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高考数学艺体生百日突围专题(06)函数的图象(基础篇,含答案)



《2016 年高考备考艺体生文化课精选好题突围系列》

专题 6

函数的图象

函数图象的辨识系
12
12

【背一背基础知识】熟练掌握常见初等函数的函数图像:
10
10

1. 一次函数的图像
8 6

8

6

y=kx+b(k>0)
4 2

4

2

y=kx+b(k<0)
5 10 15

12
20 15 10 5

2

10

5

5

10

2 10

15

20

2

4

单调性: k ? 0 时,单调递增; k ? 0 时,单调递减.
8
4
6

2.二次函数 f ? x ? ? ax ? bx ? c ? a ? 0? 的图像
6
6

2

8

10

4

8

12

2

10

5

5

10

15

2

4

6
6

二次函数 f ? x ? ? ax ? bx ? c ? a ? 0? 的图像
8

2

4

10

2

5

5

10

15

2

4

二次函数简单性质

f ? x ? ? ax2 ? bx ? c ? a ? 0?

6

a?0
8

a?0

10

12

14

定义域 对称轴

? ?? , ? ??
x?? b 2a

顶点坐标

? b 4ac ? b 2 ? , ?? ? 2a 4a ? ? 12
? 4ac ? b 2 ? , ? ?? ? ? 4a ?

值域
12

10

? 4ac ? b 2 ? ?? , ? ? 4a ? ?
b ? ? ? ?? , ? ? 递增; 2a ? ? ? b ? , ? ? ? 递减 ?? ? 2a ?

10

b ? ? ? ?? , ? ? 递减; 2a ? ? ? b ? , ? ? ? 递增 ?? ? 2a ?

8

单调区间
8

6

6

3.反比例函数
4

4

2

2

5

5

10

15

20

15

10

2

5

5

10

4

2

6 y 随 x 的增大而减小; 当 k ? 0 时, 图象分别位于第一、 三象限, 同一个象限内, 当 k ? 0 时, 4

图象分别位于二、四象限,同一个象限内 , y 随 x 的增大而增大. 8 4.指数函数
10

6

a
图象

a ?1
12

8

0 ? a ?1

y
10

y 1

1 o x
12

o

x

逆时针旋转,底数越来越大

逆时针旋转,底数越来越大

性质

定义域: R 值域: ? 0, ??? 恒过点 ? 0,1? ,即 x ? 0 时, y ? 1 在 R 上是增函数 5.对数函数 在 R 上是减函数

a
图 象

a ?1

0 ? a ?1

y o x

y o 1 x

1

逆时针旋转,底数越来越小 性 质 值域: R 恒过点 ?1,0 ? ,即当 x ? 1 时, y ? 0 定义域: ? 0, ???

逆时针旋转,底数越来越小

x ? ? 0,1? 时 y ? 0 , x ? ?1, ?? ? 时 y ? 0
在 ? 0, ??? 上是增函数

x ? ? 0,1? 时

y ? 0 , x ? ?1, ?? ? 时 y ? 0

在 ? 0, ??? 上是减函数

6.对角(号)函数 f ? x ? ? ax ?

b ? a ? 0, b ? 0 ? x

当 x ? 0 时, ax ?

b b b b (当且仅当 ax ? 即 x ? 时取等号) ,由此可得函数 ?2 x x a a

y ? ax ?
当x ?

b a ? 0, b ? 0, x ? 0? (a>0,b>0,x∈R+)的性质: ? x

b b b 时,函数 f ? x ? ? ax ? ? a ? 0, b ? 0, x ? 0 ? 有最小值 2 ,特别地,当 x a a b b (a>0,b>0)在区间(0, )上是减函数, x a

a ? b ? 1 时函数有最小值 2.函数 y ? ax ?

在区间(

b ,+∞)上是增函数. a
b b (a>0,b>0)是奇函数,所以可得函数 y ? ax ? (a>0,b>0,x∈R ) x x

因为函数 y ? ax ? 的性质: 当x??

b b b 时,函数 y ? ax ? (a>0,b>0,x∈R )有最大值- 2 ,特别地,当 a=b=1 x a a b b (a>0,b>0)在区间(-∞,)上是增函数,在区 x a

时函数有最大值-2.函数 y ? ax ?

间(-

b ,0)上是减函数. a

7.幂函数的图像与性质

当 ? ? 0 时,幂函数 y ? x? 有下列性质: (1)图象都通过点 (0,0), (1,1) ; (2)在第一象限内都是增函数; (3)在第一象限内, ? ? 1 时,图象是向下凸的; 0 ? ? ? 1时,图象是向上凸的; (4)在第一象限内,过点 (1,1) 后,图象向右上方无限伸展. 当 ? ? 0 时,幂函数 y ? x? 有下列性质: (1)图象都通过点 (1,1) ; (2)在第一象限内都是减函数,图象是向下凸的; (3)在第一象限内,图象向上与 y 轴无限地接近;向右无限地与 x 轴无限地接近; (4)在第一象限内,过点 (1,1) 后, ? 越大,图象下落的速度越快. 【讲一讲基本技能】 1.必备技能:函数图象的识辨可从以下方面入手: (1)从函数的定义域,判断图象的左右位置; (2)从函数的值域,判断图象的上下位置; (3)从函数的单调性,判断图象的变化趋势; (4)从函数的奇偶性,判断图象的对称性; (5)从函数的周期性,判断图象的循环往复. 利用上述方法,排除、筛选错误与正确的选项. 2.典型例题: 例 1 函数 y ? 2 ? x 的图象大致是
x 2

A 【答案】A

B

C

D

考点:函数的图像. 例 2.已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c, 其中abc ? 0 ,则函数图像可能是(
2

) y

y

y

y

O A 【答案】C

x

O B

x

O C

x

O D

x

【解析】 : a ? 0 时,开口向下,因为 abc ? 0 ,所以 b, c 同号,对于 A、由图象可知 c ? 0 , 则 b ? 0 ,∴ ?

b b ? 0 ,选项 A 不符合题意, 由 B 图可知 c ? 0 ,故 b ? 0 ,∴ ? ? 0, 2a 2a

即函数对称轴在 y 轴左侧,选项 B 不符合题意,当 a ? 0 时,因为 abc ? 0 ,所以 b, c 异号, 由 C,D 图可知 c ? 0 ,故 b ? 0 ,∴ ? 意,C 符合.故选 C. 【练一练趁热打铁】 1. 函数 y ? 2
x

b ? 0 ,即函数对称轴在 y 轴左侧,选项 D 不符合题 2a

? x 2 ( x ? R) 的图象大致为(



【答案】A

【解析】首先注意到函数 y ? 2
5

x

? x 2 ( x ? R) 是偶函数,所以其图象关于 y 轴对称,因此
2

排除 B 和 D,再当 x=5 时,y=2 -5 =7>0,故排除 C,从而选 A. 2.已知 f ( x) ? ( x ? a)( x ? b)(a ? b) 的图象如图所示 ,则函数 g ( x) ? a x ? b 的图像是 ( )

【答案】A 【解析】

函数图象的变换
【背一背基础知识】 1.平移变换 (1)水平平移:函数 y ? f ( x ? a) 的图像可以把函数 y ? f ( x) 的图像沿 x 轴方向向左

(a ? 0) 或向右 (a ? 0) 平移 | a | 个单位即可得到;
(2)竖直平移:函数 y ? f ( x) ? a 的图像可以把函数 y ? f ( x) 的图像沿 x 轴方向向上

(a ? 0) 或向下 (a ? 0) 平移 | a | 个单位即可得到.

2.对称变换 (1) 函数 y ? f (? x) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于 y 轴对称即可得到; (2)函数 y ? ? f ( x) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于 x 轴对称即可得到; (3)函数 y ? ? f (? x) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于原点对称即可得到; (4)函数 y ? f ?1 ( x) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 y ? x 对称得到. 3.翻折变换: (1) 函数 y ?| f ( x) | 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像的 x 轴下方部分沿 x 轴 翻折到 x 轴上方,去掉原 x 轴下方部分,并保留 y ? f ( x) 的 x 轴上方部分即可得到; (2)函数 y ? f (| x |) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像右边沿 y 轴翻折到 y 轴左边替代 原 y 轴左边部分并保留 y ? f ( x) 在 y 轴右边部分即可得到.

4.伸缩变换: (1)函数 y ? af ( x) (a ? 0) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像中的每一点横 坐标不变纵坐标伸长 (a ? 1) 或压缩( 0 ? a ? 1 )为原来的 a 倍得到; (2)函数 y ? f (ax) (a ? 0) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像中的每一点纵坐标不变横 坐标伸长 (a ? 1) 或压缩( 0 ? a ? 1 )为原来的

1 倍得到. a

5. 具有对称性的抽象函数: ①函数 f ?x ? 对于定义域中的任意 x ,都有 f ?a ? x ? ? f ?b ? x ? , 则 f ?x ? 是关于直线 y ?

a?b 对称的函数, ②函数 f ?x ? 对于定义域中的任意 x ,都有 2

?a?b ? f ?a ? x ? ? ? f ?b ? x ? ,则 f ?x ? 是关于点 ? ,0 ? 对称的函数. ? 2 ?
【讲一讲基本技能】 1.必备技能: 用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换, 以及确 定怎样的变换, 即根据函数解析式之间的关系, 或利用基本初等函数的图象去选择未知函数 的图象.注意下面两个区别:(1)一个函数的图象关于原点对称与两个函数的图象关于原点

对称不同,前者是自身对称,且为奇函数,后者是两个不同的函数对称.(2)一个函数的图 象关于 y 轴对称与两个函数的图象关于 y 轴对称也不同,前者也是自身对称,且为偶函数, 后者也是两个不同函数的对称关系. 2.典型例题: 例 1 函数 f ( x) ? x a 满足 f (2) ? 4 ,那么函数 g ( x) ? loga ( x ? 1) 的图象大致为( )

【答案】C 【解析】

考点:已知函数解析式作函数图像。一般是从函数的单调性、奇偶性、对称性、特殊变量对 应的函数值等方面判断,对于常见的简单函数可以运用图像平移去作图. 例 2 函数 f ( x) ? 1 ? log 2 x 与 g ? x ? ? 2
1? x

在同一直角坐标系下的图象大致是(

).

分析:根据函数 f ( x) ? 1 ? log2 x 与 g ? x ? ? 2

1? x

解析式,分析他们与同底的指数函数、对

数函数的图象之间的关系, (即如何变换得到) ,分析其经过的特殊点,即可用排除法得到答 案. 在同一个坐标系中判断两个函数的图象, 可根据函数图象上的特征点以及函数的单调性 来判断, 而排除法是解决这类题目较常用的方法. 排除法是根据函数的性质 (包括: 定义域、 值域、单调性、奇偶性、对称性、周期性、特殊点和特殊点的函数值) ,有些题也可根据图 象变换的方法画函数图象. 解析: f ( x) ? 1 ? log2 x 的图象由函数 f ( x) ? log2 x 的图象向上平移一个单位而得到,所 以函数图象经过 ?1,1? 点,且为单调增函数,显然,A 项中单调递增的函数经过点 ?1,0 ? ,而

不是 ?1,1? ,故不满足;函数 g ? x ? ? 21? x ? 2 ? ? ? ,其图象经过 ? 0, 2 ? 点,且为单调减函 数,B 项中单调递减的函数与 y 轴的交点坐标为 ? 0,1? ,故不满足;D 项中两个函数都是单 调递增的,故也不满足.综上所述,排除 A,B,D.故选 C. 【练一练趁热打铁】 1.已知定义在区间 [0, 2] 上的函数 y ? f ( x) 的图象如右图所示,则 y ? ? f (2 ? x) 的 图象为( )

?1? ?2?

x

【答案】B 【解析】根据函数的对称性知识得:函数 y ? f ( x) 的图象与函数 y ? ? f (2 ? x) 关于点(1,0) 对称,故选 B. 2.函数 y ? log 2 x 的图象大致是( )

【答案】A 【 解析】

选择题(12*5=60 分) 1. 函数 f ( x) ? log a x ?1(0 ? a ? 1) 的图像大致为( )

【答案】A 【解析】

2. 已知函数 f ( x ) 的图象如图所示,则 f ( x ) 的解析式可以是(

)

A. f ( x ) ? 【答案】A

ln x x

B. f ( x ) ?

ex x

C.f(x)= f ( x) ?

1 ?1 x2

D. f ( x) ? x ?

1 x

【解析】由函数图象可知,函数 f ( x ) 为奇函数,应排除 B、C;若函数图象为 f ( x) ? x ? 则 x→+∞时, f ( x ) →+∞,排除 D.故选 A. 3. 函数 y ?

1 , x

2x ?1 的图像可能是( x ?1

)

y
2

y
2

y

y

-1

O

x

-1

O

x

-1

O

x
-2

-1

O

x

A

B

C

D

【答案】B 【解析】 y ?

2x ?1 2x ?1 1 1 ? 2? ,因此函数 y ? 的图像,可由函数 y ? ? 的图像向 x ?1 x ?1 x ?1 x
?x ? 1
2 ?x ? 1

左平移 1 单位,再向上平移 2 个单位,故选B. 4. 已知 f ( x) ? ?

x ? [?1,0) x ? [0,1]

,则下列函数的图象错误 的是( ..

).

y y

y

y

1

2

x

-1

1

x

-1

1

x -1

1

x

A. f ( x ? 1) 的图象 【答案】D 【解析】

B. f (? x) 的图象

C. f ( x ) 的图象

D. f ( x) 的图象

5. 如图,长方形 ABCD 的边 AB ? 2 , BC ? 1 , O 是 AB 的中点,点 P 沿着边 BC , CD 与 DA 运动,记 ?BOP ? x .将动 P 到 A 、 B 两点距离之和表示为 x 的函数 f ( x ) ,则

y ? f ( x) 的图像大致为(
D P

) C

x A
y

O
y

B
y y

2

2

2

2

? 4

? 2

3? 4

x

?

? 4

? 2

3? 4

x

?

? 4

? 2

3? 4

x

?

? 4

? 2

3? 4

x

?

(A)

(B)

(C)

(D)

【答案】B 【解析】

【考点定位】函数的图象和性质. 【名师点睛】 本题考查函数的图像与性质, 表面看觉得很难, 但是如果认真审题, 读懂题意, 通过点 P 的运动轨迹来判断图像的对称性以及特殊点函数值的比较,也可较容易找到答案,

属于中档题. 6. 函数 f ( x) ? 2 x ? tan x 在 ( ?

? ?

, ) 上的图象大致为( 2 2

)

A 【答案】 D

B

C

D

【解析】 f ( x) ? 2 x ? tan x 是奇函数,其图象关于原点成中心对称.又

f ( ) ? ? tan ? ? 1 ? 0 ,故选 D . 4 2 4 2
7. 下列四个图中,函数 y ?

?

?

?

?

10 ln x ? 1 x ?1

的图象可能是

【答案】C. 【解析】

8. 已知 f ? x ? ?

1 2 x ? cos x , f ?? x ? 为 f ?x ? 的导函数,则 f ?? x ? 的图象是 4

【答案】A 【解析】函数 f ? x ? ?

x 1 2 x ? cos x , f ?? x ? ? ? sin x , 2 4

f ??? x ? ?

?x ?x ? ? sin ?? x ? ? ?? ? sin x ? ? ? f ??x ? , 2 ?2 ?

故 f ?? x ? 为奇函数,故函数图象关于原点对称,排除 B, D ,

? ? 1 ?? ? 1 ? f ?? ? ? ? ? sin ? ? ? 0 ,故 C 不对,答案为 A. 6 12 2 ?6? 2 6
?3x , ( x ? 1), ? 9. 已知函数 f ( x) ? ?log x, ( x ? 1), 则 y ? f (1 ? x) 的大致图象是 1 ? ? 3





【答案】C
?3x , ( x ? 1), ? 【解析】因为, f ( x) ? ?log x, ( x ? 1), ,所以, 1 ? ? 3

? 1 x ?1 ?31? x , ( x ? 0), ( x ? 0), ?( ) , ? 故 选 C. y ? f (1 ? x) ? ?log (1 ? x), ( x ? ?) ? ? 3 1 log 1 [?( x ? 1)], ( x ? ?) ? ? ? 3 ? 3
10. 已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c, 其中abc ? 0 ,则函数图像可能是(
2



【答案】C

【解析】 :

11. 若函数 y ? a x ? b 的图象如图,则函数 y ?

1 ? b ? 1 的图象为( x?a



【答案】C 【解析】由图可知 0 ? a ? 1, ?2 ? b ? ?1 ,又函数 y ?

1 1 ? b ? 1 的图象是由 y ? 向左 x?a x

平移 a 个单位,向下平移 | b ? 1| 个单位而得到的,结合四个选项可知 C 正确. 12. 函数 f ? x ? ? log2 x , g ? x ? ? ?x ? 2, 则f ? x ? ? g ? x ? 的图象只可能是(
2



【答案】C
2 【解析】试题分析:要判断 f ( x) g ( x) ? ? x ? 2 log 2 x 的图象,我们可先根据函数奇偶

?

?

性的性质,结合 f ? x ? 与 g ? x ? 都是偶函数,则 f ( x) g ( x) 也为偶函数, 其函数图象关于 y 轴 对称,排除 A,D;再由函数的值域排除 B,即可得到答案.要判断复合函数的图象,我们可 以利用函数的性质,定义域、值域,及根据特殊值是特殊点代入排除错误答案是选择题常用

的技巧,希望大家熟练掌握.
2 试题解析:因为 f ? x ? 与 g ? x ? 都是偶函数,所以 f ( x) g ( x) ? ? x ? 2 log 2 x 是偶函数,

?

?

图像关于 y 轴对称,又因为二次函数开口向下,当 x ?? 时,函数值小于零,故选C. (一) 选择题(4*5=20 分) 13.已知函数 f ? x ? 的图象如图所示,则函数 g ? x ? ? log
2

f ? x ? 的定义域是________.

【答案】 ? 2,8? 【解析】

14. 在平面直角坐标系 xOy 中,若直线 y ? 2a 与函数 y ?| x ? a | ?1 的图像只有一个交 点,则 a 的值为 【答案】 ? .

1 2

【解析】在同一直角坐标系内,作出 y ? 2a与y ? x ? a ? 1 的大致图像,如下图:

由题意,可知 2a ? ?1 ? a ? ?

1 2

【考点定位】本题主要靠数形结合思想,函数与方程、零点等基础知识.

【名师点睛】 本题根据题意作出函数 y ? x ? a ?1的大致图象是解决本题的关键, 本题主要 考查学生的数形结合的能力. 15. 已知函数 y ? f ( x) , x ? R ,有下列 4 个命题: ①若 f (1 ? 2 x) ? f (1 ? 2 x) ,则 f ( x) 的图象关于直线 x ? 1 对称; ② y ? f ( x ? 2) 与 y ? f (2 ? x) 的图象关于直线 x ? 2 对称; ③若 f ( x) 为偶函数,且 f (2 ? x) ? ? f ( x) ,则 f ( x) 的图象关于直线 x ? 2 对称; ④若 f ( x) 为奇函数,且 f ( x) ? f (? x ? 2) ,则 f ( x) 的图象关于直线 x ? 1 对称. 其中正确的命题为___ ____ . 【答案】 ①②③④ 【解析】

16. 如图,偶函数 f ( x) 的图象如字母 M,奇函数 g ( x) 的图象如字母 N,若方程

f ( f ( x)) ? 0, f ( g ( x)) ? 0 的实根个数分别为 m, n ,则 m ? n ?

.

【答案】12

【解析】由 图 象 知 , f ( x ) =0 有 三 个 根 , 0 , ± =0 或 ±

3 , 由 f ( f ( x ) ) =0 知 f ( x ) 2

3 . 2
3 3 无 解 , ∴ m=3 . 同 理 , 由 f ( g ( x ) ) =0 , 得 g ( x ) =0 或 ± , 2 2

而 f( x) =±

由 图 象 可 知 g ( x ) 所 对 每 一 个 值 都 能 有 三 个 根 , 因 而 n=9 ; ∴ m+n=12 , 故 选 A .



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