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福建省长乐二中等五校2014届高三上学期期中联考数学(文)试题



福建省闽侯二中、闽清高级中学、永泰二中、连江侨中、长乐二中 2014 届高三上学期期中联考 数学(文科)试卷
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项 是符合题目要求的.
1.设集合 A ? {x | ?1 ? x ? 2} ,集合 B ? N ,则 A ? B =( ) A

.{0,1} B.{1} C.1 D.{-1,0,1,2}

2.已知复数 z ? A.第一象限 【答案】B 【解析】 试题分析: z ?

i ( i 为虚数单位)则复数 z 在复平面对应的点位于( 1? i
B.第二象限 C.第三象限

)

D.第四象限

i(1 ? i) 1 1 1 1 i ? ? ? ? i ,所以,复数 z 在复平面对应的点 (? , ) 位于 1? i 2 2 2 2 2

第二象限,选 B. 考点:复数的代数运算,复数的概念.

3.“△ ABC 的三个角 A,B,C 成等差数列”是“△ ABC 为等边三角形”的( A. 必要不充分条件 【答案】A B. 充分不必要条件 C.充要条件

)

D.既不充分也不必要条件

4.等差数列 {an } 中,若 a2 ? a8 ? 15 ? a5 ,则 a5 等于( A.3 B.4 C.5 D.6



5.函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 的零点所在的区间为( ) A.(1,2) 【答案】B B.(2,3) C.(3,4) D.(4,5)

6.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边为 a, b, c ,若 a ? A.30° 【答案】D 【解析】 B.30°或 105° C.60°

3, b ? 2 , B ? 45? ,则角 A= ( )

D.60°或 120°

7.在 ?ABC 中, AB ? 1 , BC ? 2 , E 为 AC 的中点 ,则 BE ? ( BA ? BC ) =( A.3 B.

??? ?

??? ??? ? ?



3 2

C.-3

D. ?

3 2

3), 8. a 、 b 为平面向量,已知 a ? (4, 2a ? b ? (3,18) ,则 a 、 b 夹角的余弦值等于
( A. ).

8 65

B. ?

8 65

C.

16 65

D. ?

16 65

9.在△ ABC 中,若 AB ? AB ? AC ? BA ? BC ? CA ? CB ,则△ ABC 是( A.等边三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形

??? 2 ?

??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ?

)

D.直角三角形

10.已知定义在 R 上的函数 f ( x) 是偶函数,对

x ? R都 有f (2 ? x) ? f (2 ? x),当f (?3) ? ?2
A.-2 B. 2 C.4 D.-4

时, f (2013 ) 的值为( )

11.在数列 {an } 中, a1 A.2+(n-1)lnn 【答案】B

1 ? 2 , an?1 ? an ? ln(1 ? ) ,则 an =( n
B 2+lnn C. 2+nlnn

) D.1+n+lnn

【解析】

12.式子 ? (a, b, c) 满足 ? (a, b, c) ? ? (b, c, a ) ? ? (c, a, b) ,则称 ? (a, b, c) 为轮换对称 式.给出如下三个式子:① ? (a, b, c) ? abc ; ② ? (a, b, c) ? a ? b ? c ;
2 2 2

③ ? ( A, B, C ) ? cos C ? cos( A ? B ) ? cos C ( A, B, C 是三角形的内角).其中,为轮换
2

对称式的个数是( ) A. 0 B.

1

C. 2

D.

3

, ∴ ? A,B,C) ? B,C,A) 故 是 轮 换 对 称 式 , , ( ?( 故 选 C.

考点:新定义,三角函数的诱导公式、两角和差的三角公式.

第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题(每题 4 分,满分 16 分,将答案填在答题纸上)

* 15.已知数列 ?an ? 的递推公式 an ? ?a , n为偶数 ? N ) ,则 a24 ? a25 ? (n n

? n, n为奇数 ? ? ?
2

;数列

?an ? 中第 8 个 5 是该数列的第



16.如图所示, f ( x) 是定义在区间 [?c, c](c ? 0) 上的奇函数,令 g ( x) ? af ( x) ? b ,并有 关于函数 g ( x) 的四个论断: ①若 a ? 0 ,对于 [?1,1] 内的任意实数 m, n(m ? n) , ②函数 g ( x) 是奇函数的充要条件是 b ? 0 ; ③任意 a ? R , g ( x) 的导函数 g ?( x) 有两个零点; ④若 a≥ b ? 0 ,则方程 g ( x) ? 0 必有 3 个实数根; 1, 其中,所有正确结论的序号是________

g (n) ? g (m) ? 0 恒成立; n?m

【答案】①② 【解析】 试题分析:① 对 于 [?c , c ](c? 0) 的 任 意 实 数 m, n( m? n), 内

g (n) ? g (m) ? 0 恒成 n?m

立 , 由 函 数 的 图 象 可 以 看 出 , 函 数 在 [? 1, 1] 单 调 增 函 数 , 故 命 题 正 确 ; 内

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.)
17.(本小题满分 12 分) 已知向量 a

?

? ? ? ? ? (1, y ), b ? (1,?3), 且(2a ? b ) ? b

(1)求

a ,并求 a 在 b 上的投影

?

?

(2)若 k a ? 2b // 2a ? 4b ,求 k 的值,并确定此时它们是同向还是反向?
? ? ? 【答案】(1) a ? b ? ? 10 ;(2) k ? ?1 . 2 b

?

??

?

? ? ? ? 1 ? ? ? ka ? 2b ? (1, ?8),? ka ? 2b ? ? (2a ? 4b) 2

? ? ? ? ? 此时ka ? 2b与2a ? 4b反向 ?12 分

18.(本小题满分 12 分)在 ?ABC 中, cos B ? (Ⅰ)求 sin A 的值; (Ⅱ)若 AB ? 2 3 ,求 ?ABC 的面积.

2 ? 1 , sin( ? C ) ? . 2 2 2

【答案】(Ⅰ)

2? 6 . (Ⅱ) 3 ? 3 . 4

【解析】 试题分析:(Ⅰ)利用三角函数诱导公式及两角和差的三角函数.

19.(本小题满分 12 分)已知等差数列 ?an ? (n ? N ) 的前 n 项和为 S n ,且 a3 ? 5, S3 ? 9 .
?

(I)求数列 ? an ? 的通项公式; (II)设等比数列 ?bn ? (n ? N ) ,若 b2 ? a2 , b3 ? a5 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn
?

(Ⅲ)设 bn ?

1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n a n a n ?1
n n ? 2n ? 1 ;(Ⅱ) Tn ? b1 (1 ? q ) ? 1? (1 ? 3 ) ? 1 (3n ? 1) ;

【答案】(Ⅰ) an

1? q

1? 3

2

(Ⅲ)

n . 2n ? 1

【解析】 试题分析:(Ⅰ)两种思路,一是根据等差数列的通项公式、求和公式,建立 a1 , d 的方程 组; 二是利用等差数列的性质,由 S3 ? 9 ,得 a2 ? 3 结合 a3 ? 5 ,确定 d ? 2 . ,

法二:由 S3 ? 9 ,得 3a2 ? 9 ,所以 a2 ? 3 . 又因为 a3 ? 5 ,所以公差 d ? 2 . 从而 an ? a2 ? (n ? 2)d ? 2n ? 1 .

????????(2 分)

?????????(3 分) ???????(4 分)

(Ⅱ)由上可得 b2 ? a2 ? 3 , b3 ? a5 ? 9 ,所以公比 q ? 3 , 从而, b1

?1

??????????(6 分)

所以. Tn ?

b1 (1 ? q n ) 1? (1 ? 3n ) 1 n ? ? (3 ? 1) 1? q 1? 3 2

???????(8 分)

20.(本小题满分 12 分)设 a =(2cos x ,1), b =(cos x , 3 sin2 x ), f ( x) = a · b , x ? R.

?

?

?

?

? ],求 x 的值; 2 ? ⑵ 若函数 g ( x) = cos(? x ? ) ? k ( ? ? 0, k ? R )与 f ( x) 的最小正周期相同,且 g ( x) 3
⑴ 若 f ( x) =0 且 x ? [ 0 , ? 的图象过点( ,2),求函数 g ( x) 的值域及单调递增区间. 6

(2)由(1)知 T ? ? ∴ ? ? ∴ g ( x) = cos(2 x ?

2?

?
3

?

?2

) ?1

cos(2 x ? ) ? ? ?1,1? 3
? ?

?

? g ( ) ? cos( ? ) ? k ? 2 ∴ k ? 1 ??8 分 6 3 3

?

?

?

∴ g ( x) 的值域为 ? 0, 2 ? ,单调递增区间为 ? k? ?

?
3

, k? ?

??
6? ?

(k ? z ) .????12 分

考点:平面向量的坐标运算,三角函数的和差倍半公式,三角函数的性质.

21.(本小题满分 12 分) 岛 A 观察站发现在其东南方向有一艘可疑船只,正以每小时 10 海里的速度向东南方向航行,观察站即刻通知在岛 A 正南方向 B 处巡航的海监船前往检 查.接到通知后,海监船测得可疑船只在其北偏东 75°方向且相距 10 海里的 C 处,随即以 每小时 10 海里的速度前往拦截.

(I)问:海监船接到通知时,距离岛 A 多少海里? (II)假设海监船在 D 处恰好追上可疑船只,求它的航行方向及其航行的时间.

22.(本小题满分 14 分)已知函数 f ? x ? ? x ? x ? a ? , a 是大于零的常数.
2

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求 f ( x) 的极值; (Ⅱ)若函数 f ( x) 在区间 ?1 , 2 ? 上为单调递增,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)证明:曲线 y ? f ( x) 上存在一点 P ,使得曲线 y ? f ( x) 上总有两点 M , N ,且

MP ? PN 成立.

P(

2a 2 3 , a ). 3 27

设 M ( x , y) 是图象任意一点,由 MP ? PN ,可得 N ( a ? x , 根据 f ( a ? x) ?

????

??? ?

4 3

4 3 a ? y) , 27

4 3 a ? y ,可知点 N 在曲线 y ? f ( x) 上,作出结论. 27 a 4 3 本题难度较大,关键是能否认识到极大值、极小值点 A( , a ) , B(a, 0) 的中点即为所 3 27
求.

4 3

(Ⅱ) f ? ? x ? ? 3x ? 4ax ? a ,若函数 f ( x) 在区间 ?1, 2 ? 上为单调递增,
2 2

则 f ? ? x ? ? 3x ? 4ax ? a ? 0 在 x ? ?1, 2? 上恒成立,
2 2



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