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【步步高】2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习学案:学案60 随机事件的概率



学案 60

随机事件的概率

导学目标: 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率的意义,了解 频率与概率的区别.2.了解两个互斥事件的概率加法公式.

自主梳理 1.事件的分类 (1)一般地,我们把在条件 S 下,____________的事件,叫做相对于条件 S 的必然事件, 简称__________

__. (2) 在条件 S 下, ____________ 的事件,叫做相对于条件 S 的不可能事件,简称 ____________. (3) 在 条 件 S 下 可 能 发 生 也 可 能 不 发 生 的 事 件 , 叫 做 ________________________________,简称随机事件.事件一般用大写字母 A,B,C?表 示. 2.频率与概率 (1) 在 相 同 的 条 件 S 下 重 复 n 次 试 验 , 观 察 某 一 事 件 A 是 否 出 现 , 称 ____________________为事件 A 出现的频数,称事件 A 出现的比例________________为事 件 A 出现的频率. (2) 在相同的条件下,大量重复进行同一试验时,随机事件 A 发生的频率会在某个 ________附近摆动,即随机事件 A 发生的频率具有________,这个常数叫事件 A 的概率. 3.事件的关系与运算 定义 符号表示 ______ 如果事件 A________,则事件 B________,这时称事件 B 包含事 包含关系 ( 或 ______) 件 A(或称事件 A 包含于事件 B) ______ 相等关系 若 B?A 且______,那么称事件 A 与事件 B 相等 ______ 并事件 若某事件发生________________________,则称此事件为事件 A (或______) (和事件) 与事件 B 的并事件(或和事件) ________ 交事件 若某事件发生________________________,则称此事件为事件 A (或______) (积事件) 与事件 B 的交事件(或积事件) A∩B= 互斥事件 若 A∩B 为________事件,那么称事件 A 与事件 B 互斥 ____ B=______ 若 A∩B 为________事件,A∪B 为________事件,那么称事件 A 对立事件 (或 A= 与事件 B 互为对立事件 ____) 4.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围:________. (2)必然事件的概率:P(E)=____. (3)不可能事件的概率:P(F)=____. (4)概率的加法公式 如果事件 A 与事件 B 互斥,则 P(A∪B)=________. (5)对立事件的概率 若事件 A 与事件 B 互为对立事件,则 A∪B 为必然事件. P(A∪B)=____,P(A)=________. 自我检测 1.(2011· 台州月考)下列说法正确的是( ) A.某事件发生的频率为 P(A)=1.1 B.不可能事件的概率为 0,必然事件的概率为 1 C.小概率事件就是不可能发生的事件,大概率事件就是必然发生的事件
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D.某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的 2.(2011· 中山期末)如果把必然事件和不可能事件看做随机事件的极端情形,随机事件 A 的概率取值范围是( ) A.P(A)>0 B.P(A)≥0 C.0<P(A)<1 D.0≤P(A)≤1 3.(2011· 中山期末)从 12 个同类产品(其中有 10 个正品,2 个次品)中,任意抽取 3 个的 必然事件是( ) A.3 个都是正品 B.至少有 1 个是次品 C.3 个都是次品 D.至少有 1 个是正品 4.袋中装有白球 3 个,黑球 4 个,从中任取 3 个, ①恰有 1 个白球和全是白球; ②至少有 1 个白球和全是黑球; ③至少有 1 个白球和至少有 2 个白球; ④至少有 1 个白球和至少有 1 个黑球. 在上述事件中,是对立事件的为( ) A.① B.② C.③ D.④ 5.(2011· 广州调研)关于互斥事件的理解,错误的是( ) A.若 A 发生,则 B 不发生;若 B 发生,则 A 不发生 B.若 A 发生,则 B 不发生,若 B 发生,则 A 不发生,二者必具其一 C.A 发生,B 不发生;B 发生,A 不发生;A、B 都不发生 D.若 A、B 又是对立事件,则 A、B 中有且只有一个发生

探究点一 随机事件的概念 例 1 一个口袋内装有 5 个白球和 3 个黑球,从中任意取出一只球. (1)“取出的球是红球”是什么事件,它的概率是多少? (2)“取出的球是黑球”是什么事件,它的概率是多少? (3)“取出的球是白球或是黑球”是什么事件,它的概率是多少?

变式迁移 1 某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅,记事件 A 为“只订甲报纸”,事 件 B 为“至少订一种报纸”,事件 C 为“至多订一种报纸”,事件 D 为“不订甲报纸”, 事件 E 为“一种报纸也不订”.判断下列每对事件是不是互斥事件;如果是,再判断它们 是不是对立事件. (1)A 与 C;(2)B 与 E;(3)B 与 D;(4)B 与 C;(5)C 与 E.

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探究点二 随机事件的频率与概率 例 2 某中学部分学生参加全国高中数学竞赛取得了优异成绩,指导老师统计了所有 参赛同学的成绩(成绩都为整数,试题满分 120 分),并且绘制了“频数分布直方图”如图, 请回答:

(1)该中学参加本次高中数学竞赛的学生有多少人? (2)如果 90 分以上(含 90 分)获奖,那么获奖的概率大约是多少?(结果保留分数)

变式迁移 2 某篮球运动员在同一条件下进行投篮练习,结果如下表所示: 8 10 15 20 30 40 50 投篮次数 n 6 8 12 17 25 32 38 进球次数 m m 进球频率 n (1)填写上表. (2)这位运动员投篮一次,进球的概率约是多少?

探究点三 互斥事件与对立事件的概率 例 3 (2011· 新乡模拟)一盒中装有 12 个球,其中 5 个红球,4 个黑球,2 个白球,1 个 绿球.从中随机取出 1 球,求:
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(1)取出 1 球是红球或黑球的概率; (2)取出 1 球是红球或黑球或白球的概率.

变式迁移 3 一个箱子内有 9 张票,其号数分别为 1,2,?,9,从中任取 2 张,其号数 至少有一个为奇数的概率是多少?

m 1. 随机事件在相同条件下进行大量试验时, 呈现规律性, 且频率 总是接近于常数 P(A), n 称 P(A)为事件 A 的概率. 2.正确区别互斥事件与对立事件的关系:对立事件是互斥事件,是互斥中的特殊情况, 但互斥事件不一定是对立事件,“互斥”是“对立”的必要不充分条件. 3.求某些较复杂的概率问题时,通常有两种方法:一是将其分解为若干个彼此互斥的 事件的和,然后利用概率加法公式求其值;二是求此事件 A 的对立事件 A 的概率,然 后利用 P(A)=1-P( A )可得解.

(满分:75 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.从一批产品(其中正品、次品都多于 2 件)中任取 2 件,观察正品件数和次品件数, 下列事件是互斥事件的是( ) ①恰好有 1 件次品和恰好有两件次品; ②至少有 1 件次品和全是次品; ③至少有 1 件正品和至少有 1 件次品; ④至少 1 件次品和全是正品. A.①② B.①③ C.③④ D.①④ 2.(2011· 广州模拟)下列说法: ①频率反映事件发生的频繁程度,概率反映事件发生的可能性大小; m ②做 n 次随机试验, 事件 A 发生 m 次, 则事件 A 发生的频率 就是事件 A 发生的概率; n
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③百分率是频率,但不是概率; ④频率是不能脱离 n 次试验的试验值, 而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论 值; ⑤频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值. 其中正确的是( ) A.①②③④ B.①④⑤ C.①②③④⑤ D.②③ 3.甲:A1、A2 是互斥事件;乙:A1、A2 是对立事件,那么( ) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件 4.(2011· 平顶山月考)某入伍新兵的打靶练习中,连续射击 2 次,则事件“至少有 1 次 中靶”的互斥事件是( ) A.至多有 1 次中靶 B.2 次都中靶 C.2 次都不中靶 D.只有 1 次中靶 5.(2009· 安徽)考察正方体 6 个面的中心,从中任意选 3 个点连成三角形,再把剩下的 3 个点也连成三角形,则所得的两个三角形全等的概率等于( ) 1 1 A.1 B. C. D.0 2 3 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 6.从某自动包装机包装的食盐中,随机抽取 20 袋,测得各袋的质量分别为(单位:g): 492 496 494 495 498 497 501 502 504 496 497 503 506 508 507 492 496 500 501 499 根据频率分布估计总体分布的原理,该自动包装机包装的袋装食盐质量在 497.5 g~ 501.5 g 之间的概率约为________. 7. (2011· 福建)盒中装有形状、 大小完全相同的 5 个球, 其中红色球 3 个, 黄色球 2 个. 若 从中随机取出 2 个球,则所取出的 2 个球颜色不同的概率为________. 8 . (2011· 上海 ) 随机抽取的 9 位同学中,至少有 2 位同学在同一月份出生的概率为 ________(默认每个月的天数相同,结果精确到 0.001). 三、解答题(共 38 分)

9.(12 分)(2011· 南京模拟)某学校篮球队、羽毛球队、乒乓球队的某些队员不止参加了 一支球队,具体情况如图所示,现从中随机抽取一名队员,求: (1)该队员只属于一支球队的概率; (2)该队员最多属于两支球队的概率.

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10.(12 分)袋中有 12 个小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取一球,得到 1 5 5 红球的概率是 ,得到黑球或黄球的概率是 ,得到黄球或绿球的概率也是 ,试求得到黑 3 12 12 球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少?

11.(14 分)现有 8 名奥运会志愿者,其中志愿者 A1、A2、A3 通晓日语,B1、B2、B3 通 晓俄语,C1、C2 通晓韩语,从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各 1 名,组成一个小 组. (1)求 A1 被选中的概率; (2)求 B1 和 C1 不全被选中的概率.

学案 60

随机事件的概率

自主梳理 1.(1)一定会发生 必然事件 (2)一定不会发生 不可能事件 (3)相对于条件 S 的随 nA 机事件 2.(1)n 次试验中事件 A 出现的次数 nA fn(A)= (2)常数 稳定性 n 3.发生 一定发生 B?A A?B A?B A=B 当且仅当事件 A 发生或事件 B 发 生 A∪B A+B 当且仅当事件 A 发生且事件 B 发生 A∩B AB 不可能 ? 不可能 必然 A B 4.(1)0≤P(A)≤1 (2)1 (3)0 (4)P(A)+P(B) (5)1 1-P(B) 自我检测 1.B 2.D 3.D 4.B 5.B 课堂活动区 例 1 解题导引 解决这类问题的方法主要是弄清每次试验的意义及每个基本事件的 含义,正确把握各个事件的相互关系,判断一个事件是必然事件、不可能事件、随机事件, 主要是依据在一定条件下,所要求的结果是否一定出现、不可能出现(可能出现、可能不出 现),它们的概率(范围)分别为 1,0,(0,1). 解 (1)由于口袋内只装有黑、白两种颜色的球,故“取出的球是红球”是不可能事件, 其概率是 0.
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(2)由已知,从口袋内取出一个球,可能是白球也可能是黑球,故“取出的球是黑球” 3 是随机事件,它的概率是 . 8 (3)由于口袋内装的是黑、白两种颜色的球,故取出一个球不是黑球,就是白球,因此, “取出的球是白球或是黑球”是必然事件,它的概率是 1. 变式迁移 1 解 (1)由于事件 C“至多订一种报纸”中有可能“只订甲报纸”, 即事件 A 与事件 C 有可能同时发生,故 A 与 C 不是互斥事件. (2)事件 B“至少订一种报纸”与事件 E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的, 故B 与 E 是互斥事件.由于事件 B 发生可导致事件 E 一定不发生,且事件 E 发生也会导致事件 B 一定不发生,故 B 与 E 还是对立事件. (3)事件 B“至少订一种报纸”中有可能“只订乙报纸”,即有可能“不订甲报纸”, 即事件 B 发生,事件 D 也可能发生,故 B 与 D 不是互斥事件. (4)事件 B“至少订一种报纸”中有这些可能:“只订甲报纸”、“只订乙报纸”、“订 甲、乙两种报纸”,事件 C“至多订一种报纸”中有这些可能:“一种报纸也不订”、“只 订甲报纸”、“只订乙报纸”,由于这两个事件可能同时发生,故 B 与 C 不是互斥事件. (5)由(4)的分析,事件 E“一种报纸也不订”是事件 C 的一种可能,故事件 C 与事件 E 有可能同时发生,故 C 与 E 不是互斥事件. 例 2 解题导引 本题利用直方图求出获奖的频率,作为概率的近似值.通过大量的 重复试验, 用这个事件发生的频率近似地作为它的概率是求一个事件的概率的基本方法. 注 意频率是随机的、变化的,而概率是一个常数,频率在其附近摆动. 解 (1) 由频数分布直方图可知,参加本次数学竞赛的学生有 4 + 6 + 8 + 7 + 5 + 2 = 32(人). (2)90 分以上的人数为 7+5+2=14(人), 14 7 ∴获奖的频率为 = , 32 16 7 即本次竞赛获奖的概率大约是 . 16 变式迁移 2 解 (1)频率是在试验中事件发生的次数与试验总次数的比值,由此得,进 6 8 12 17 25 32 38 球频率依次是 , , , , , , ,即 0.75,0.8,0.8,0.85,0.83,0.8,0.76. 8 10 15 20 30 40 50 (2)因为频率是概率的近似值,所以这位运动员投篮一次,进球的概率约是 0.8. 例 3 解题导引 用互斥事件和对立事件的概率公式解题,关键是分清所求事件是由 哪些事件组成的,然后结合互斥事件与对立事件的定义分析出是否是互斥事件与对立事件, 再决定用哪一个公式. 利用互斥事件求概率体现了分类讨论的思想, 利用对立事件求概率体 现了“正难则反”的策略. 解 方法一 (利用互斥事件求概率)记事件 A1={任取 1 球为红球},A2={任取 1 球为 黑球},A3={任取 1 球为白球},A4={任取 1 球为绿球}, 5 4 2 1 则 P(A1)= ,P(A2)= ,P(A3)= ,P(A4)= , 12 12 12 12 根据题意知,事件 A1、A2、A3、A4 彼此互斥,由互斥事件的概率公式,得 (1)取出 1 球为红球或黑球的概率为 P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2) 5 4 3 = + = . 12 12 4 (2)取出 1 球为红球或黑球或白球的概率为 P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3) 5 4 2 11 = + + = . 12 12 12 12 方法二 (利用对立事件求概率) (1)由方法一知, 取出 1 球为红球或黑球的对立事件为取出 1 球为白球或绿球, 即 A1∪A2 的对立事件为 A3∪A4,所以取出 1 球为红球或黑球的概率为 P(A1∪A2)=1-P(A3∪A4)
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2 1 3 =1-P(A3)-P(A4)=1- - = . 12 12 4 (2)因为 A1∪A2∪A3 的对立事件为 A4, 1 11 所以 P(A1∪A2∪A3)=1-P(A4)=1- = . 12 12 变式迁移 3 解 方法一 从 9 张任取 2 张共有 36 种,记为(1,2),(1,3),?,(8,9),记 事件 A 为任取 2 张,号数至少有一个为奇数,则 A={(1,2),?,(1,9),(2,3),(2,5),(2,7), (2,9),(3,4),?,(3,9),?,(8,9)}. 共有 8+4+6+3+4+2+2+1=30. 30 5 ∴P(A)= = . 36 6 方法二 事件 A 的对立事件为任取 2 张,号数都为偶数, ∴ A ={(2,4),(2,6),(2,8),(4,6),(4,8),(6,8)}共 6 种. 6 5 ∴P(A)=1-P( A )=1- = . 36 6 课后练习区 1.D 2.B [由概率的相关定义知①④⑤正确.] 3.B [由互斥事件、对立事件的定义可知互斥不一定对立,对立一定互斥,即甲是乙 的必要条件但不是充分条件.] 4.C [由互斥事件定义可知,如果两事件互斥,两个事件不能同时发生.“至少有一次 中靶”包括“恰有一次中靶”或“两次都中靶”.故 A、B、D 都能同时发生.] 5.A [由正方体的对称性知其六个面的中心构成同底的两个四棱锥,且四棱锥的各个 侧面是全等的三角形, 底面四个顶点构成一个正方形, 从这 6 个点中任选 3 个点构成的三角 形可分为以下两类: 第一类是选中相对面中心两点及被这两个平面所夹的四个面中的任意一 个面的中心, 构成的是等腰直角三角形, 此时剩下的三个点也连成一个与其全等的三角形. 第 二类是所选三个点均为多面体的侧面三角形的三个点(即所选 3 个点所在的平面彼此相邻)此 时构成的是正三角形,同时剩下的三个点也构成与其全等的三角形,故所求概率为 1.] 6.0.25 3 7. 5 1 解析 从 5 个球中任取 2 个球有 C2 2 个球颜色不同的取法有 C1 5=10(种)取法, 3C2=6(种), 6 3 故所求概率为 = . 10 5 8.0.985 解析 9 位同学出生月份的所有可能种数为 129,9 人出生月份不同的所有可能种数为 A9 12 9 A12 ,故 P=1- 9≈1-0.015 47≈0.985. 12 12 3 9. 解 (1)设“该队员只属于一支球队”为事件 A, 则事件 A 的概率 P(A)= = .(6 分) 20 5 2 9 (2)设“该队员最多属于两支球队”为事件 B,则事件 B 的概率为 P(B)=1- = .(12 20 10 分) 10.解 设事件 A、B、C、D 分别表示“任取一球,得到红球”,“任取一球,得到 1 黑球”,“任取一球,得到黄球”,“任取一球,得到绿球”,则由已知得 P(A)= ,(3 分) 3 5 P(B∪C)=P(B)+P(C)= , 12 5 P(C∪D)=P(C)+P(D)= , 12 P(B∪C∪D)=1-P(A)=P(B)+P(C)+P(D)

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1 2 =1- = .(10 分) 3 3 1 1 1 解得 P(B)= ,P(C)= ,P(D)= . 4 6 4 故得到黑球,得到黄球,得到绿球的概率分别为 1 1 1 , , .(12 分) 4 6 4 11.解 (1)从 8 人中选出日语、俄语和韩语志愿者各 1 名,其一切可能的结果组成的 基本事件空间 Ω={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1, B3,C2),(A2,B1,C1),(A2,B1,C2),(A2,B2,C1),(A2,B2,C2),(A2,B3,C1),(A2, B3,C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1),(A3,B2,C2),(A3,B3,C1),(A3, B3,C2)}共 18 个基本事件组成.(4 分) 由于每一个基本事件被抽取的机会均等,因此这些基本事件的发生是等可能的. 用 M 表示“A1 恰被选中”这一事件,则 M={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1, B3,C2)}, 事件 M 由 6 个基本事件组成, 6 1 因而 P(M)= = .(8 分) 18 3 (2)用 N 表示“B1、C1 不全被选中”这一事件,则其对立事件 N 表示“B1、C1 全被选 中”这一事件,由于 N ={(A1,B1,C1),(A2,B1,C1),(A3,B1,C1)},事件 N 由 3 个 基本事件组成,(10 分) 3 1 所以 P( N )= = ,由对立事件的概率公式得: 18 6 1 5 P(N)=1-P( N )=1- = .(14 分) 6 6

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