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古典概率习题课1



概率论

第一、二章
主要内容 例题选讲

习题课

概率论

一、概率的定义
概率的公理化定义 设 E 是随机试验 , S 是它的
样本空间 , 对于 E 的每一个事件 A 赋予一个实数 P?A ? ,

称之为事件 A 的概率 , 如果它满足下列

三个条件 : ?1? P ? A? ? 0 ; ? 非负性 ?

?2? P ? S ? ? 1 ; ? 规范性 ? ?3? 对于两两互斥事件 A1 , A2 ,?, 有 P ? A1 ? A2 ? ?? ? P ? A1 ? ? P ? A2 ? ? ?

? 可列可加性 ?

概率论

二、概率的性质
性质1 P ? ? ? ? 0 .

性质 2 设有限个事件 A1 , A2 ,?, An 两两互斥 , 则
P ? A1 ? A2 ? ? ? An ? ? P ? A1 ? ? P ? A2 ? ? ? ? P ? An ? .

性质 3 对于任何事件 A , 有
P ? A ? ? 1 ? P ? A? .

性质 4 设 A、B 为两事件 , 且 A ? B , 则 P ? A ? B ? ? P ? A? ? P ? B ? 并且 P ? A? ? P ? B ? .

概率论

性质 5 对于任一事件 A , 都有 P ? A? ? 1 . 性质 6 设 A, B 为任意两个事件 , 则
P ? A ? B ? ? P ? A? ? P ? B ? ? P ? AB ? P ? A ? B ? C ? ? P ? A? ? P ? B ? ? P ?C ? ? P ? AB ? ? P ? AC ? ? P ? BC ? ? P ? ABC ?

概率论

三、古典概型
若随机试验满足下述两个条件: (1) 它的样本空间只有有限多个样本点; (2) 每个样本点出现的可能性相同.

称这种试验为等可能随机试验或古典概型.
古典概型中事件A的概率的计算公式 :

A 包含的基本事件数 P ? A? ? S 中的基本事件总数

概率论

四、条件概率
1. 条件概率的定义 设A、B是两个事件,且P(B) > 0 , 则称

P ( AB) P ( A | B) ? P ( B)
为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率.

概率论

2. 条件概率的计算
1) 用定义计算:

P ( AB) P ( A | B) ? , P ( B)

P(B)>0

2)从加入条件后改变了的情况去算

概率论

五、 乘法公式
若 P(B) > 0 , 则 P(AB)=P(B)P(A|B)

若 P(A) > 0 , 则 P(AB)=P(A)P(B|A)

概率论

六、 全概率公式
设试验 E 的样本空间为 S , B1 , B2 ,?, Bn
为 S 的一个划分 ,且 P ? Bi ? ? 0 ?i ? 1,2 ,? , n? ,则对

样本空间中的任一事件 A , 恒有
P ? A ? ? ? P ? Bi ? P ? A | Bi ?
i ?1 n

概率论

七、 贝叶斯公式
设试验 E 的样本空间为 S , A 1 ,A2 , ?,An
为样本空间的一个划分 , B 为 S 中的任一事件 ,且 P(B) > 0 , 则有

P ( Ai | B) ? P ( Ai ) P ( B|Ai )

? P ( A ) P ( B|A )
j ?1 j j

n

i ? 1,2,?, n

概率论

例1 甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹,

以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标,试
用A、B、C的运算关系表示下列事件:

概率论

例2:有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概 率相等,则至少有一个男孩的概率是多少? 解:设A表示“至少有一个男孩”,以H 表示某个孩子

是男孩 ,T 表示某个孩子是女孩

N(S)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT} N(A)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT}

概率论

例3 (摸球问题)设合中有3个白球,2个红球,现 从合中任抽2个球,求取到一红一白的概率。 解:设A表示“取到一红一白”

一般地,设合中有N个球,其中有M个白球,现从中任抽n 个球,则这n个球中恰有k个白球的概率是

概率论

例4(分球问题)将3个球随机的放入3个盒子中去, 问:(1)每盒恰有一球的概率是多少?(2)空一 盒的概率是多少? 解 设 A:每盒恰有一球,B:空一盒

概率论

一般地,把 n 个球随机地分配到 m 个盒子中去 ( n ? m ),则每盒至多有一球的概率是:

概率论

例5 (分组问题) 30名学生中有3名运动员,将这
30名学生平均分成3组,求:(1)每组有一名运动

员的概率;(2)3名运动员集中在一个组的概率。
解 设A:每组有一名运动员;B: 3名运动员集中在一组

概率论

一般地,把n个球随机地分成 m 组( n > m ), 要求第 i 组恰有n i个球( i = 1,?m ),共有分法:

概率论

例6(随机取数问题)从1到200这200个自然数中任 取一个;(1)求取到的数能被6整除的概率;(2)求

取到的数能被8整除的概率;(3)求取到的数既能被
6整除也能被8整除的概率. 解:N(S)=200, N(1)=[200/6]=33,

N(2)=[200/8]=25

N(3)=[200/24]=8

(1),(2),(3)的概率分别为:33/200,1/8,1/25

概率论

例7 某市有甲,乙,丙三种报纸,订每种报纸的人数 分别占全体市民人数的30%,其中有10%的人同时定 甲,乙两种报纸.没有人同时订甲乙或乙丙报纸.求

从该市任选一人,他至少订有一种报纸的概率.
解 设A , B , C分别表示选到的人订了甲 , 乙 , 丙报

概率论

例8 在1?10这10个自然数中任取一数,求

(1)取到的数能被2或3整除的概率,
(2)取到的数即不能被2也不能被3整除的概率,

(3)取到的数能被2整除而不能被3整除的概率。 解 设 A—取到的数能被2整除;

B—取到的数能被3整除.

概率论



概率论

例9 盒中有3个红球,2个白球,每次从袋中任取一只 ,观察其颜色后放回,并再放入一只与所取之球颜色 相同的球,若从合中连续取球4次,试求第1、2次取得 白球、第3、4次取得红球的概率。
解 设Ai 为第 i 次取球时取到白球,则

概率论

例 10 市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品 牌产品,已知三家工厂的市场占有率分别为 1/4 、 1/4 、 1/2 ,且三家工厂的次品率分别为 2 %、 1 %、 3%,试求市场上该品牌产品的次品率。

概率论

P( B) ? P( BA1 ) ? P( BA2 ) ? P( BA3 )
? P( B | A1 ) P( A1 ) ? P( B | A2 ) P( A2 ) ? P( B | A3 ) P( A3 )
1 1 1 ? 0.02 ? ? 0.01? ? 0.03 ? ? 0.0225 4 4 2

概率论

例11 商店论箱出售玻璃杯,每箱20只,其中每箱含0, 1,2只次品的概率分别为0.8, 0.1, 0.1,某顾客选 中一箱,从中任选4只检查,结果都是好的,便买下 了这一箱.问这一箱含有一个次品的概率是多少?
解 设A:从一箱中任取4只检查,结果都是好的. B0, B1, B2分别表示事件每箱含0,1,2 只次品

概率论

已知:P(B0)=0.8, P(B1)=0.1, P(B2)=0.1

由Bayes 公式:

概率论

例12 在可靠性理论上的应用 如图,1、2、3、4、5表示继电器触点,假设每个触 点闭合的概率为 p ,且各继电器接点闭合与否相互 独立,求 L 至 R 是通路的概率。

概率论

设 A 表示“L 至 R 为通路”,

Ai 表示“第 i 个继电器通”, i =1,2,?5.

概率论

由全概率公式



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