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山东省聊城一中2015届高三上学期10月段考数学试卷(文科)



山东省聊城一中 2015 届高三上学期 10 月段考数学试卷(文科)
一、选择题(本题共有 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分) 2 1. (5 分)若集合 A={x||x|=x},B={x|x ﹣x>0},则 A∩B=() A. B.(﹣∞,0] C.(1,+∞) 2. (5 分)等比数列{an}中 a1=3,a4=24,则 a3+a4+a5=() A.33

B.72 C.84

D.(∞,﹣1)

D.189

3. (5 分)



,且 B. 不共线 D.不能确定

共线,则



()

A.共线 C. 可能共线也可能不共线
x

4. (5 分)设 f(x)=e +x﹣4,则函数 f(x)的零点位于区间() A.(﹣1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)

5. (5 分)设 A.a<b<c

, B.a<c<b

,c=lnπ,则() C.c<a<b D.b<a<c

6. (5 分)已知等差数列{an}的前 13 项之和为 A. B.

,则 tan(a6+a7+a8)等于() D.1

C.﹣1

7. (5 分)已知向量 =(1,n) , =(﹣1,n) ,若 A.1 B. C.

+ 与 垂直,则| |=() D.4

8. (5 分)已知数列 A.7

,欲使它的前 n 项的乘积大于 36,则 n 的最小值为() B. 8 C. 9 D.10

9. (5 分)若平面向量 =(﹣1,2)与 的夹角是 180°,且| |=3 A.(6,﹣3) B.(﹣6,3) C.(﹣3,6)

,则 坐标为() D.(3,﹣6)

10. (5 分)设 f(x)是定义在 R 上的周期为 3 的周期函数,如图表示该函数在区间(﹣2, 1]上的图象,则 f+f=()

A.3

B. 2

C. 1

D.0

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. (5 分)函数 f(x)= +lnx 的导函数是 f′(x) ,则 f′(1)=.

12. (5 分)已知数列{an}中,a1=1,anan﹣1=an﹣1+(﹣1) (n≥2,n∈N ) ,则

n

*

的值是.

13. (5 分)已知△ ABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列,且 AB=1,BC=4,则边 BC 上的 中线 AD 的长为.

14. (5 分)已知函数 f(x)= 取值范围是. 15. (5 分)以下四个命题:

,若 f(4)>1,则实数 a 的

①在△ ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 bsinA=acosB,则 B= ②设 , 是两个非零向量且 ,则存在实数 λ,使得 ;



③方程 sinx﹣x=0 在实数范围内的解有且仅有一个; 3 3 ④a,b∈R 且 a ﹣3b>b ﹣3a,则 a>b; 其中正确的是.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16. (12 分)已知向量 =(sinx,﹣1) , =( cosx,﹣ ) ,函数 f( x)=( )? ﹣

2. (1)求函数 f(x)的最小正周期 T; (2)已知 a,b,c 分别为△ ABC 内角 A,B,C 的对边,其中 A 为锐角,a=2 f(A)=1,求 A,b 和△ ABC 的面积 S.

,c=4,且

17. (12 分)在等差数列{an}中,Sn 为其前 n 项和(n∈N ) ,且 a3=5,S3=9. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

*

18. (12 分) 设两个向量 ﹣k ,若 与



, 满足|

|=1, |

|=1,



满足向量 =k | |.

+

, =

的数量积用含有 k 的代数式 f(k)表示.若| |=

(1)求 f(k) ; (2)若 与 的夹角为 60°,求 k 值;

(3)若 与 的垂直,求实数 k 的值. 19. (12 分)在等比数列{an}中,an>0(n∈N ) ,公比 q∈(0,1) ,且 a1a5+2a3a5+a2a8=25, 又 a3 和 a5 的等比中项为 2. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=log2an,数列{bn}的前 n 项和为 Sn,求数列{Sn}的通项公式; (3)当 + + +…+ 最大时,求 n 的值.
*

20. (13 分)已知等差数列{an},a3=5,a1+a2=4.数列{bn}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=1﹣ bn. (1)求数列{an}、{bn}的通项公式; (2)记 cn= anbn,求数列{cn}的前项和 Tn.

21. (14 分)已知二次函数 f(x)的最小值为﹣4,且关于 x 的不等式 f(x)≤0 的解集为{x| ﹣1≤x≤3,x∈R}. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)求函数 g(x)= 的零点个数.

山东省聊城一中 2015 届高三上学期 10 月段考数学试卷 (文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本题共有 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分) 2 1. (5 分)若集合 A={x||x|=x},B={x|x ﹣x>0},则 A∩B=()

A.

B.(﹣∞,0]

C.(1,+∞)

D.(∞,﹣1)

考点: 交集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 根据绝对值的意义, 可得 A, 由一元二次不等式的解法, 可得 B; 结合交集的运算, 计算可得答案. 解答: 解:根据绝对值的意义,可得 A={x|x≥0}, 由一元二次不等式的解法,可得 B={x|x<0 或 x>1}, 则 A∩B={x|x>1}=(1,+∞) , 故选 C. 点评: 本题考查集合的交集的运算,注意结合绝对值的意义,进行求解. 2. (5 分)等比数列{an}中 a1=3,a4=24,则 a3+a4+a5=() A.33 B.72 C.84 考点: 等比数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 根据 a1=3,a4=24 求出数列的公比,从而可求出 a3+a4+a5 的值. n﹣1 解答: 解:∵等比数列的通项公式为 an=a1q , 3 3 ∴a4=a1q =3q =24, 解得 q=2, 2 3 4 ∴a3+a4+a5=3q +3q +3q =84, 故选:C. 点评: 本题主要考查了等差数列的通项公式, 利用等比数列性质的能力, 同时考查了运算 求解的能力,属于基础题.

D.189

3. (5 分)



,且 B. 不共线 D.不能确定

共线,则



()

A.共线 C. 可能共线也可能不共线 考点: 平行向量与共线向量. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用共线定理即可得出. 解答: 解:∵ ∴ 与 共线. 故选 A. 点评: 熟练掌握共线定理是解题的关键. 共线,∴



共线,

4. (5 分)设 f(x)=e +x﹣4,则函数 f(x)的零点位于区间() A.(﹣1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)

x

考点: 函数的零点与方程根的关系. 专题: 计算题. 分析: 根据连续函数 f(x)满足 f(1)<0,f(2)>0,由此可得函数 f(x)的零点所 在的区间. x 解答: 解:∵f(x)=e +x﹣4, ∴f(1)<0,f(2)>0, 故函数 f(x)的零点位于区间(1,2)内, 故选 C. 点评: 本题主要考查函数的零点的定义, 判断函数的零点所在的区间的方法, 属于基础题.

5. (5 分)设 A.a<b<c

, B.a<c<b

,c=lnπ,则() C.c<a<b D.b<a<c

考点: 对数值大小的比较. 专题: 证明题. 分析: 利用对数函数和指数函数的单调性, 比较,进而得到三者的大小关系. 解答: 解:∵ < =0, =1,lnπ>lne=1, 与 0 比较, 和 lnπ 与 1 进行

∴c>b>a, 故选 A. 点评: 本题考查了对数值大小的比较方法,一般找中间量“0”或“1”,以及转化为底数相同 的对数(幂) ,再由对数(指数)函数的单调性进行判断,考查了转化思想.

6. (5 分)已知等差数列{an}的前 13 项之和为 A. B.

,则 tan(a6+a7+a8)等于() D.1

C.﹣1

考点: 等差数列的性质. 专题: 综合题. 分析: 根据等差数列的性质,由前 13 项之和为 得到第七项的值,然后把所求的式

子中的 a6+a7+a8, 利用等差数列的性质得到关于第七项的式子, 把第七 项的值代入到所求的 式子中,利用诱导公式及特殊角的三角函数值即可求出值. 解答: 解:S13=(a1+a13)+(a2+a12)+…+a7=13a7= 而 tan(a6+a7+a8)=tan3a7=tan =﹣tan =﹣1. ,解得 a7= ,

故选 C 点评: 此题要求学生掌握等差数列的性质, 灵活运用诱导公式及特殊角的三角函数值化简 求值,是一道综合题.

7. (5 分)已知向量 =(1,n) , =(﹣1,n) ,若 A.1 B. C.

+ 与 垂直,则| |=() D.4

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 首先求出 + 的坐标,然后按照向量的数量积的坐标运算表示 + 与 垂直,

得到关于 n 的方程解之,然后求| |的模. 解答: 解:∵向量 =(1,n) , =(﹣1,n) , ∴ + =(1,3n) ,∴( =
2

+ 与 垂直 ,

+ )? =3n ﹣1=0,解得 n= ;

∴| |=

故选:C. 点评: 本题考查了向量的加减运算以及数量积的坐标运算.

8. (5 分)已知数列 A.7

,欲使它的前 n 项的乘积大于 36,则 n 的最小值为() B. 8 C. 9 D.10

考点: 数列的应用. 分析: 根据题设条件可知,数列 的前 n 项的乘积 = 值. 解答: 解:由题意可知,数列 的前 n 项的乘积 = 当
*

.由此能够导出 n 的最小



时,n>7 或 n<﹣10(舍去) .

∵n∈N ,∴n 的最小值为 8. 故选 B. 点评: 本题考查数列的概念和性质,解题时要注意 n 的取值范围.

9. (5 分)若平面向量 =(﹣1,2)与 的夹角是 180°,且| |=3 A.(6,﹣3) B.(﹣6,3) C.(﹣3,6)

,则 坐标为() D.(3,﹣6)

考点: 数量积表示两个向量的夹角;向量的模. 专题: 待定系数法. 分析: 设 =(x,y) ,由两个向量的夹角公式得 cos180°=﹣1= ,利用两个向量

的模、数量积公式,化简得 x﹣2y=15,再根据 进而得到 的坐标.

=3

,解方程组求出 x,y 的值,

解答: 解:设 =(x,y) , 由两个向量的夹角公式得 cos180°=﹣1= = ,

∴x﹣2y=15 ①,∵

=3

②, =(3,﹣6) ,

由①②联立方程组并解得 x=3,y=﹣6,即 故选 D.

点评: 本题考查两个向量的夹角公式的应用,向量的模的定义,待定系数法求出 标.

的坐

10. (5 分)设 f(x)是定义在 R 上的周期为 3 的周期函数,如图表示该函数在区间(﹣2, 1]上的图象,则 f+f=()

A.3

B. 2

C. 1

D.0

考点: 函数的周期性. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用函数的周期是 3,将 f,f 转化为图象中对应的已知点的数值上即可求值. 解答: 解:因为 f(x)是定义在 R 上的周期为 3 的周期函数,所以 f=f(671×3)=f(0) , f=f(671×3+1)=f(1) , 由图象可知 f(0)=0,f(1)=1,

所以 f+f=1. 故选 C. 点评: 本题主要考查函数周期性的应用, 以及利用函数图象确定函数值, 考查函数性质的 综合应用. 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. (5 分)函数 f(x)= +lnx 的导函数是 f′(x) ,则 f′(1)= .

考点: 导数的运算. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 利用基本函数求导公式,求出导数,然后代入求值. 解答: 解:因为数 f(x)= +lnx

所以 f′(x)=(

+lnx)′=(

)′+(lnx)′=



所以 f′(1)= 故答案为: .



点评: 本题考查了导数的求法;属于基础题.

12. (5 分)已知数列{an}中,a1=1,anan﹣1=an﹣1+(﹣1) (n≥2,n∈N ) ,则

n

*

的值是 .

考点: 数列递推式. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 利用数列{an}中,a1=1,anan﹣1=an﹣1+(﹣1) (n≥2,n∈N ) ,代入计算,即可求 出 的值.
n n *

解答: 解:∵数列{an}中,a1=1,anan﹣1=an﹣1+(﹣1) (n≥2,n∈N) ∴a2a1=a1+1,即 a2=2 a3a2=a2﹣1,即 a3= a4a3=a3+1,即 a4=3 a5a4=a4﹣1,即 a5= ,



= ,

故答案为: . 点评: 本题考查数列递推式,考查学生的计算能力,正确计算是关键. 13. (5 分)已知△ ABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列,且 AB=1,BC=4,则边 BC 上的 中线 AD 的长为 . 考点: 解三角形. 专题: 计算题. 分析: 先根据三个内角 A、B、C 成等差数列 和三角形内角和为 π 可求得 B 的值,进而利 用 AD 为边 BC 上的中线求得 BD,最后在△ ABD 中利用余弦定理求得 AD. 解答: 解:∵△ABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列 ∴A+C=2B ∵A+B+C=π ∴ ∵AD 为边 BC 上的中线 ∴BD=2, 由余弦定理定理可得 故答案为: 点评: 本题主要考查等差中项和余弦定理,涉及三角形的内角和定理,难度一般.

14. (5 分)已知函数 f(x)= 取值范围是 .

,若 f(4)>1,则实数 a 的

考点: 专题: 分析: 解答:

分段函数的应用. 函数的性质及应用. 根据分段函数的表达式,解不等式即可得到结论. 解:由分段函数的表达式可知,f(4)=f( )=f(﹣ 2)=﹣2(3a﹣1)+4a=2

﹣2a, 若 f(4)>1,则 2﹣2a>1, 即 2a<1,解得 故答案为: 点评: 本题主要考查不等式的求解, 根据分段函数的表达式分别进行求解和化简是解决本 题的关键. 15. (5 分)以下四个命题: ,

①在△ ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 bsinA=acosB,则 B= ②设 , 是两个非零向量且 ,则存在实数 λ,使得 ;



③方程 sinx﹣x=0 在实数范围内的解有且仅有一个; 3 3 ④a,b∈R 且 a ﹣3b>b ﹣3a,则 a>b; 其中正确的是①②③④. 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 探究型. 分析: 分别根据条件判别各命题的真假即可.①利用正弦定理化简求角.②由 得出向量的夹角,根据夹角判断是否共线.③构造函数 y=sinx﹣x,利用 导数判断函数是单调的即可.④利用作差法进行判断. 解答: 解:①在三角形中,根据正弦定理可知 bsinA=acosB 等价为 sinAsinB=sinAcosB, 所以 sinB=cosB,即 B= ②由 所以存在实数 λ,使得 ,所以正确. ,得|cos< >|=1,所以 , 的夹角为 0 或 π,所以 , 共线,

,所以正确.

③设 y=sinx﹣x,则 y'=cosx﹣1≤0,所以函数 y=sinx﹣x 在定义域上单调递减.因为 f(0) =0,所以方程 sinx﹣x=0 在实数范围内的解有且仅有一个,所以正确. 3 3 ④因为 a ﹣b +3a﹣ 3b= , 所以若 a ﹣3b>b
3 3

﹣3a,则必有 a>b 成立,所以正确. 故答案为:①②③④. 点评: 本题主要考查各种命题的真假判断,涉及的知识点较多,综合性较强. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16. (12 分)已知向量 =(sinx,﹣1) , =( cosx,﹣ ) ,函数 f(x)=( )? ﹣2.

(1)求函数 f(x)的最小正周期 T; (2)已知 a,b,c 分别为△ ABC 内角 A,B,C 的对边,其中 A 为锐角,a=2 f(A)=1,求 A,b 和△ ABC 的面积 S. 考点: 解三角形;平面向量数量积的运算;三角函数的周期性及其求法. 专题: 计算题.

,c=4,且

分析: (Ⅰ) 利用向量数量积的坐标表示可得, 结合辅助角公式可得 f (x) =sin (2x﹣ 利用周期公式 可求;

) ,

(Ⅱ)由

结合 可得 ,
2

,由余弦定理可

得,a =b +c ﹣2bccosA,从而有 代入三角形面积公式可求. 解答: 解: (Ⅰ) = = 因为 ω=2,所以 (Ⅱ) 因为 则 a =b +c ﹣2bccosA,所以 则 b=2(10 分) 从而 (12 分)
2 2 2

2

2

2

,即 b ﹣4b+4=0,解方程可得 b,

(2 分) = (4 分)

= (6 分)

,所以 ,即 b ﹣4b+4=0
2



(8 分)

点评: 本题主要考查了向量的数量积的坐标表示, 辅助角公式的应用, 三角函数的周期公 式的应用,由三角函数值求角,及三角形的面积公式.综合的知识比较多,但试题的难度不 大. 17. (12 分)在等差数列{an}中,Sn 为其前 n 项和(n∈N ) ,且 a3=5,S3=9. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
*

考点: 数列的求和;等差数列的前 n 项和. 专题: 计算题. 分析: (Ⅰ)依题意,解方程组 项公式; (Ⅱ)利用裂项法可求得 bn= ( ﹣ ) ,从而可求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 可求得 a1 与 d,从而可求等差数列{an}的通

解答: 解: (Ⅰ)由已知条件得 解得 a1=1,d=2,…(4 分)

…(2 分)

∴an=2n﹣1.…(6 分) (Ⅱ)由(Ⅰ)知,an=2n﹣1, ∴bn= = = ( ﹣ ) ,…(9 分)

∴Tn=b1+b2+…+bn= = (1﹣ = )

.…(12 分) ﹣ )

点评: 本题考查等差数列的通项公式, 着重考查裂项法求和, 求得 bn= ( 是关键,属于中档题.

18. (12 分) 设两个向量 ﹣k ,若 与



, 满足|

|=1, |

|=1,



满足向量 =k | |.

+

, =

的数量积用含有 k 的代数式 f(k)表示.若| |=

(1)求 f(k) ; (2)若 与 的夹角为 60°,求 k 值;

(3)若 与 的垂直,求实数 k 的值.

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: (1)由| |= | |得到 ,再用向量 , 表示展开计算;

(2)由(1)得到关于 k 的方程解之; (3)利用向量垂直数量积 为 0,得到 k 的等式解之. 解答: 解: (1)因为| |= 所以 所以 k k +2k 整理得 8k 所以
2 2 2

| |, ) =3(
2 2

,即(k +2k +

+

﹣k

), +3k
2 2

2

=3

2

﹣6k

,因为|

|=1,|

|=1,所以

+1=3﹣6k =2k +2, =f(k)=
2

+3k ,

2

(k≠0) ;…(4 分)

(2)因为 分)



的夹角为 60°,所以

= ,即 f(k)=

,解得 k=1;…(8

(3)因为 与 的垂直,所以(k 又 =f(k)=
2

+

)?(

﹣k

)=0,整理得(1﹣k )

2

=0,

≠0,

所以 1﹣k =0.解得 k=±1.…(12 分) 点评: 本题考查了向量的模与向量的平方得关系以及向量数量积的运用,属于基础题. 19. (12 分)在等比数列{an}中,an>0(n∈N ) ,公比 q∈(0,1) ,且 a1a5+2a3a5+a2a8=25, 又 a3 和 a5 的等比中项为 2. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=log2an,数列{bn}的前 n 项和为 Sn,求数列{Sn}的通项公式; (3)当 + + +…+ 最大时,求 n 的值.
*

考点: 数列与不等式的综合;数列的求和. 专题: 综合题;点列、递归数列与数学归纳法. 2 2 分析: (1)根据等比数列的性质可知 a1a5=a3 ,a2a8=a5 化简 a1a5+2a3a5+a2a8=25 得到 a3+a5=5,又因为 a3 与 a5 的等比中项为 2,联立求得 a3 与 a5 的值,求出公比和首项即可得 到数列的通项公式; (2)把 an 代入到 bn=log2an 中得到 bn 的通项公式,即可得到前 n 项和的通项 sn; (3)把 sn 代入得到 ,确定其正负,即可求 n 的值.

解答: 解: (1)∵a1a5+2a3a5+a2a8=25, 2 2 ∴a3 +2a3a5+a5 =25 又 a n>0,∴a3+a5=5 …(1 分) 又 a3 与 a5 的等比中项为 2,∴a3a5=4 …(2 分) 而 q∈(0,1) , ∴a3>a5,∴a3=4,a5=1, ∴q= ,a1=16,∴an=16×( )
n﹣1

=2

5﹣n



(2)∵bn=log2an=5﹣n,∴bn+1﹣bn=﹣1, 4 b1=log2a1=log216=log22 =4, ∴{bn}是以 b1=4 为首项,﹣1 为公差的等差数列, ∴Sn= (3)∵ ∴n≤8 时, = .…(8 分) , >0,n=9 时, + + =0,n>9 时, <0,

∴n=8 或 9 时,

+…+

最大…(12 分)

点评: 本题考查数列的通项公式的求法,考查前 n 项和的求法,解题时要认真审题,注意 方法的合理运用.

20. (13 分)已知等差数列{an},a3=5,a1+a2=4.数列{bn}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=1﹣ bn. (1)求数列{an}、{bn}的通项公式; (2)记 cn= anbn,求数列{cn}的前项和 Tn.

考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)利用等差数列的通项公式可得 an;再利用当 n=1 时,有 b1=S1,当 n≥2 时, 有 bn=Sn﹣Sn﹣1,及等比数列的通项公式即可得出 bn. (2)利用“错位相减法”和等比数列的前 n 项和公式即可得出. 解答: 解: (1)设等差数列{an}公差为 d 由 a3=5,a1+a2=4, 从而 a1=1、d=2, ∴an=a1+(n﹣1)d=2n﹣1. 又当 n=1 时,有 b1=S1=1﹣ b1,∴b1= .

当 n≥2 时,有 bn=Sn﹣Sn﹣1= (bn﹣1﹣bn) , ∴ (n≥2) .

∴数列{bn}是等比数列,且 b1= ,q= , ∴bn=b1q
n﹣1

=



(2)由(1)知:













=







点评: 本题考查了“等差数列与等比数列的通项公式、错位相减法”和等比数列的前 n 项和 公式,考查了推理能力与计算能力,属于难题.

21. (14 分)已知二次函数 f(x)的最小值为﹣4,且关于 x 的不等式 f(x)≤0 的解集为{x| ﹣1≤x≤3,x∈R}. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)求函数 g(x)= 的零点个数.

考点: 利用导数研究函数的单调性;二次函数的性质;函数的零点;导数的运算. 专题: 综合题;函数的性质及应用. 分析: (1)根据 f(x)是二次函数,且关于 x 的不等式 f(x)≤0 的解集为{x|﹣1≤x ≤3, x∈R},设出函数解析式,利用函数 f(x)的最小值为﹣4,可求函数 f(x)的解析式; (2) 求导数, 确定函数的单调性, 可得当 0<x≤3 时, g (x) ≤g (1) =﹣4<0, g (e ) = ﹣20﹣2>2 ﹣1﹣22=9>0,由此可得结论. 解答: 解: (1)∵f(x)是二次函数,且关于 x 的不等式 f(x)≤0 的解集为{x|﹣1≤x≤3, x∈R}, ∴f(x)=a(x+1) (x﹣3)=a(a>0) ∴f(x)min=﹣4a=﹣4 ∴a=1 故函数 f(x)的解析式为 f(x)=x ﹣2x﹣3 (2)g(x)= = ﹣4lnx﹣2(x>0) ,
2 5 5

∴g′(x)= x,g′(x) ,g(x)的取值变化情况如下: x (0,1) 1 (1,3) g′(x) + 0 ﹣ g(x) 单调增加 极大值 单调减少 当 0<x≤3 时,g(x)≤g(1)=﹣4<0; 又 g(e )=
5

3 0 极小值

(3,+∞) + 单调增加

﹣20﹣2>2 ﹣1﹣22=9>0

5

故函数 g(x)只有 1 个零点,且零点 点评: 本题主要考查二次函数与一元二次不等式的关系, 函数零点的概念, 导数运算法则、 用导数研究函数图象的意识、考查数形结合思想,考查考生的计算推理能力及分析问题、解 决问题的能力.



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