱ)法一:因为 a=6,所以直线 l 的方程为 x=-6,又 c=2,所以右焦点为 F2(2,0). 过点 M 作直线 l 的垂线,垂足为 H,由题设,|MF2|=|MH|-4. 设点 M(x,y),则 (x - 2)2 + y 2 = (x + 6) - 4 = x + 2 . 两边平方,得 (x - 2) + y = (x + 2) ,即 y2=8x.
2 2 2

故点 M 的轨迹方程是 y2=8x.

法二:因为 a=6,c=2,所以 a-c=4,从而椭圆左焦点 F1 到直线 l 的距离为 4.

由题设,动点 M 到椭圆右焦点的距离与它到直线 x=-2 的距离相等,所以点 M 的轨迹是 以右焦点为 F2(2,0)为焦点,直线 x=-2 为准线的抛物线. 显然抛物线的顶点在坐标原点,且 p=|F1F2|=4,故点 M 的轨迹方程是 y2=8x 18、 (本题 12 分)已知 p : 2 ? 条件,求实数 m 的取值范围

x ? 3 , q : x2 ? 2x ? 1 ? m2 ? 0(m ? 0) .若 p 是 q 的必要非充分 2

19、 (本题 13 分)在边长为 60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形,再把它的边沿虚 线折起(如图),做成一个无盖的方底箱子,箱底的边长是多少时,箱底的容积最大?最大容 积是多少? 解:设箱底边长为 xcm,则箱高 h ?
V ( x) ? x 2 h ?
V ?( x) ? 60 x ?
x

60 ? x cm,得箱子容积 2

x 60 x

x

60x 2 ? x 3 2
3x 2
2

(0 ? x ? 60) .

60

(0 ? x ? 60)
3 x 2 =0,解得 2



V ?( x) ? 60 x ?

x=0(舍去) ,x=40, 并求得

V(40)=16 000

由题意可知,当 x 过小(接近 0)或过大(接近 60)时,箱子容积很小,因此,16 000 是最大值, 3 答:当 x=40cm 时,箱子容积最大,最大容积是 16 000cm 20、 (本题 13 分)已知椭圆与双曲线 2 x2 ? 2 y 2 ? 1 共焦点,且过( 2, 0 ) (1)求椭圆的标准方程; (2)求斜率为 2 的一组平行弦的中点轨迹方程。 解:(1)依题意得,将椭圆方程标准化为

x2 y 2 ? ? 1 ,则 c=1 1 1 2 2
x2 y2 ? 2 ?1 2 a a ?1

? 椭圆与双曲线共焦点 ?设椭圆方程为
?椭圆过( 2,0)

?

2 0 x2 2 ? ? 1 ,即 a ? 2 ? 椭圆方程为 ? y2 ? 1 a2 a2 ?1 2

(2)依题意,设斜率为 2 的弦所在直线的方程为 y=2x+b,弦的中点坐标为(x,y) ,则 y=2x+b

x2 ? y2 ? 1 2
即x?

得 9x2+8xb+2b2—2=0

? x1 ? x2 ?

?8b 9

, y1 ? y2 ?

2b 9

?4b 9

b 1 , y ? 两式消掉 b 得 y= ? x 9 4

令△=0,64b2-36(2b2-2)=0,即 b=±3,所以斜率为 2,且与椭圆相切的直线方程为 y=2x±3 即当 x= ?

4 4 4 时斜率为 2 的直线与椭圆相切.所以平行弦得中点轨迹方程为: y= ?1 x ( ? ? x ? ) 3 3 3 4
1 3 1 2 x ? x ? cx ? d 有极值. 3 2 1 2 d ? 2d 恒成立,求 d 的取值范 6

21、 (本题 13 分)已知函数 f ( x) ? (1)求 c 的取值范围;

(2)若 f ( x ) 在 x ? 2 处取得极值,且当 x ? 0 时, f ( x) ? 围.

f ( x) ?
解:(1)∵

1 3 1 2 x ? x ? cx ? d 2 ? 3 2 ,∴ f ( x) ? x ? x ? c

要使 f ( x ) 有极值,则方

1 c? 2 ? 4. 程 f ( x) ? x ? x ? c ? 0 有两个实数解, 从而△= 1 ? 4c ? 0 ,∴ ? (2)∵ f ( x ) 在 x ? 2 处取得极值, ∴ f (2) ? 4 ? 2 ? c ? 0 ,∴ c ? ?2 . 1 1 f ( x) ? x 3 ? x 2 ? 2 x ? d 2 ? 3 2 ∴ ,∵ f ( x) ? x ? x ? 2 ? ( x ? 2)( x ? 1) , ∴当 x ? (??, ?1] 时, f ?( x) ? 0 ,函数单调递增,当 x ? (?1, 2] 时, f ?( x) ? 0 ,函数单调递减.

7 ?d ∴ x ? 0 时, f ( x ) 在 x ? ?1 处取得最大值 6 , 1 7 1 f ( x ) ? d 2 ? 2d ? d ? d 2 ? 2d 7 ( ) 6 6 ∵ x ? 0 时, 恒成立, ∴6 , 即 (d ? ∴ d ? ?7 或 d ? 1 ,即 d 的取值范围是 (??, ?7) ? (1, ??) .

1 d ) ? 0 ? ,



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