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【名师伴你行】2015届高考文科数学二轮复习专题突破课件:2-2-1 三角函数的图象与性质



名师伴你行 · 高考二轮复习 · 数学(文)

基 础 记 忆 提 能 专 训

[二轮备考讲义]
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[二轮备考讲义]

第二部分 专题二 第1讲

第 1页

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础 记 忆 提 能 专 训

第二部分 二轮知识专题大突破
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第二部分 专题二 第1讲

第 2页

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基 础 记 忆 提 能 专 训

专题二
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三角函数及解三角形

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第二部分 专题二 第1讲

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基 础 记 忆 提 能 专 训

第一讲
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三角函数的图象与性质

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第二部分 专题二 第1讲

第 4页

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高考对三角函数的考查主要有以下几方面:
基 础 记 忆

?1?三角函数的化简求值,以选择题、填空题为主,考查三角 恒等变换,属容易题. ?2?对三角函数的图象的考查有三个方面: ①利用“五点法”作出图象;
提 能 专 训

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②图象变换; ③由三角函数的图象 ?部分?确定三角函数的解析式 ., 既有客 观题也有解答题,其难度中档偏下.

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第二部分 专题二 第1讲

第 5页

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?3?三角函数的性质是高考的一个重点, 它既有直接考查的客
基 础 记 忆

观题,也有综合考查的主观题,常通过三角变换,将其转化为 y =Asin?ωx+φ?的形式,再研究其性质?定义域、值域、单调性、 奇偶性、周期性?. ?4?三角函数的图象与性质经常与平面向量相结合进行综合
提 能 专 训

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考查. 在备考中应熟练掌握和、差、倍角公式及常用变形,以及各 种常用的变换技巧,三角函数的图象、性质、图象变换等.

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第二部分 专题二 第1讲

第 6页

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基 础 记 忆

基础记忆
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试做真题

基础要记牢,真题须做熟

提 能 专 训

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基础知识不“背死” ,就不能“用活” !
基 础 记 忆

1.巧记六组诱导公式 kπ 对于“ 2 ± α, k∈Z 的三角函数值”与“角 α 的三角函数值” 的关系可按此口诀记忆:奇变偶不变,符号看象限.
提 能 专 训

热 点 盘 点

2.辨明常用三种函数的易误性质

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第二部分 专题二 第1讲

第 8页

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函数
基 础 记 忆

y=sin x

y=cos x

y=tan x

图象
提 能 专 训

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第二部分 专题二 第1讲

第 9页

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函数
基 础 记 忆

y=sin x π π 在-2+2kπ,2 +2kπ(k∈Z)上

y=cos x 在[-π+ 2kπ,2kπ](k

y=tan x

单调性
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π π ∈Z)上单调 在- +kπ, 2 2 单调递增; 递增;在 +kπ(k∈Z)上 π 3π 在2+2kπ, 2 [2kπ,π+ 单调递增 +2kπ(k∈Z)上 2kπ](k∈Z) 单调递减 上单调递减

提 能 专 训

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第二部分 专题二 第1讲

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函数
基 础 记 忆

y=sin x

y=cos x

y=tan x

热 点 盘 点

对称中心: (kπ,对称中心:π 2 0)(k∈Z); +kπ,0(k∈ 对称中心: 对称轴: 对称性 ?kπ ? Z); ? ,0?(k∈Z) π ?2 ? x=2+kπ(k∈ 对称轴: Z) x=kπ(k∈Z)

提 能 专 训

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3.识破三角函数图象的两种常见变换
基 础 记 忆

(1)y = sin

向左?φ>0?或向右?φ<0? x ――→ y = sin(x + φ) 平移|φ|个单位 y=sin(ωx+φ)
提 能 专 训

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纵坐标变为原来的A倍 ――→ y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0). 横坐标不变

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第二部分 专题二 第1讲

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基 础 记 忆

(2)y ωx



sin

x y =

y



sin +
提 能 专 训

sin(ωx

纵坐标变为原来的A倍 φ) ――→ y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0). 横坐标不变
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第二部分 专题二 第1讲

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高考真题要回访,做好真题底气足
基 础 记 忆

1 . (2014· 陕西高考 ) 函数 ( ) π A.2 B.π C.2π

? π? f(x) = cos ?2x-6? 的最小正周期是 ? ?
提 能 专 训

D.4π

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答案:B 2π 解析:∵T= 2 =π,∴B 正确.

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第二部分 专题二 第1讲

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? π? π 2. (2014· 辽宁高考)将函数 y=3sin?2x+3?的图象向右平移 个 2 ? ?
基 础 记 忆

单位长度,所得图象对应的函数(
?π 7π? A.在区间?12,12?上单调递减 ? ? ?π 7π? B.在区间?12,12?上单调递增 ? ?

)
提 能 专 训

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? π π? C.在区间?-6,3?上单调递减 ? ? ? π π? D.在区间?-6,3?上单调递增 ? ?

答案:B
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第15页

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解析:将
基 础 记 忆

? π? π ? ? y=3sin 2x+3 的图象向右平移 个单位长度后得到 2 ? ? ? 2π? π ? ? y=3sin 2x- 3 的图象,令- +2kπ≤2x 2 ? ?

? π? π y=3sin2?x-2?+ ,即 ? ? 3

2π π π 7π - ≤ +2kπ,k∈Z,化简可得 x∈ +kπ, +kπ,k∈Z,即 3 2 12 12
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提 能 专 训

函数

? 2π? π 7π ? ? y=3sin 2x- 3 的单调递增区间为12+kπ,12+kπ,k∈Z, ? ?

令 k=0,可得
? 2π? π 7π ? ? y=3sin 2x- 3 在区间12,12上单调递增,故选 ? ?

B.

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第二部分 专题二 第1讲

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3. (2014· 安徽高考)若将函数 f(x)=sin 2x+cos 2x 的图象向右
基 础 记 忆

平移 φ 个单位, 所得图象关于 y 轴对称, 则 φ 的最小正值是( π π 3π 5π A.8 B.4 C. 8 D. 4

)
提 能 专 训

答案:C
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解析:f(x)=sin 2x+cos 2x=
基 础 记 忆

? π? 2sin?2x+4?,将其图象向右平 ? ? ? ? π 2sin?2x+4-2φ?的图 ? ?

移 φ 个单位得到 g(x)= 象.

? ? ?? π 2sin?2?x+8-φ??= ? ? ??

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∵g(x)= 为偶函数,

? ? π 2sin?2x+4-2φ?的图象关于 ? ?

提 能 专 训

y 轴对称,即函数 g(x)

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第二部分 专题二 第1讲

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基 础 记 忆

π π ∴ -2φ=kπ+ ,k∈Z, 4 2 kπ π 即 φ=- - ,k∈Z. 2 8 3π 因此当 k=-1 时,φ 有最小正值 . 8

提 能 专 训

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第二部分 专题二 第1讲

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4 . (2014·重 庆 高 考 ) 已 知 函 数 f(x) =
基 础 记 忆

3 sin(ωx +

? π π? φ)?ω>0,-2≤φ<2?的图象关于直线 ? ?

π x=3对称,且图象上相邻
提 能 专 训

两个最高点的距离为 π. (1)求 ω 和 φ 的值;
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(2)若

?α ? f?2 ?= ? ?

? 2π? 3π? 3?π ? <α< ?,求 cos?α+ ?的值. 3? 2? 4 ?6 ?

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第二部分 专题二 第1讲

第20页

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解: (1)因为 f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为 π, 所以 f(x)
基 础 记 忆

2π 的最小正周期 T=π,从而 ω= T =2. π 又因为 f(x)的图象关于直线 x= 对称, 3 π π 所以 2×3+φ=kπ+2,k=0,± 1,± 2,?. π π 由-2≤φ<2,得 k=0, π 2π π 所以 φ= - =- . 2 3 6
提 能 专 训

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第二部分 专题二 第1讲

第21页

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(2)由(1),得
基 础 记 忆

?α? f? 2 ?= ? ?

? α π? -6?= 3sin?2· 2 ? ?

3 4,
提 能 专 训

所以
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? π? 1 sin?α-6?=4. ? ?

π 2π π π 由6<α< 3 ,得 0<α-6<2, 所以 =
? π? cos?α-6?= ? ? ?1? 1-?4?2= ? ?

1-sin

2

? π? ?α- ? 6? ?

15 . 4
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第22页

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因此
基 础 记 忆

? 3π? cos?α+ 2 ?=sin ? ?

α

?? π? π? ?? =sin? α-6?+6? ? ? ?? ? ? ? π? π π? π =sin?α-6?cos +cos?α-6?sin 6 6 ? ? ? ?

提 能 专 训

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1 3 15 1 =4× 2 + 4 ×2 3+ 15 = . 8

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第二部分 专题二 第1讲

第23页

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基 础 记 忆

热点盘点
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细研深究

提 能 专 训

必须回访的热点名题

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第二部分 专题二 第1讲

第24页

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利用同角基本关系式及诱导公式求值
基 础 记 忆

[试题调研] [例 1]
?π 3π? ? , ?,则 2? ?2

π 3 (1)(2014· 辽宁五校联考)已知 cos2+α=5,且 α∈ tan α=( 3 B.4 ) 3 C.-4 3 D.± 4

提 能 专 训

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4 A.3

[命题意图] 式的应用.
[答案] B

本题考查三角函数的诱导公式及同角基本关系

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第二部分 专题二 第1讲

第25页

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[解析]
基 础 记 忆

因为

?π ? 3 cos?2+α?= ,所以 ? ? 5

3 sin α=- ,因为 α 在第三 5

4 3 象限,所以 cos α=-5,故 tan α=4.

提 能 专 训

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第二部分 专题二 第1讲

第26页

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(2)(2014· 安徽高考)设函数 f(x)(x∈R)满足 f(x+π)=f(x)+sin
基 础 记 忆

x.当 0≤x<π 时,f(x)=0,则 1 A.2 3 B. 2

?23π? f? 6 ?=( ? ?

)
提 能 专 训

C.0

1 D.-2

[命题意图]
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本题是函数与三角运算问题,主要考查函数三

要素及三角运算.
[答案] A

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第二部分 专题二 第1讲

第27页

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[解析]
基 础 记 忆

∵f(x+π)=f(x)+sin x,

∴f(x+2π)=f(x+π)-sin x. ∴f(x+2π)=f(x)+sin x-sin x=f(x). ∴f(x)是以 2π 为周期的周期函数.
提 能 专 训

热 点 盘 点



?23π? ? π? ? π? f? 6 ?=f?4π-6?=f?-6?, ? ? ? ? ? ?

? π ? ? π? ? π? f?-6+π?=f?-6?+sin?-6?, ? ? ? ? ? ? ?5π? ? π? 1 ∴f? 6 ?=f?-6?-2. ? ? ? ?

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第二部分 专题二 第1讲

第28页

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∵当 0≤x<π
基 础 记 忆

?5π? 时,f(x)=0,∴f? 6 ?=0, ? ?

?23π? ? π? 1 ∴f? 6 ?=f?-6?=2.故选 ? ? ? ?

A.
提 能 专 训

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第二部分 专题二 第1讲

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基 础 记 忆

1.结合诱导公式与同角基本关系式化简求值的策略 sin α (1)切弦互换法:利用 tan α=cos α进行转化. (2)和积转化法: 利用(sin α± cos α)2=1± 2sin αcos α 进行变形、
提 能 专 训

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转化.

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第二部分 专题二 第1讲

第30页

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(3)常值代换法:其中之一就是把 1 代换为 sin2α+cos2α.同角
基 础 记 忆

sin α 三角函数关系 sin α+cos α=1 和 tan α=cos α联合使用,可以根
2 2

据角 α 的一个三角函数值求出另外两个三角函数值.根据 tan α sin α = 可以把含有 sin α,cos α 的齐次式化为 tan α 的关系式. cos α

提 能 专 训

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第二部分 专题二 第1讲

第31页

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2.化简求值时的“三个”防范措施
基 础 记 忆

(1)函数名称和符号. 利用诱导公式化简求值时, 先利用公式 化任意角的三角函数与锐角的三角函数, 其步骤是去负—脱周— 化锐—求值,特别注意解题过程中函数名称和符号的确定. (2)开方. 在利用同角三角函数的平方关系时, 若开方特别注
提 能 专 训

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意根据条件进行讨论取舍. (3)结果整式化. 解题时注意求值与化简的最后结果一般要尽 可能整式化.

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第二部分 专题二 第1讲

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[回访名题]
基 础 记 忆

?2π ? π 1 (1)(2014· 唐山一模)若 sin6-α=3,则 cos? 3 +2α?=( ? ?

)
提 能 专 训

7 A.-9
答案:A

7 B.9

2 C.-9

2 D.9

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第二部分 专题二 第1讲

第33页

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基 础 记 忆

?π ? 1 解析:∵sin?6-α?= , ? ? 3 ?π ?π ?? 1 ? ∴sin?2-?3+α?? =3, ? ? ?? ? ?π ? 1 ∴cos?3+α?= , ? ? 3

提 能 专 训

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?2π ? ? ? 1 7 2 π ? ? ? ? ∴cos 3 +2α =2cos 3+α -1=2×9-1=-9,故选 ? ? ? ?

A.

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第二部分 专题二 第1讲

第34页

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(2)(2014· 湖北黄冈二模)已知函数 f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx
基 础 记 忆

+β),且 f(4)=3,则 f(2 013)的值为( A.-1
答案:D

)
提 能 专 训

B.1

C.3

D.-3

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第二部分 专题二 第1讲

第35页

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解析:∵f(4)=asin(4π+α)+bcos(4π+β)=asin α+bcos β=
基 础 记 忆

3, ∴f(2 013)=asin(2 013π+α)+bcos(2 013π+β) =asin(π+α)+bcos(π+β) =-asin α-bcos β
提 能 专 训

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=-(asin α+bcos β) =-3. 即 f(2 013)=-3.故选 D.

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函数 y=Asin(ωx+φ)的解析式及图象变换
基 础 记 忆

[试题调研]

[例 2]
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(1)(2014· 全国新课标Ⅰ)如图,圆 O 的半径为 1,A

提 能 专 训

是圆上的定点,P 是圆上的动点,角 x 的始边为射线 OA,终边 为射线 OP, 过点 P 作直线 OA 的垂线, 垂足为 M.将点 M 到直线 OP 的距离表示成 x 的函数 f(x),则 y=f(x)在[0,π]的图象大致为 ( )
[二轮备考讲义] 第二部分 专题二 第1讲
第37页

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基 础 记 忆 提 能 专 训 热 点 盘 点

[命题意图]

本题考查函数的解析式及三角函数的图象,意

在考查考生识图、用图的能力.
[答案] B

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第二部分 专题二 第1讲

第38页

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[解析]
基 础 记 忆

由题意知,f(x)=|cos x|· sin x,当

? π? x∈?0,2?时,f(x) ? ?

?π ? 1 =cos xsin x=2sin 2x;当 x∈?2,π?时,f(x)=-cos xsin x= ? ?

1 - sin 2x,故选 B. 2
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第二部分 专题二 第1讲

第39页

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(2)(2014· 四川高考)为了得到函数 y=sin(2x+1)的图象, 只需
基 础 记 忆

把函数 y=sin 2x 的图象上所有的点( 1 A.向左平行移动2个单位长度 1 B.向右平行移动 个单位长度 2

)
提 能 专 训

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C.向左平行移动 1 个单位长度 D.向右平行移动 1 个单位长度
[答案] A

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第二部分 专题二 第1讲

第40页

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[解析]
基 础 记 忆

根据三角函数图象的平移和伸缩变换求解.

1 y = sin 2x 的图象向左平移 2 个单位长度得到函数 y = sin
? 1? 2?x+2?的图象,即函数 ? ?

y=sin(2x+1)的图象.

提 能 专 训

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第二部分 专题二 第1讲

第41页

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基 础 记 忆

1.函数 y=Asin(ωx+φ)的解析式的确定 最大值-最小值 (1)A 由最值确定,A= ; 2 (2)ω 由周期确定;
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(3)φ 由图象上的特殊点确定.

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第二部分 专题二 第1讲

第42页

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提醒:根据“五点法”中的零点求 φ 时,一般先依据图象的
基 础 记 忆

升降分清零点的类型. 2.作三角函数图象左右平移变换时,平移的单位数是指单 个变量 x 的变化量, 因此由 y=sin ωx(ω>0)的图象得到 y=sin(ωx
提 能 专 训

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|φ| +φ)的图象时,应将图象上所有点向左(φ>0)或向右(φ<0)平移 ω 个单位,而非|φ|个单位.

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第二部分 专题二 第1讲

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[回访名题]
基 础 记 忆

(1)(2014· 浙江高考)为了得到函数 y=sin 3x+cos 3x 的图象, 可以将函数 y= 2cos 3x 的图象( π A.向右平移 个单位 4 ) π B.向左平移 个单位 4 π D.向左平移12个单位
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π C.向右平移12个单位
答案:C

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第二部分 专题二 第1讲

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基 础 记 忆

? π? π 解析: 因为 y=sin 3x+cos 3x= 2cos3x- = 2cos3?x-12?, 4 ? ?

π 所以将函数 y= 2cos 3x 的图象向右平移12个单位后,可得到 y =
? π? 2cos?3x-4?的图象,故选 ? ?

C.

提 能 专 训

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第二部分 专题二 第1讲

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(2)(2014· 陕西五校联考 ) 如图是函数 y = Asin(ωx + φ)A>0 ,
基 础 记 忆

π ω>0,|ω|≤2图象的一部分.为了得到这个函数的图象,只要将 y =sin x(x∈R)的图象上所有的点( )
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第二部分 专题二 第1讲

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基 础 记 忆

π A.向左平移3 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到 1 原来的 ,纵坐标不变 2 π B.向左平移 3个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到
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原来的 2 倍,纵坐标不变

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第二部分 专题二 第1讲

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π C. 向左平移 个单位长度, 再把所得各点的横坐标缩短到原 6
基 础 记 忆

1 来的2,纵坐标不变 π D. 向左平移 个单位长度, 再把所得各点的横坐标伸长到原 6

提 能 专 训

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来的 2 倍,纵坐标不变
答案:A

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第二部分 专题二 第1讲

第48页

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2π 解析: 由图象可知, A=1, T=π= , 得 ω=2, 即 y=sin(2x ω
基 础 记 忆

?π ? π ? ? + φ) ,又函数图象过点 3,0 , |φ|≤ 2 ,可知 ? ? ? π? sin?2x+3?.根据图象平移可知,只需将 ? ?

π φ = 3 ,于是 y =

π y=sin x 的图象向左平移 3

提 能 专 训

热 点 盘 点

个单位, 得

? π? y=sin?x+3?, 再将 ? ?

π y=sinx+3上各点横坐标缩短为原

1 来的2,纵坐标不变即可,故选 A.

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第二部分 专题二 第1讲

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三角函数的性质
基 础 记 忆

[试题调研] [ 例 3] (1)(2014· 天津高考 ) 已知函数 f(x) = 3sin ωx + cos
提 能 专 训

ωx(ω>0),x∈R.在曲线 y=f(x)与直线 y=1 的交点中,若相邻交 π 点距离的最小值为3,则 f(x)的最小正周期为(
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) D.2π

π A. 2
[答案] C

2π B. 3

C .π

[二轮备考讲义]

第二部分 专题二 第1讲

第50页

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[解析]
基 础 记 忆

利用辅助角公式把函数 f(x)表示为正弦型函数,解

出交点的横坐标,然后根据距离求出 ω. f(x)= 3sin ωx+cos 由
? π? ωx=2sin?ωx+6?(ω>0). ? ? ? π? 1 sin?ωx+6?= , ? ? 2
提 能 专 训

? π? 2sin?ωx+6?=1,得 ? ?

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π π π 5π ∴ωx+6=2kπ+6或 ωx+6=2kπ+ 6 (k∈Z). π π π 5π 令 k=0,得 ωx1+ = ,ωx2+ = , 6 6 6 6

[二轮备考讲义]

第二部分 专题二 第1讲

第51页

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2π ∴x1=0,x2= . 3ω
基 础 记 忆

π 2π π 由|x1-x2|=3,得3ω=3,∴ω=2. 2π 故 f(x)的最小正周期 T= =π. 2

提 能 专 训

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第二部分 专题二 第1讲

第52页

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(2)(2014· 福建高考)已知函数 f(x) =2cos x(sin x+cos x).
基 础 记 忆

①求

?5π? f? 4 ?的值; ? ?
提 能 专 训

②求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间. [思路方法]
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5π ①将 x= 代入,利用诱导公式进行化简;② 4

先利用三角恒等变换公式化简函数式, 再利用三角函数的性质求 解.

[二轮备考讲义]

第二部分 专题二 第1讲

第53页

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[解析]
基 础 记 忆

?5π? 解法一:①f? 4 ?=2cos ? ?

5π 5π? 5π? ?sin ? +cos 4 4? 4?

π π? π? =-2cos ?-sin 4-cos 4?=2. 4? ? ②因为 f(x) =2sin xcos x+2cos2 x=sin 2x+cos 2x+1= 2 sin
? π? ?2x+ ?+1, 4? ?
提 能 专 训

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2π 所以 T= =π. 2 π π π 由 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z,得 2 4 2 3π π kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 8 8
[二轮备考讲义] 第二部分 专题二 第1讲
第54页

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所以
基 础 记 忆

? 3π π? f(x)的单调递增区间为?kπ- 8 ,kπ+8?,k∈Z. ? ?

解法二:f(x)=2sin xcos x+2cos2 x=sin 2x+cos 2x+1= 2
? π? sin?2x+4?+1. ? ? ?5π? ①f? 4 ?= ? ?
提 能 专 训

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11π 3π 2sin +1= 2sin +1=2. 4 4

2π ②T= 2 =π.

[二轮备考讲义]

第二部分 专题二 第1讲

第55页

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π π π 由 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z,得 2 4 2
基 础 记 忆

3π π kπ- 8 ≤x≤kπ+8,k∈Z. 所以
? 3π π? f(x)的单调递增区间为?kπ- 8 ,kπ+8?,k∈Z. ? ?

提 能 专 训

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第二部分 专题二 第1讲

第56页

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基 础 记 忆

1.研究函数 y=Asin(ωx+φ)的性质的“两种”意识. (1)转化意识: 利用三角恒等变换把待求函数化成 y=Asin(ωx +φ)+B 的形式. (2)团体意识: 类比于研究 y=sin x 的性质, 只需将 y=Asin(ωx
提 能 专 训

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+φ)中的“ωx+φ”看成 y=sin x 中的“x”代入求解便可.

[二轮备考讲义]

第二部分 专题二 第1讲

第57页

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提醒:在求 y=Asin(ωx+φ)的单调区间时,要特别注意 A 和
基 础 记 忆

ω 的符号,必要时通过诱导公式先将 ω 的符号化为正的. 2.由函数奇偶性求 φ 值的“四个”常用结论. (1)函数 y=Asin(ωx+φ)为奇函数?φ=kπ(k∈Z).
提 能 专 训

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π (2)函数 y=Asin(ωx+φ)为偶函数?φ=kπ+2(k∈Z). (3)函数 y=Acos(ωx+φ)为偶函数?φ=kπ(k∈Z). π (4)函数 y=Acos(ωx+φ)为奇函数?φ=kπ+2(k∈Z).
[二轮备考讲义] 第二部分 专题二 第1讲
第58页

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[回访名题]
基 础 记 忆

(1)(2014· 全国新课标Ⅱ)函数 f(x)=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+ φ)的最大值为________.
答案:1
提 能 专 训

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第二部分 专题二 第1讲

第59页

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解析:本题主要考查和差角公式的应用,考查三角函数的最
基 础 记 忆

值问题,意在考查考生的恒等变形能力与运算求解能力. f(x)=sin[(x+φ)+φ]-2sin φcos(x+φ) =sin(x+φ)cos φ-cos(x+φ)sin φ =sin(x+φ-φ)=sin x,
提 能 专 训

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因 为 x∈R,所以 f(x)的最大值为 1. .

[二轮备考讲义]

第二部分 专题二 第1讲

第60页

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(2)(2014· 广州质检)已知函数 f(x)=sin x+acos x 的图象经过
基 础 记 忆

? π ? 点?-3,0?. ? ?

①求实数 a 的值; ②设 g(x)=[f(x)]2-2,求函数 g(x)的最小正周期与单调递增
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提 能 专 训

区间.

[二轮备考讲义]

第二部分 专题二 第1讲

第61页

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解:①因为函数 f(x)=sin x+acos x
基 础 记 忆

? π ? 的图象经过点?-3,0?, ? ?

所以 即

? π? f?-3?=0. ? ?

? π? ? π? sin?-3?+acos?-3?=0, ? ? ? ?

提 能 专 训

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3 a 即- 2 +2=0,解得 a= 3. ②由①得,f(x)=sin x+ 3cos x.

[二轮备考讲义]

第二部分 专题二 第1讲

第62页

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所以 g(x)=[f(x)]2-2
基 础 记 忆

=(sin x+ 3cos x)2-2 =sin2x+2 3sin xcos x+3cos2x-2 = 3sin 2x+cos 2x
提 能 专 训

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? =2? ? ?

? 3 1 ? sin 2x+ cos 2x? 2 2 ?

? =2?sin ?

π π? 2xcos6+cos 2xsin6? ?

? π? =2sin?2x+6?. ? ?

[二轮备考讲义]

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第63页

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2π 所以函数 g(x)的最小正周期为 =π. 2
基 础 记 忆

π π 因为函数 y=sin x 的单调递增区间为 2kπ-2, 2kπ+2(k∈Z), π π π 所以当 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ (k∈Z)时,函数 g(x)单调递 2 6 2

提 能 专 训

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π π 增,即 kπ-3≤x≤kπ+6(k∈Z)时,函数 g(x)单调递增,所以函数 π π g(x)的单调递增区间为 kπ- ,kπ+ (k∈Z). 3 6

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基 础 记 忆 提 能 专 训 热 点 盘 点

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[典例]
基 础 记 忆

(2014· 山东高考)已知向量 a=(m,cos 2x),b=(sin
?π y = f(x) 的图象过点 ?12, ? ? 3? 和点 ?
提 能 专 训

2x , n) ,函数 f(x) = a· b ,且
?2π ? ? ,-2?. ?3 ?

(1)求 m,n 的值;
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(2)将 y=f(x)的图象向左平移 φ(0<φ<π)个单位后得到函数 y =g(x)的图象,若 y=g(x)图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小 值为 1,求 y=g(x)的单调递增区间.

[二轮备考讲义]

第二部分 专题二 第1讲

第66页

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[命题意图]
基 础 记 忆

本题主要考查平面向量的数量积、三角函数的

图象与性质、三角函数的图象变换等基础知识,考查函数与方程 思想、化归与转化思想等,考查考生的运算求解能力.
提 能 专 训

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第67页

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[审题策略]
基 础 记 忆

(1)求出 f(x),利用函数 y=f(x)图象过的两个已

知点得出关于 m,n 的方程组解之即得;(2)通过三角恒等变换得 出函数 f(x)的解析式,再根据三角函数图象的变换方法得出函数 g(x)的解析式,再根据 y=g(x)图象各最高点到点(0,3)的距离的最 小值为 1 确定 φ 值,最后根据三角函数的单调区间得出函数 g(x)
提 能 专 训

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的单调递增区间.

[二轮备考讲义]

第二部分 专题二 第1讲

第68页

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[解析]
基 础 记 忆

(1)由题意知,f(x)=a· b=msin 2x+ncos 2x.
? 3 ?和 ?
提 能 专 训

因为

?π y=f(x)的图象过点?12, ?

?2π ? ? ,-2?, ?3 ?

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π π ? ? 3=msin6+ncos6, 所以? ?-2=msin 4π+ncos 4π, 3 3 ?

[二轮备考讲义]

第二部分 专题二 第1讲

第69页

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基 础 记 忆

? ? 3=1m+ 3n, 2 2 ? 即? 3 1 ? ?-2=- 2 m-2n, ? 解得 m= 3,n=1 ①.

提 能 专 训

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(2)由(1)知,f(x)= 3sin 2x+cos 由题意知,

? π? 2x=2sin?2x+6?. ? ?

[二轮备考讲义]

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基 础 记 忆

? π? ② g?x?=f?x+φ?=2sin?2x+2φ+6? . ? ?

设 y=g(x)的图象上符合题意的最高点为(x0,2),
2 由题意知,x0 +1=1,所以 x0=0,

即到点(0,3)的距离为 1 的最高点为(0,2).
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提 能 专 训

将其代入 y=g(x),得
? π? sin?2φ+6?=1. ? ?

[二轮备考讲义]

第二部分 专题二 第1讲

第71页

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π 因为 0<φ<π,所以 φ= . 6
基 础 记 忆

? π? 因此 g?x?=2sin?2x+2?=2cos ? ?

2x ③.
提 能 专 训

由 2kπ-π≤2x≤2kπ,k∈Z,得 π kπ- ≤x≤kπ,k∈Z. 2
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所以函数 y=g(x)的单调递增区间为
? ? π ?kπ- ,kπ?,k∈Z.④ 2 ? ?

[二轮备考讲义]

第二部分 专题二 第1讲

第72页

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[失分警示]
基 础 记 忆

失分点 1:题中①处在解方程组时出现误解而

得不到 m 与 n 的正确取值. 失分点 2:题中②处忽略左右平移时需满足的条件而错误的 得出 g(x)的表达式. 失分点 3:题中③处错用诱导公式.
提 能 专 训

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失分点 4:题中④处易忽略不注明 k∈Z 而失分.

[二轮备考讲义]

第二部分 专题二 第1讲

第73页

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[答题指导]
基 础 记 忆

1.与三角函数式化简有关的规律方法

(1)三角恒等变换的常用思路为: 切化弦, 多元要想办法消元, 有差异时找其中联系, 出现高次时想降幂, 有特殊角时考虑求值. (2)辅助角公式:对形如 y=asin ωx+bcos ωx 型的三角函数, 通常化为 y= a2+b2sin(ωx+φ) 形式.
提 能 专 训

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[二轮备考讲义]

第二部分 专题二 第1讲

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2.与三角函数性质有关的规律方法
基 础 记 忆

(1)整体代换法:求 y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的单调区间、周期、 值域、对称轴及对称中心时,将 ωx+φ 视为一个整体,结合正弦 曲线的性质解决. (2)换元法:在求三角函数的值域求最值时,有时将 sin x(求
提 能 专 训

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cos x)视作整体,转化为二次函数求解. 3.失分误区:①忽视函数名称;②忽视平移单位;③忽视 正、余弦函数的有界性;④忽视 ω 的符号;⑤忽视注明 k∈Z.

[二轮备考讲义]

第二部分 专题二 第1讲

第75页

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4.充分利用三角函数的图象与性质、诱导公式、恒等变换
基 础 记 忆

公式,同时借助辅助角公式及换元、整体转化法,这样三角函数 的综合问题就可以完美解决.
提 能 专 训

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基 础 记 忆

进入提能专训(八)
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