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北京市五中2012届高三数学上学期期中考试试题 文



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北京市五中 2012 届高三数学上学期期中考试试题 文 班级 姓名 学号 成绩
一.选择题(每题 5 分,共 40 分) 1.设全集 I ? R, 若集合 M ? {x x ? 2}, N ? {x x ? x ? 2 ? 0}. 则下列结论正确的是(
2

)

A

. M ? N

B. M ? N ? R

C. N ? M

D. C R N ? C R M
( )

2.已知非零实数 a 、 b 满足 a ? b, 则下列不等式中成立的是

A. a 2 ? b 2

B.

1 1 ? a b

C. a 2 b ? ab2

D.

a b ? 2 2 b a
( )

3.等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n , a2 ? 6, S3 ? 21则公比 q 等于

A. 2

B.

1 2

C. 2 或

1 2 y 的值为 x

D. ? 2 或 ?

1 2
( )

4.若点 P ( x, y ) 是 300 ? 角终边上异于原点的一点,则

A.

3 3

B. ?

3 3

C. 3

D. ? 3

5. 等差数列 ?an ? 中, S n 是其前 n 项和, a1 ? ?2011, ( )

S 2009 S 2007 ? ? 2 ,则 S 2011 的值为 2009 2007

A. -2010

B. 2010

C. -2011
2 2 2

D. 2011
2

6. 已知点 O 为 ?ABC 所在平面内一点 , 且 OA ? BC ? OB ? CA , 那么点 O 的轨迹一定过

?ABC 的

(

)

A. 重心

B. 垂心

C. 内心

D. 外心

7. 对函数 f ( x) ? x ? sin x, 现有下列命题: ①函数 f ( x) 是偶函数; ②函数 f ( x) 的最小正周期是 2? ;

③点 (? ,0) 是函数 f ( x) 的图像的一个对称中心; ④函数 f ( x) 在区间 [ 0, 其中是真命题的是

?
2

] 上单调递增,在区间 [ ?

?
2

,0 ] 上单调递减.
( )

A. ①③

B. ①④

C. ②③
-1-

D. ②④

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8.若关于 a , b 的代数式 f (a, b) 满足:① f (a, a) ? a; ② f (ka, kb) ? kf (a, b); ③ f (a1 ? a2 , b1 ? b2 ) ? f (a1 , b1 ) ? f (a2 , b2 ); ④ f ( a, b) ? f (b,

a?b ). 则 f ( x, y) ? ( 2
D.

)

A.

x ? 2y 3

B.

2x ? y 3

C.

x ? 2y 3

2x ? y 3

二.填空题(每题 5 分,共 30 分) 9.已知 sin ? ?

3 ? sin 2? , 且 ? ? ( , ? ), 那么 的值等于 ________ . 5 2 cos 2 ?

10.已知 a ? 2, b ? 3, a 、 b 的夹角为 60?, 则 2a ? b ? _____. 11.函数 f ( x ) ? 2 sin(

?x
2

?

?
5

), 对任意的 x ? R, 都有 f ( x1 ) ? f ( x) ? f ( x2 ) 成立,则

. x1 ? x2 的最小值为 ________
12.已知函数 y ?

2 ( a ?1) x

2

? bx ? a ?1

? 1( a ? 1) 的定义域为 R, 则 b ? 3a 的取值范围是

13. 已知 AC、BD 为⊙ O : x 2 ? y 2 ? 9 的两条相互垂直的弦,垂足为 M ( 2, 3 ), 则四边形

ABCD 的面积的最大值为

.

14..对于函数 f ( x) ,在使 f ( x) ? M 恒成立的所有常数 M 中,我们把 M 中的最小值成为函 数 f ( x) 的“上确界” 。已知函数 f ( x) ? 上确界为 。

x 2 ? 2x ? 1 ? a ( a ? ?? 2,2? )是奇函数,则 f ( x) 的 x2 ?1

三.解答题(本题满分 80 分) 15.(本题满分 13 分) 设 ?ABC 的 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c, 已 知 c ? 2b , 向 量 m ? ? s i nA, ? ,

n ? 1, sin A ? 3 cos A ,且 m 与 n 共线.
(1)求角 A 的大小; (2)求

?

?

? ?

3? 2?

a 的值. c

16.(本题满分 13 分)

-2-

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有编号为 A 1 , A 2 ,? A10 的 10 个零件,测量其直径(单位:cm) ,得到下面数据: 其中直径在区间[1.48,1. 52]内的零件为一等品。 A1 A2 A3 A4 A5 编号 1.51 1,49 1.49 1.51 1.49 直径 A6 1.51 A7 1.47 A8 1. 46 A9 1.53 A10 1.47

(Ⅰ)从上述 10 个零件中,随机抽取一个,求这个零件为一等品的概率; (Ⅱ)从一等品零件中,随机抽取 2 个. (ⅰ)用零件的编号列出所有可能的抽取结果; (ⅱ)求这 2 个零件直径相等的概率。

17. (本题满分 14 分)

已知 : 以点 C ( m,

2 ) (m ? R, m ? 0) 为圆心的圆与 x 轴交于点 m O 、 A, 与 y 轴交于点 O 、 B, 其中 O 为原点.

(1)求证: ?OAB 的面积为定值; (2)设直线 y ? ?2 x ? 4 与圆 C 交于点 M 、 N , 若 OM ? ON 求 圆 C 的方程.

18. (本题满分 13 分) 如图是正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 , AA 1 ? 3 , AB ? 2 , 若 N 为棱 AB 中点. (1)求证: AC1 // 平面 CNB1 ; (2)求四棱锥 C1 ? ANB1 A1 的体积. 19.(本题满分 14 分)
-3-

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1 3 3 x ? mx 2 ? mx (m ? 0) 3 2 (1) 当 m ? 2 时,求函数 y ? f ( x) 的图像在点(0,0)处的切线方程; (2) 讨论函数 y ? f ( x) 的单调性;
已知函数 f ( x) ? (3) 若 函 数 y ? f ( x) 既 有 极 大 值 , 又 有 极 小 值 , 且 当 0 ? x ? 4m 时 ,

3 32 f ( x) ? mx 2 ? ( m ? 3m 2 ) x ? 恒成立,求 m 的取值范围。 2 3
(4) 20.(本题满分 14 分) 设 f ( x) ?

1 x , 方程 f ( x) ? x 有唯一解, 已知 f ( xn ) ? xn?1 (n ? N ?) , 且 f ( x1 ) ? 1 0 0 5 a ( x ? 2)

(1) 求证数列 ? (2) 若 a n ?

?1? ? 为等差数列,并求数列 ?xn ? 的通项公式; ? xn ?

2 4 ? 4017xn a 2 ? an (n ? N ?) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n ; ,且 bn ? n ?1 xn 2a n ?1 a n m (3) 问:是否存在最小正整数 m ,使得对任意 n ? N ? ,有 f ( x n ) ? 成立,若存在, 2010 求出 m 的值,若不存在,说明理由.

北京五中 2011/2012 年度第一学期期中考试答案
一.选择题

二.填空题 9.

?

3 2
2

; 10

13

;

11

; 12

?? 2,???
; 14 1 ;

;

13

4 3

三.解答题(本题满分 80 分)

3? 4 3 9 3 ? 36 ; (2) 10 50 2 2 2 2 16.(1)定值为 4; (2) ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 5 或 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 5
15.(1) 17.本小题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率等基础知识, 考查数据处理能力及运用概率知识解决简单的实际问题的能力。满分 12 分 【解析】 (Ⅰ)解:由所给数据可知,一等品零件共有 6 个.设“从 10 个零件中,随机抽取一
-4-

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6 3 个为一等品”为事件 A,则 P(A)= 10 = 5 .

6 2 ? 所以 P(B)= 15 5 .
18.(1)略(2) V ?

3 3 2

-5-



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