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第2周 数学竞赛研究



第二周 数学竞赛研究(2016 联赛真题) 每道题目 8 分 1、 设实数 a 满足满足 a ? 9a ? 11a ? a ,则 a 的取值范围是__________.
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2、 设复数 z , w 满足 z ? 3 , ( z ? w)( z ? w) ? 7 ? 4i ,其中 i 是虚数单位, z , w 表示分 别表示 z , w 的共轭复数,则 ( z ? 2w)( z ? 2w) 的值为___________. 3、 正实数 u, v, w 均不等于 1, logu vw ? logv w ? 5 , log v u ? log w v ? 3 ,则 log w u 的值 为___________. 4、 袋子 A 中装有 2 张 10 元纸币和 3 张 1 元纸币,袋子 B 中装有 4 张 5 元纸币和 3 张 1 元 纸币.现随机从两个袋子中各取出两张纸币,则 A 中剩下的纸币面值之和大于 B 中剩下 的纸币之和的概率为_____________. 5、 设 P 为一圆锥的顶点, A, B, C 是其底面圆周上的三点,满足∠ABC =90 , M 为 AP 的中点.若 AB ? 1, AC ? 2, AP ? 6、 设 函 数 f(x)=sin
4
o

2 ,则二面角 M ? BC ? A 的大小为______________.

kx kx ,其中 k 是一个正整数.若对任意实数 a ,均有 + cos 4 10 10

{ f ( xa )| <x a < + 1 } = { f? ( x ) | x,则 Rk }的最小值为_____________.
7、 双曲线 C 的方程为 x ?
2

y2 ? 1 ,左、右焦点分别为 F1 、F2 .过点 F2 作一直线与双曲线 C 3

的右半支交于点 P,Q ,使得∠F 1 PQ 的内切圆半径是_____________. 1 PQ ? 90 ,则 △F 8、 设 a1 , a2 , a3 , a4 是 1,2 , … , 100 中 的 4 个 互 不 相 同 的 数 , 满 足
2 这 样 的 有 序 数 组 (a12 +a22 +a32 ) ( ? a22 +a32 +a42)( = a1a2 +a2a3 +a3a4)

(a1,a2,a3,a4) 的个数为____________.

说明: (1)每周的题目有一定难度,有国一目标的同学必做; (2)要求独立研究完成,做完(可交部分题目)后写上班级、姓名交给潘老师; (3)用 A4 纸(收好每一张)或者准备一本作业本来书写,规范的书写才算对; (4)做的好的同学将直接入选高一数学竞赛班; (潘老师考察) (5)每道题目必须有解答过程,否则不予批改。

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