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步步高2015高考数学(人教A理)一轮讲义:4.2同角三角函数的基本关系与诱导公式



§ 4.2 同角三角函数基本关系及诱导公式

1. 同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:sin2α+cos2α=1. (2)商数关系: sin α =tan α. cos α

2. 下列各角的终边与角 α 的终边的关系 角 2kπ+α (k∈Z) π+α -α

图示

与角 α 终边的 关系


[ 来源:z§ zs§tep.com]

相同

关于原点对称

关于 x 轴对称

π-α

π -α 2

π +α 2

图示

与角 α 终边的 关系 3. 六组诱导公式 组数 角 正弦 余弦 正切 口诀 一 2kπ+α (k∈Z) sin_α cos_α tan_α

关于 y 轴 对称

关于直线 y=x
出,版网]

[来源: 中,国教,育

对称

二 π+α -sin_α -cos_α tan_α
[来源: 中,国教, 育出, 版网]

三 -α -sin_α cos_α -tan_α

四 π-α sin_α -cos_α -tan_α

五 π -α 2 cos_α sin_α

六 π +α 2

[来源: 中国教育 出版 网 zzs tep.com]

cos_α -sin_α

函数名不变 符号看象限

函数名改变 符号看象限

第 1 页 共 13 页

1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)sin(π+α)=-sin α 成立的条件是 α 为锐角. (2)六组诱导公式中的角 α 可以是任意角. 1 1 (3)若 cos(nπ-θ)= (n∈Z),则 cos θ= . 3 3 m-3 4-2m π (4)已知 sin θ= ,cos θ= ,其中 θ∈[ ,π],则 m<-5 或 m≥3. 2 m+5 m+5 (5)已知 θ∈(0,π),sin θ+cos θ= 3-1 3 ,则 tan θ 的值为- 3或- . 2 3 ( × ( × ( × ( × ) ) ) ) )

( × ( √ ( )

1+2sin αcos α 1 1 (6)已知 tan α=- ,则 的值是- . 2 3 sin2α-cos2α 1 π 2. 已知 sin(π-α)=log8 ,且 α∈(- ,0),则 tan(2π-α)的值为 4 2 2 5 A.- 5 答案 B 1 2 解析 sin(π-α)=sin α=log8 =- , 4 3 π 又 α∈(- ,0), 2 得 cos α= 1-sin2α= 5 , 3 2 5 B. 5 2 5 C .± 5 D. 5 2

[ 来源:中国教育出 版网 zzstep.com]

)

sin α 2 5 tan(2π-α)=tan(-α)=-tan α=- = . cos α 5 2sin α-cos α 3. 若 tan α=2,则 的值为________. sin α+2cos α 答案 3 4

2tan α-1 3 解析 原式= = . tan α+2 4 π ? 2 2π -α = ,则 sin?α- ?=________. 4. 已知 cos? 3? ?6 ? 3 ? 2 答案 - 3 2π? ? π ?π ?? 解析 sin? ?α- 3 ?=sin -2-?6-α?

?

?

π π 2 ?π ? -α?? =-sin?2+? ? ?6 ??=-cos?6-α?=-3.

第 2 页 共 13 页

π ? ?2cos 3x,x≤2 000, 5. 已知函数 f(x)=? 则 f[f(2 015)]=________. ?x-15,x>2 000, ? 答案 -1 解析 ∵f[f(2 015)]=f(2 015-15)=f(2 000), 2 000π 2 ∴f(2 000)=2cos =2cos π=-1. 3 3

题型一 同角三角函数关系式的应用 例1

[ 来源:zzstep.com]

3 (1)已知 cos(π+x)= ,x∈(π,2π),则 tan x=________. 5 (2)已知 tan θ=2,则 sin2θ+sin θcos θ-2cos2θ 等于 4 A.- 3 5 B. 4 3 C.- 4 4 D. 5 ( )

思维启迪 (1)应用平方关系求出 sin x,可得 tan x; (2)把所求的代数式中的弦转化为正切,代入可求. 4 答案 (1) (2)D 3 3 3 解析 (1)∵cos(π+x)=-cos x= ,∴cos x=- . 5 5 又 x∈(π,2π), ∴sin x=- 1-cos2x=- ∴tan x= sin x 4 = . cos x 3 3 4 1-?- ?2=- , 5 5

sin2θ+sin θcos θ-2cos2θ (2)sin2θ+sin θcos θ-2cos2θ= sin2θ+cos2θ sin2θ sin θcos θ + -2 cos2θ cos2θ tan2θ+tan θ-2 22+2-2 4 = = = 2 = . 2 sin θ 5 tan2θ+1 2 +1 +1 cos2θ sin α 思维升华 (1)利用 sin2α+cos2α=1 可以实现角 α 的正弦、余弦的互化,利用 =tan α 可以实现角 cos α α 的弦切互化. (2)应用公式时注意方程思想的应用:对于 sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α 这三个式子,利用(sin α± cos α)2=1± 2sin αcos α,可以知一求二. (3)注意公式逆用及变形应用:1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α. 1+sin x 1 cos x (1)已知 =- ,那么 的值是 cos x 2 sin x-1 ( )

第 3 页 共 13 页

1 A. 2

1 B.- 2

C .2

D.-2

(2)已知 tan θ=2,则 sin θcos θ=________. 2 答案 (1)A (2) 5 1+sin x sin x-1 sin2x-1 解析 (1)由于 · = =-1, cos x cos x cos2x 故 cos x 1 = . sin x-1 2
[ 来源:中教网]

sin θ· cos θ (2)sin θcos θ= 2 sin θ+cos2θ = tan θ 2 2 = 2 = . 2 tan θ+1 2 +1 5

题型二 诱导公式的应用 例2 π 3 ? ?5π ? (1)已知 cos? ?6+α?= 3 ,求 cos? 6 -α?的值; 7 ? 3 (2)已知 π<α<2π,cos(α-7π)=- ,求 sin(3π+α)· tan? ?α-2π?的值. 5 π π 5π 思维启迪 (1)将 +α 看作一个整体,观察 +α 与 -α 的关系. 6 6 6 (2)先化简已知,求出 cos α 的值,然后化简结论并代入求值. 解 ∴ π ? ?5π ? (1)∵? ?6+α?+? 6 -α?=π, π 5π ? -α=π-? ?6+α?. 6

5π ? π -α =cos?π-? +α?? ∴cos? ?6 ? ? ?6 ?? π ? 3 =-cos? ?6+α?=- 3 , 5π ? 3 即 cos? ? 6 -α?=- 3 . (2)∵cos(α-7π)=cos(7π-α) 3 =cos(π-α)=-cos α=- , 5 3 ∴cos α= . 5 7 α- π? ∴sin(3π+α)· tan? ? 2 ?

?-tan?7π-α?? =sin(π+α)· ? ?2 ??
π ? =sin α· tan? ?2-α?

第 4 页 共 13 页

π ? sin? ?2-α? =sin α· π ? cos? ?2-α?

[ 来源:z&zs&tep. com]

cos α 3 =sin α· =cos α= . sin α 5 思维升华 熟练运用诱导公式和基本关系式,并确定相应三角函数值的符号是解题的关键.另外,切 化弦是常用的规律技巧. π? 1 ? 7π? (1)已知 sin? ?α+12?=3,则 cos?α+12?的值为________. 3 3 sin?-α- π?cos? π-α? 2 2 (2)已知 sin α 是方程 5x2-7x-6=0 的根,α 是第三象限角,则 · tan2(π-α)= π π cos? -α?sin? +α? 2 2 ________. 1 9 答案 (1)- (2)- 3 16 π ? π? 7π? ?? 解析 (1)cos? ?α+12?=cos ?α+12?+2

?

?

π? 1 =-sin? ?α+12?=-3. 3 (2)∵方程 5x2-7x-6=0 的根为- 或 2, 5 3 又 α 是第三象限角,∴sin α=- , 5 4 ∴cos α=- 1-sin2α=- , 5 3 - 5 3 sin α ∴tan α= = = , cos α 4 4 - 5 cos α?-sin α? 2 9 ∴原式= · tan α=-tan2α=- . sin α· cos α 16 题型三 三角函数式的求值与化简 例3 1 1 (1)已知 tan α= ,求 的值; 3 2sin αcos α+cos2α 3π -α+ ? tan?π-α?cos?2π-α?sin? 2? ? (2)化简: . cos?-α-π?sin?-π-α? 思维启迪 三角函数式的化简与求值,都是按照从繁到简的形式进行转化,要认真观察式子的规律, 使用恰当的公式. 解 1 (1)因为 tan α= , 3

sin2α+cos2α 1 所以 = 2sin αcos α+cos2α 2sin αcos α+cos2α
第 5 页 共 13 页



tan2α+1 2 = . 2tan α+1 3
[ 来源:中国教育 出版网 zzstep.com]

-tan α· cosα· ?-cos α? (2)原式= cos?π+α?· ?-sin?π+α??

sin α · cos α tan α· cos α· cos α cos α = = =-1. -cos α· sin α -sin α 思维升华 在三角函数式的求值与化简中,要注意寻找式子中的角,函数式子的特点和联系,可以切 化弦,约分或抵消,减少函数种类,对式子进行化简. 2 (1)若 α 为三角形的一个内角,且 sin α+cos α= ,则这个三角形是 3 A.正三角形 C.锐角三角形 (2)已知 tan α=2,sin α+cos α<0, 则 sin?2π-α?· sin?π+α?· cos?π+α? =________. sin?3π-α?· cos?π-α? B.直角三角形 D.钝角三角形 ( )

2 5 答案 (1)D (2)- 5 4 解析 (1)∵(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α= , 9 5 ∴sin αcos α=- <0,∴α 为钝角.故选 D. 18 -sin α· ?-sin α?· ?-cos α? (2)原式= =sin α, sin α· ?-cos α? ∵tan α=2>0,∴α 为第一象限角或第三象限角. 又 sin α+cos α<0,∴α 为第三象限角, 由 tan α= sin α =2, cos α

得 sin α=2cos α 代入 sin2α+cos2α=1, 2 5 解得 sin α=- . 5

方程思想在三角函数求值中的应用
[ 来源:中_ 国教_育 出_版 网]

7 典例:(5 分)已知 sin θ+cos θ= ,θ∈(0,π),则 tan θ=________. 13 思维启迪 利用同角三角函数基本关系,寻求 sin θ+cos θ,sin θ-cos θ 和 sin θcos θ 的关系. 规范解答 7 解析 方法一 因为 sin θ+cos θ= ,θ∈(0,π), 13

第 6 页 共 13 页

49 所以(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ= , 169 60 所以 sin θcos θ=- . 169 7 60 由根与系数的关系,知 sin θ,cos θ 是方程 x2- x- =0 的两根, 13 169 12 5 所以 x1= ,x2=- . 13 13 因为 θ∈(0,π),所以 sin θ>0,cos θ<0. 12 5 所以 sin θ= ,cos θ=- . 13 13 sin θ 12 所以 tan θ= =- . cos θ 5 60 方法二 同法一,得 sin θcos θ=- , 169 sin θcos θ 60 所以 2 =- . 169 sin θ+cos2θ tan θ 60 弦化切,得 2 =- , 169 tan θ+1 即 60tan2θ+169tan θ+60=0, 12 5 解得 tan θ=- 或 tan θ=- . 5 12 又 θ∈(0,π),sin θ+cos θ= 7 60 >0,sin θcos θ=- <0. 13 169

π 3π 12 所以 θ∈( , ),所以 tan θ=- . 2 4 5 7 ? ?sin θ+cos θ=13 方法三 解方程组? 得, ? ?sin2θ+cos2θ=1

?sin θ=13 ? 5 ?cos θ=-13
12 故 tan θ=- . 5 12 答案 - 5

12

?sin θ=-13 或? 12 ?cos θ=13

5

(舍).

[ 来源:zzs tep.com]

7 温馨提醒 三种解法均体现了方程思想在三角函数求值中的应用.利用已知条件 sin θ+cos θ= 和公式 13 sin2θ+cos2θ=1 可列方程组解得 sin θcos θ,sin θ-cos θ,也可以利用一元二次方程根与系数的关系求 sin θ、cos θ.各解法中均要注意条件 θ∈(0,π)的运用,谨防产生增解.

第 7 页 共 13 页

方法与技巧 同角三角恒等变形是三角恒等变形的基础,主要是变名、变式. 1. 同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响,尤其是利用平方关系在求三角函数值时, 进行开方时要根据角的象限或范围,判断符号后,正确取舍. 2. 三角求值、化简是三角函数的基础,在求值与化简时,常用方法有:(1)弦切互化法:主要利用公式 tan x= sin x 化成正弦、余弦函数;(2)和积转换法:如利用(sin θ± cos θ)2=1± 2sin θcos θ 的关系进行变形、 cos x

1 ? π 转化;(3)巧用“1”的变换:1=sin2θ+cos2θ=cos2θ(1+tan2θ)=sin2θ? ?1+tan2θ?=tan4=?. 失误与防范 1. 利用诱导公式进行化简求值时,先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数,其步骤:去负—脱 周—化锐. 特别注意函数名称和符号的确定. 2. 在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断符号. 3. 注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.

A 组 专项基础训练 (时间:35 分钟,满分:57 分) 一、选择题 1. α 是第四象限角,tan α=- 1 A. 5 答案 D
[ 来源:中国教 育出版 网 zzstep.com]

5 ,则 sin α 等于 12 5 C. 13 5 D.- 13

(

)

1 B.- 5

sin α 5 12 解析 ∵tan α= =- ,∴cos α=- sin α, cos α 12 5 又 sin2α+cos2α=1, 144 169 ∴sin2α+ sin2α= sin2α=1. 25 25 5 又 sin α<0,∴sin α=- . 13 π 2. 已知 α 和 β 的终边关于直线 y=x 对称,且 β=- ,则 sin α 等于 3 A.- 3 2 B. 3 2 1 C.- 2
第 8 页 共 13 页

(

)

1 D. 2

答案 D π π 5π 解析 因为 α 和 β 的终边关于直线 y=x 对称, 所以 α+β=2kπ+ (k∈Z). 又 β=- , 所以 α=2kπ+ 2 3 6 1 (k∈Z),即得 sin α= . 2 π 3. 已知 sin(π-α)=-2sin( +α),则 sin α· cos α 等于 2 2 A. 5 答案 B π 解析 由 sin(π-α)=-2sin( +α)得 sin α=-2cos α, 2 所以 tan α=-2, sin α· cos α tan α 2 ∴sin α· cos α= 2 2 = 2 =- ,故选 B. 5 sin α+cos α 1+tan α sin?π-α?· cos?2π-α? 25π? 4. 已知 f(α)= ,则 f? ?- 3 ?的值为 cos?-π-α?· tan?π-α? 1 A. 2 答案 A sin αcos α 解析 ∵f(α)= =cos α, -cos α· ?-tan α? 25π 25π - ?=cos?- ? ∴f? 3 ? ? ? 3 ? π π 1 8π+ ?=cos = . =cos? 3 ? ? 3 2
[ 来源:中_国教 _育出_ 版网]

( 1 D.- 5

)

2 B.- 5

2 2 C. 或- 5 5

( D.- 3 2

)

1 B.- 2

C.

3 2

sin?kπ+α? cos?kπ+α? 5. 已知 A= + (k∈Z),则 A 的值构成的集合是 sin α cos α A.{1,-1,2,-2} C.{2,-2} 答案 C 解析 当 k=2n(n∈Z)时, sin?2nπ+α? cos?2nπ+α? A= + =2; sin α cos α 当 k=2n+1(n∈Z)时, sin?2nπ+π+α? cos?2nπ+π+α? A= + =-2. sin α cos α 故 A 的值构成的集合为{-2,2}. 二、填空题 3π α+ ?· sin? 2 ? tan?α+π? ? 6. 化简: =________. sin?π-α?
第 9 页 共 13 页

(

)

B.{-1,1} D.{1,-1,0,2,-2}

答案 -1 cos α· tan α sin α 解析 原式=- =- =-1. sin α sin α 1 3π 7. 如果 cos α= ,且 α 是第一象限的角,那么 cos(α+ )=________. 5 2 答案 2 6 5

1 解析 ∵cos α= ,α 为第一象限角, 5 ∴sin α= 1-cos2α= 1 2 6 1-? ?2= , 5 5

3π 2 6 ∴cos(α+ )=sin α= . 2 5 sin2?α+π?· cos?π+α?· cos?-α-2π? 8. 化简: =________. 3 π tan?π+α?· sin ? +α?· sin?-α-2π? 2 答案 1
[ 来源:中§教§ 网 z § z§s§ tep]

sin2α· ?-cos α?· cos α sin2αcos2α 解析 原式= = 2 2 =1. tan α· cos3α· ?-sin α? sin αcos α 三、解答题 4 π 9. 已知 sin θ= , <θ<π. 5 2 (1)求 tan θ 的值; sin2θ+2sin θcos θ (2)求 的值. 3sin2θ+cos2θ 解 9 (1)∵sin2θ+cos2θ=1,∴cos2θ= . 25

π 3 又 <θ<π,∴cos θ=- . 2 5 sin θ 4 ∴tan θ= =- . cos θ 3 sin2θ+2sin θcos θ tan2θ+2tan θ 8 (2)由(1)知, = =- . 2 2 2 57 3sin θ+cos θ 3tan θ+1 π π 10.已知 sin θ,cos θ 是关于 x 的方程 x2-ax+a=0(a∈R)的两个根,求 cos3( -θ)+sin3( -θ)的值. 2 2 解 由已知原方程的判别式 Δ≥0,即(-a)2-4a≥0,

∴a≥4 或 a≤0.
? ?sin θ+cos θ=a 又? ,(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ, ?sin θcos θ=a ?

则 a2-2a-1=0,从而 a=1- 2或 a=1+ 2(舍去), 因此 sin θ+cos θ=sin θcos θ=1- 2.

第 10 页 共 13 页

π π ∴cos3( -θ)+sin3( -θ)=sin3θ+cos3θ 2 2 =(sin θ+cos θ)(sin2θ-sin θcos θ+cos2θ) =(1- 2)[1-(1- 2)]= 2-2. B 组 专项能力提升 (时间:25 分钟,满分:43 分) 1 π π 3 1. 已知 sin θ=- ,θ∈(- , ),则 sin(θ-5π)sin( π-θ)的值是 3 2 2 2 2 2 A. 9 答案 B 1 π π 解析 ∵sin θ=- ,θ∈(- , ), 3 2 2 2 2 ∴cos θ= 1-sin2θ= . 3 ∴原式=-sin(π-θ)· (-cos θ)=sin θcos θ 1 2 2 2 2 =- × =- . 3 3 9 π cos2x 2. 当 0<x< 时,函数 f(x)= 的最小值是 4 cos xsin x-sin2x 1 A. 4 答案 D π 解析 当 0<x< 时,0<tan x<1, 4 cos2x 1 f(x)= = , cos xsin x-sin2x tan x-tan2x 1 1 1 设 t=tan x,则 0<t<1,y= = ≥ =4. t-t2 t?1-t? t+?1-t? 2 [ ] 2 1 当且仅当 t=1-t,即 t= 时等号成立. 2 π ? ?5π ? ?2π ? 3. 已知 cos? ?6-θ?=a (|a|≤1),则 cos? 6 +θ?+sin? 3 -θ?的值是________. 答案 0 5π ? ? ?π ?? 解析 cos? ? 6 +θ?=cos?π-?6-θ?? π ? =-cos? ?6-θ?=-a. 2π ? ?π ?π ?? ?π ? sin? ? 3 -θ?=sin 2+?6-θ? =cos?6-θ?=a, 1 B. 2 C.2 D.4 ( ) 2 2 B.- 9 1 C.- 9 1 D. 9
[ 来源:中。国教 。育出 。版网 ]

(

)

?

?

5π ? ?2π ? ∴cos? ? 6 +θ?+sin? 3 -θ?=0.

[ 来源:中国教育出 版网 zzstep.com]

第 11 页 共 13 页

cos2?nπ+x?· sin2?nπ-x? 4. 已知 f(x)= (n∈Z). 2 cos [?2n+1?π-x] (1)化简 f(x)的表达式; π 503π (2)求 f( )+f( )的值. 2 014 1 007 解 (1)当 n 为偶数,即 n=2k(k∈Z)时,

cos2?2kπ+x?· sin2?2kπ-x? f(x)= 2 cos [?2×2k+1?π-x] = = cos2x· sin2?-x? 2 cos ?π-x? cos2x· ?-sin x?2 ?-cos x?2

=sin2x; 当 n 为奇数,即 n=2k+1(k∈Z)时, cos2[?2k+1?π+x]· sin2[?2k+1?π-x] f(x)= 2 cos {[2×?2k+1?+1]π-x} = = = cos2[2kπ+?π+x?]· sin2[2kπ+?π-x?] cos2[2×?2k+1?π+?π-x?] cos2?π+x?· sin2?π-x? cos2?π-x? ?-cos x?2sin2x ?-cos x?2

=sin2x, 综上得 f(x)=sin2x. π 503π (2)由(1)得 f( )+f( ) 2 014 1 007 =sin2 =sin2 =sin2 π 1 006π +sin2 2 014 2 014 π π π +sin2( - ) 2 014 2 2 014 π π +cos2 =1. 2 014 2 014
[ 来源:z* zs* tep.com]

1 5. 已知在△ABC 中,sin A+cos A= . 5 (1)求 sin Acos A 的值;

(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形; (3)求 tan A 的值. 解 1 (1)∵sin A+cos A= ,① 5

1 ∴两边平方得 1+2sin Acos A= , 25

第 12 页 共 13 页

12 ∴sin Acos A=- . 25 12 (2)由 sin Acos A=- <0,且 0<A<π, 25 可知 cos A<0,∴A 为钝角,∴△ABC 是钝角三角形. 24 49 (3)∵(sin A-cos A)2=1-2sin Acos A=1+ = , 25 25 又 sin A>0,cos A<0,∴sin A-cos A>0, 7 ∴sin A-cos A= .② 5 4 3 ∴由①,②可得 sin A= ,cos A=- , 5 5 4 5 sin A 4 ∴tan A= = =- . cos A 3 3 - 5

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