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2008年广州市高二数学竞赛题及答案



2008 年广州市高二数学竞赛试卷

三 题 号 一 二 (11) 得 分 (12) (13) (14) (15) 合 计

评卷员

考生注意:⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答; ⒉不准使用计算器;
考号

⒊考试用时 120 分钟,全卷满分 150 分.
小题, 在每小题给出的四个

选项中, 一、选择题:本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 选择题: 符合题目要求的.请将正确选项前的字母代号填在该小题后的括号内. 符合题目要求的.请将正确选项前的字母代号填在该小题后的括号内. 选项前的字母代号填在该小题后的括号内 1.若集合 a, a 2 ? a 有 4 个子集,则实数 a 的取值范围是( ) A. {0, 2} C. a a ≠ 2, a ∈R B. a a ≠ 0, a ∈ R

{

}

{

} }

{

}

D. a a ≠ 0 且 a ≠ 2, a ∈ R

{

姓名

2. 已知函数 f ( x ) = ? A. ? 0.5

?1 ? x 2 , 0 ≤ x ≤ 1, 则 f [ f ( ?0.5)] 等于( x ? 1 ≤ x < 0. ?2 ,
B. ? 1 C. 0.5 D. 1

)

3.在空间直角坐标系 O ? xyz 中,点 A、B、C、D 的坐标分别为 A (1 0, 0 ) 、 B (0, 2, 0 ) 、 ,

C (2, 4, 0) 、 D(? 1 2, ? 2) ,则三棱锥 A ? BCD 的体积是( ) ,
A.2 学校 B.3
2

C.6
2

D.10

4. 已知直线 x ? 2 y + 1 = 0 与圆 ( x ? a ) + ( y ? b )

1 = (a, b ∈ R ) 有交点, 则 5

a 2 + b 2 ? 2a + 2b + 1 的最小值是 (
A.

) C.

1 5

B.

4 5

9 5

D.

14 5

小题, 把答案填在题中横线上. 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分.把答案填在题中横线上. 填空题: 5. △ ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c , 若 a = 4,b = 2,A = 60 , 则 cos C = .
第1页 (共 6 页)
°

高二数学竞赛

6.已知直角梯形 ABCD 的顶点坐标分别为 A(a, 1), B (2, 0 ), C (3, 1), D (1, 3) , 则实数 a 的值是 .
*

7. 在数列 {a n } 中, a1 =2, a n + a n +1 = 1( n ∈ N ) ,设 S n 为数列 {a n } 的前 n 项和,则

S30 ? 2 S 29 + S 28 的值为

.

8.已知 A、B、C 三点在同一条直线 l 上, O 为直线 l 外一点,若 pOA + qOB + r OC = 0,

p, q, r ∈ R,则 p + q + r =

.

9.一个非负整数的有序数对 (m, n) ,如果在做 m + n 的加法时不用进位,则称 (m, n) 为“奥运数对” ,

m + n 称为“奥运数对” (m, n) 的和,则和为 2008 的“奥运数对”的个数有___________个.
10.如图 1 所示, 函数 y = f ( x ) 的图象是圆心在点 (1, 0 ) ,半径为 1 的两段 圆弧, 则不等式 f ( x ) < f (2 ? x ) + x 的解集是 .
y

O

1

2

x

解答题: 小题, 要求写出解答过程. 图1 三、解答题:本大题共 5 小题,共 90 分.要求写出解答过程. 11. (本小题满分 15 分) 已知函数 f ( x ) = a sin ω x + b cos ω x ( a , b ∈ R, ω > 0 )的部分图象如图 2 所示. (1) 求 a, b, ω 的值; (2)若关于 x 的方程 3 [ f ( x ) ] ? f ( x ) + m = 0 在 x ∈ (?
2

π 2π
3 , 3

) 内有解,求实数 m 的取值范围.

y
2π 3 7π 6

O

x

?1
图2

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第2页

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12. (本小题满分 15 分) 如图 3 所示, 在三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 中, AA1 ⊥ 底面 ABC , AC ⊥ BC ,

AC = BC = CC1 = 2 .
(1)若点 D、E、F 分别为棱 CC1、C1 B1、CA 的中点,求证: EF ⊥ 平面 A1 BD ; (2) 请根据下列要求设计切割和拼接方法:要求用平行于三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 的某一条侧棱的平 面去截此三棱柱,切开后的两个几何体再拼接成一个长方体. 简单地写出一种切割和拼接方法,
C1 E B1 D A1

并写出拼接后的长方体的表面积(不必计算过程).

C F B A

图3

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13. (本小题满分 20 分) 已知点 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) 是椭圆 L :

x2 y 2 + = 1 上不同的两点,线段 AB 的中点为 M (2, 1) . 18 9

(1)求直线 AB 的方程; (2)若线段 AB 的垂直平分线与椭圆 L 交于点 C 、 D ,试问四点 A 、 B 、 C 、 D 是否在同一个圆 上,若是,求出该圆的方程;若不是,请说明理由.

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14. (本小题满分 20 分) 已知在数列 {a n } 中, a1 = 1 , a 2 n +1 = qa 2 n ?1 + d ( d ∈R, q ∈R 且 q ≠0, n ∈ N * ). R R (1)若数列 {a2 n ?1} 是等比数列,求 q 与 d 满足的条件; (2)当 d = 0 , q = 2 时,一个质点在平面直角坐标系内运动,从坐标原点出发,第 1 次向右运动, 第 2 次向上运动,第 3 次向左运动,第 4 次向下运动,以后依次按向右、向上、向左、向下的 方向交替地运动,设第 n 次运动的位移是 an ,第 n 次运动后,质点到达点 Pn ( xn , yn ) ,求数列

{n ? x4n }的前 n 项和 S n .

学校

姓名

考号

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15.(本小题满分 20 分) 已知函数 f ( x ) = ln x ? ax 2 ? bx( a, b ∈ R,且 a ≠ 0) . (1)当 b = 2 时,若函数 f ( x ) 存在单调递减区间,求 a 的取值范围; (2)当 a > 0 且 2a + b = 1 时,讨论函数 f ( x ) 的零点个数.

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2008 年广州市高二数学竞赛参考答案 年广州市高二数学竞赛参考答案
小题, 一、选择题:本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分. 选择题: 1.D 2.C 3.A 4.B 小题, 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分. 填空题: 5.

3 ? 13 8

6. ± 1

7. ? 3

8.0

9.27

10. (0,1) U ? ,2? 5

?8 ? ? ?

解答题: 小题, 要求写出解答过程. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 90 分.要求写出解答过程. 11. (本小题满分 15 分) 解:(1) 由图象可知函数 f ( x) 的周期为 T = 4 ( ∴ω =

? 2π ? ? 7π ? Q 函数 f ( x ) 的图象过点 ? , 0 ?, ? , ? 1? , ? 3 ?? 6 ? 2π 7π ∴ f( ) = 0 且 f ( ) = ?1 . 3 6
? 3 1 a ? b = 0, ? ? 2 2 ∴? ? ? 1 a ? 3 b = ?1. ? 2 2 ?

2π 2π = = 1. T 2π

7 2π π ? )= 2π , 6 3

1 3 . ,b = 2 2 1 3 ∴ ω = 1, a = , b = . 2 2 1 3 π (2)由(1)得 f ( x ) = sin x + cos x = sin( x + ) . 2 2 3 π π 2π ? π? ? ? 当 x ∈?? , ? 时, x + ∈ (0, π ) ,得 0 < sin ? x + ? ≤ 1 . 3 3? ? 3 3 ? ?
解得: a = 令 t = f ( x ) = sin ? x +

? ?

π?
2

? ,则 0 < t ≤ 1 . 3?

故关于 x 的方程 3 [ f ( x ) ] ? f ( x ) + m = 0 在 x ∈ (?

π 2π
3
2

,

3t 2 ? t + m = 0 在 t ∈ (0, 1] 上有解.
2

3

) 内有解等价于关于 t 的方程

1 ? 1? 由 3t ? t + m = 0 ,得 m = ?3t + t = ?3? t ? ? + . ? 6 ? 12 Q t ∈ (0, 1] , 1? ? ∴ m ∈ ?? 2, . 12 ? ? ?
2

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∴实数 m 的取值范围是 ?? 2, 12. (本小题满分 15 分)

? ?

1? . 12 ? ?

(1)证法一:以点 C 为原点,分别以 CB、CA、CC1 所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴,建立空间直角 )证法一: 坐标系 C ? xyz ,依题意得 B (2, 0, 0 )、D(0, 0,1)、A1 (0, 2, 2 ) 、

E (1 0, 2)、F (0,1 0) . , ,
∴ EF =

(? 1,1, ? 2) , BD = (? 2, 0,1) , A1 D = (0, ? 2, ? 1) .
E B1 D

z C1

Q EF ? BD = (? 1) × (? 2) + 1 × 0 + (? 2) × 1 = 0, EF ? A1 D = (? 1) × 0 + 1 × (? 2) + (? 2) × (? 1) = 0, , ∴ EF ⊥ BD EF ⊥ A1 D .
∴ EF ⊥ BD,EF ⊥ A1 D .

A1

C F B x A y

Q BD ? 平面 A1 BD , A1 D ? 平面 A1 BD , BD I A1 D = D .
∴ EF ⊥ 平面 A1 BD . 证法二 证法二:连结 C1 F ,

Q AA1 ⊥ 底面 ABC , AC ? 平面 ABC ,
∴ AA1 ⊥ AC .

Q AC = CC1 = 2 , D、F 分别为棱 CC1、CA 的中点,
∴ CF = DC1 = 1, A1C1 = CC1 = 2 .
C1

Q ∠C1CF = ∠A1C1 D = 90 ,
B1

°

E A1 D

∴Rt△ C1CF ? Rt△ A1C1 D . ∴ ∠CC1 F = ∠DA1C1 .

C F B A

Q ∠DA1C1 + ∠A1 DC1 = 90 ° ,
∴ ∠DC1 F + ∠A1 DC1 = 90 ° . ∴ A1 D ⊥ C1 F .
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Q AC ⊥ BC ,
∴ A1C1 ⊥ B1C1 ,

Q B1C1 ⊥ AA1 , AA1 I A1C1 = A1 ,
∴ B1C1 ⊥ 平面 AA1CC1 . ∴ B1C1 ⊥ A1 D .

Q B1C1 I C1 F = C1 ,
∴ A1 D ⊥ 平面 C1 FE .

Q EF ? 平面 C1 FE ,
∴ EF ⊥ A1 D . 同理可证 EF ⊥ BD .

Q A1 D I BD = D ,
∴ EF ⊥ 平面 A1 BD .

(2)切割拼接方法一:如图甲所示,分别以 C1 B1、A1 B1、AB、CB 的中点 E、G、M、N 所确定 )切割拼接方法一: 的平面为截面,把三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 切开后的两个几何体再拼接成一个长方体(该长方体 ) 的一个底面为长方形 C1 EE ' A1 如图①所示,,此时所拼接成的长方体的表面积为 16.
C1 E B1 G A1

C1 E

C N B M A

G E'

A1

图甲

图①

切割拼接方法二: 切割拼接方法二:如图乙所示,设 A1 B1、AB 的中点分别为 M、N ,以四点 C1、M、N、C 所确定 的平面为截面,把三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 切开后的两个几何体再拼接成一个长方体(该长方体的一个
' ,此时所拼接成的长方体的表面积为 4 + 8 2 . 底面为正方形 C1 MA1 M )

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C1

B1

M

A1
C1

M'

C

B

N

A

B1

M

A1 (B 1)

图乙 13. (本小题满分 20 分) 解一: (1)Q 点 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) 是椭圆 L 上不同的两点, 解一:

图②



x12 y12 x2 y2 + = 1, 2 + 2 = 1 . 18 9 18 9
2 2 x12 ? x2 y12 ? y2 + =0, 18 9
2

以上两式相减得:

即 x1 ? x2 + 2( y1 ? y2 ) = 0 , ( x1 ? x2 )( x1 + x2 ) + 2( y1 ? y2 )( y1 + y2 ) = 0 ,
2 2 2

∵线段 AB 的中点为 M (2, 1) , ∴ x1 + x2 = 4, y1 + y2 = 2 . ∴ 4( x1 ? x2 ) + 4( y1 ? y2 ) = 0 , 当 x1 = x2 ,由上式知, y1 = y2 则 A, B 重合,与已知矛盾,因此 x1 ≠ x2 ,



y1 ? y2 = ?1 . x1 ? x2

∴直线 AB 的方程为 y ? 1 = ?( x ? 2) ,即 x + y ? 3 = 0 .

? x + y ? 3 = 0, ? 2 消去 y ,得 3 x ? 12 x = 0 ,解得 x = 0 或 x = 4 . 由 ? x2 y2 ? 18 + 9 = 1. ?
∴所求直线 AB 的方程为 x + y ? 3 = 0 . 解二: 解二 当直线 AB 的不存在时, AB 的中点在 x 轴上, 不符合题意. 故可设直线 AB 的方程为 y ? 1 = k ( x ? 2 ) , A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) .

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, ? y ? 1 = k (x ? 2) ? 2 2 2 2 2 2 由?x 消去 y ,得 1 + 2k x ? 8k ? 4k x + 8 k ? k ? 2 = 0 y + = 1. ? 18 9 ?

(

)

(

)

(

)

(*)

∴ x1 + x 2 =

8k 2 ? 4 k . 1 + 2k 2

Q AB 的中点为 M (2,1) ,

∴ x1 + x 2 = 4 .
∴ 8k 2 ? 4 k = 4. 1 + 2k 2

解得 k = ?1 . 此时方程(*)为 3 x ? 12 x = 0 ,其判别式 ? = 144 > 0 .
2

∴所求直线 AB 的方程为 x + y ? 3 = 0 . (2)由于直线 AB 的方程为 x + y ? 3 = 0 , 则线段 AB 的垂直平分线 CD 的方程为 y ? 1 = x ? 2 ,即 x ? y ? 1 = 0 .

? x + y ? 3 = 0, ? 由 ? x2 y2 + ? 18 9 = 1, ?

得 A(0,3), B (4,?1). ,

由 ? x2

? x ? y ? 1 = 0, ? 2 消去 y 得 3 x ? 4 x ? 16 = 0 ,设 C ( x1 , y1 ), D( x 2 , y 2 ). y2 + = 1, ? 18 9 ?
4 16 , x1 x2 = ? . 3 3

则 x1 + x2 =

∴线段 CD 的中点 E 的横坐标为 xE = ∴E ?

x1 + x2 2 1 = ,纵坐标 y E = x E ? 1 = ? . 2 3 3

? 2 1? ,? ?. ? 3 3?

∴ CD =

(1 + 1)(x1 + x2 )2 ? 4 x1 x 2 ] = [
2 2

?? 4 ? 2 ? 16 ?? 4 26 2 ?? ? ? 4 × ? ? ?? = . 3 ? 3 ?? ?? 3 ? ? ?

∵ EA =

2 26 1 ?2? ? 1 ? = CD , ? ? + ? ? ? 3? = 3 2 ?3? ? 3 ?

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2 26 1 ?2 ? ? 1 ? EB = ? ? 4 ? + ? ? + 3 ? = = CD , 3 2 ?3 ? ? 3 ?
∴四点 A 、 B 、 C 、 D 在同一个圆上,此圆的圆心为点 E ,半径为

2

2

2 26 , 3

2? ? 1 ? 104 ? 其方程为 ? x ? ? + ? y + ? = . 3? ? 3? 9 ?
14. (本小题满分 20 分) 解:(1)Q a1 = 1 , a2 n +1 = qa2 n ?1 + d , q ≠0, ① 当 d = 0 时, a2 n +1 = qa2 n ?1 ,显然 {a2 n ?1 } 是等比数列; ② 当 d ≠ 0 时, a 3 = qa1 + d = q + d , a5 = qa 3 + d = q (q + d ) + d .

2

2

Q 数列 {a2 n ?1 } 是等比数列,
∴ a 3 = a1 a5 ,即 (q + d ) = q (q + d ) + d ,化简得 q + d = 1 .
2 2

此时有 a 2 n +1 = qa 2 n ?1 + 1 ? q ,得 a 2 n +1 ? 1 = q (a 2 n ?1 ? 1) , 由 a1 = 1 , q ≠0, 得 a 2 n ?1 = 1 ( n ∈ N * ),则数列 {a2 n ?1 } 是等比数列. 综上, q 与 d 满足的条件为 d = 0( q ≠ 0) 或 q + d = 1 ( q ≠ 0, d ≠ 0 ). (2)当 d = 0 , q = 2 时, ∵ a2 n +1 = 2a2 n ?1 , ∴ a2 n ?1 = a1 ? 2
n ?1

= 2n ?1 ,
2 3

依题意得: x4 = a1 ? a3 = 1 ? 2 , x8 = 1 ? 2 + 2 ? 2 ,…, ∴ x4 n = 1 ? 2 + 2 ? 2 + L + 2
2 3 2 n?2

? 22 n ?1 =

1 ? (?2) 2 n 1 ? 22 n 1 ? 22 n = = . 1 ? (?2) 1+ 2 3

∴ 1 ? 3 x4 n = 2 .
2n

∴ x4n =

1 ? 2 2n . 3

∴ S n = x 4 + 2 x8 + 3 x12 + ? ? ? + (n ? 1) ? x 4 ( n ?1) + n ? x 4 n

1 (1 + 2 + 3 + ? ? ? + n ) ? 1 1 × 2 2 + 2 × 2 4 + 3 × 2 6 + ? ? ? + n ? 2 2 n 3 3 n(n + 1) 1 = ? 1× 2 2 + 2 × 2 4 + 3 × 2 6 + ? ? ? + n ? 2 2n . 6 3
=

(

)

(

)

令 Tn = 1 × 2 + 2 × 2 + 3 × 2 + ? ? ? + (n ? 1) ? 2
2 4 6

2 ( n ?1)

+ n ? 2 2n



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4Tn = 1 × 2 4 + 2 × 2 6 + 3 × 2 8 + ? ? ? + (n ? 1) ? 2 2 n + n ? 2 2 n + 2
①-②得 ? 3Tn = 1 × 2 + 2 + 2 + ? ? ? + 2
2 4 6 2n



? n ? 2 2n+2

=

2 2 1 ? 2 2n 4 ? n ? 2 2n+2 = 2 2n ? 1 ? n ? 2 2n+2 . 1? 4 3

(

)

(

)

∴ Tn =

4 n ? 2 2 n+ 2 4 (3n ? 1) ? 2 2 n + 2 1 ? 2 2n + = + . 9 3 9 9

(

)

∴ Sn =

n(n + 1) 4 (3n ? 1) ? 2 2 n + 2 ? ? . 6 27 27

15. (本小题满分 20 分) (1)当 b = 2 时,函数 f ( x ) = ln x ? ax ? 2 x ,其定义域是 (0, + ∞ ) , 解:
2 '

∴f

(x ) = 1 ? 2ax ? 2 = ? 2ax
x

2

+ 2x ? 1 . x

Q 函数 f ( x ) 存在单调递减区间,
∴f
'

(x ) = ? 2ax

2

+ 2x ? 1 ≤ 0 在 x ∈ (0, + ∞ ) 上有无穷多个解. x
2

∴关于 x 的不等式 2ax + 2 x ? 1 ≥ 0 在 x ∈ (0, + ∞ ) 上有无穷多个解. ① 当 a > 0 时,函数 y = 2ax 2 + 2 x ? 1 的图象为开口向上的抛物线, 关于 x 的不等式 2ax + 2 x ? 1 ≥ 0 在 x ∈ (0, + ∞ ) 上总有无穷多个解.
2

② 当 a < 0 时,函数 y = 2ax 2 + 2 x ? 1 的图象为开口向下的抛物线,其对称轴为

1 > 0 .要使关于 x 的不等式 2ax 2 + 2 x ? 1 ≥ 0 在 x ∈ (0, + ∞ ) 上有无穷多个解. a 必须 ? = 4 + 8a > 0 , 1 1 解得 a > ? ,此时 ? < a < 0 . 2 2 1 综上所述, a 的取值范围为 ( ? , 0) U ( 0, + ∞ ) . 2 x=?
另解:分离系数:不等式 2ax + 2 x ? 1 ≥ 0 在 x ∈ (0, + ∞ ) 上有无穷多个解, 另解:
2

则关于 x 的不等式 2a ≥

1 ? 2x 1 = ( ? 1) 2 ? 1 在 x ∈ (0, + ∞ ) 上有无穷多个解, 2 x x

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1 ,而 a ≠ 0 . 2 1 ∴ a 的取值范围为 ( ? , 0) U ( 0, + ∞ ) . 2
∴ 2a > ?1 ,即 a > ? (2)当 b = 1 ? 2a 时,函数 f ( x ) = ln x ? ax ? (1 ? 2a ) x ,其定义域是 (0, + ∞ ) ,
2
'

∴f

( x) =

1 2ax 2 + (1 ? 2a ) x ? 1 ? 2ax ? (1 ? 2a ) = ? . x x

2ax 2 + (1 ? 2a ) x ? 1 令 f ( x ) = 0 ,得 = 0 ,即 2ax 2 + (1 ? 2a ) x ? 1 = 0 , x
'

( x ? 1)(2ax + 1) = 0 ,
Q x > 0 , a > 0 ,则 2ax + 1 > 0 , ∴ x =1
当 0 < x < 1 时, f
'

(x ) > 0 ;当 x > 1 时, f ' (x ) < 0 .

∴函数 f ( x ) 在区间 ( 0, 1) 上单调递增,在区间 (1, +∞ ) 上单调递减. ∴当 x = 1 时,函数 f ( x ) 取得最大值,其值为 f (1) = ln1 ? a ? b = ? a ? 1 + 2a = a ? 1 . ① 当 a = 1 时, f (1) = 0 ,若 x ≠ 1 , 则 f ( x ) < f (1) , 即 f ( x ) < 0 . 此时,函数 f ( x ) 与 x 轴只有一个交点,故函数 f ( x ) 只有一个零点;

1 1 1 ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? ② 当 a > 1 时, f (1) > 0 ,又 f ? a ? = ln a ? a ? ? a ? ? (1 ? 2a ) × a = ? a? a ? 1? ? a < 0 , e e e ?e ? ?e ? ?e ? f (e ) = ln e ? ae 2 ? (1 ? 2a )e = 1 ? ae(e ? 2 ) ? e < 0 ,
函数 f ( x ) 与 x 轴有两个交点,故函数 f ( x ) 有两个零点; ③ 当 0 < a < 1 时, f (1) < 0 ,函数 f ( x ) 与 x 轴没有交点,故函数 f ( x ) 没有零点.

2

2

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