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湖南省株洲二中2015届高三下学期第11次月考数学试卷(理科)



湖南省株洲二中 2015 届高三下学期第 11 次月考数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一个是符合题目要求的. 1.i 为虚数单位,则(2i) =() A.﹣4 B. 4
2

C. 2

D.﹣2

2.某种树的分枝生长

规律如图所示,则预计到第 6 年树的分枝数为()

A.5

B. 6

C. 7

D.8

3.设随机变量 a 服从正态分布 N(u,9) ,若 p(ξ>3)=p(ξ<1) ,则 u=() A.2 B. 3 C. 9 D.1

4.已知 f(x)= A.3 B. 2

,则 f(3)=() C. 4 D.5

5. 《中国好歌曲》的五位评委刘欢、杨坤、周华健、蔡健雅、羽?泉组合给一位歌手给出的评 分分别是:x1=18,x2=19,x3=20,x4=21,x5=22,现将这五个数据依次输入下面程序框进行 计算,则输出的 S 值及其统计意义分别是()

A.S=2,即 5 个数据的方差为 2 B. S=2,即 5 个数据的标准差为 2 C. S=10,即 5 个数据的方差为 10 D.S=10,即 5 个数据的标准差为 10 6.下列命题中,是假命题的是() A.?x∈(0, ) ,cosx>sinx B. ?x∈R,sin2x=2sinxcosx D.

C. | ? |=| |?| |

7.已知一个空间几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸,可得这个几何体的体积是 ()

A.2
2

B. 4

C. 6

D.12

8.已知抛物线 C:y =2px(p>0)的准线 l 与坐标轴交于点 M,P 为抛物线第一象限上一点, F 为抛物线焦点,N 为 x 轴上一点,若∠PMF=30°, A. B. C. 2 ,则 D. =()

9.将 4 名新来的学生分到 2015 届高三两个班,每班至少一人,不同的分配方法数为() A.12 B.16 C.14 D.18

10. 如图, O 为△ ABC 的外心, AB=6, AC=4, ∠BAC 为钝角, M 是边 BC 的中点, 则 ()

=

A.﹣10

B.36

C.16

D.13

二、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 25 分. (一)选做题(11-13 题,请从中选做 两题,若三题都做,只计前两题分数) 11.如图,AB 是圆 O 的直径,过 A、B 的两条弦 AC 和 BD 相交于点 P,若圆 O 的半径是 3, 则 AC?AP+BD?BP 的值.

12.以坐标原点为极点,x 的正半轴为极轴建立极坐标系,极坐标方程为 ρ=4cosθ 的曲线与参 数方程 (t 为参数)的直线交于 A、B,则|AB|=.

13.若函数 f(x)=

的定义域为 R,则实数 m 的取值范围为.

(二)必做题 14.已知全集 I={1,2,3,4,5,6},集合 A={1,2,4,6},B={2,4,5,6},则?I(A∩B) =. 15.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,对?x∈R 恒有 f(x+1)=f(x﹣1)﹣f(2) ,且当 x∈ (1,2)时,f(x)=x ﹣3x+1,则 f( )=.
2

16.满足条件 AB=2,AC=2BC 的三角形 ABC 的面积最大值是.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.设△ ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, (a+b+c) (a﹣b+c)=ac. (1)求证:A+C= (2)若 sinAsinC= ; ,求 cos(A﹣C)的值.

18.某校 2014-2015 学年高二上期月考语文试题的连线题如下: 将中国四大名著与它们的作者连线,每本名著只能与一名作者连线,每名作者也只能与一本 名著连 线.其得分标准是:每连对一个得 3 分,连错得﹣1 分.

一名考生由于考前没复习本知识点,所以对此考点一无所知,考试时只得随意连线,现将该 考生的 得分记作 ξ.

(Ⅰ)求这名考生所有连线方法总数; (Ⅱ)求 ξ 的分布列及数学期望. 19.如图,在直角梯形 ABCP 中,AP∥BC,AP⊥AB,AB=BC= AP=2,D 是 AP 的中点,E, F,G 分别为 PC、PD、CB 的中点,将△ PCD 沿 CD 折起,使得 PD⊥平面 ABCD. (1)求证:平面 PCD⊥平面 PAD; (2)求面 GEF 与面 EFD 所成锐二面角的大小.

20. 在数列{an}中, an>0, Sn 为其前 n 项和, 向量 其中 p>0 且 p≠1. (1)求数列{an}的通项公式;

= (Sn, p ﹣an) , = (1, p﹣1) , 且

2





(2)若 p= ,数列{bn}满足对任意 n∈N ,都有 b1an+b2an﹣1+…+bna1=2 ﹣ n﹣1,求数列{bn} 的前 n 项和 Tn.

*

n

21. 已知椭圆 C:

+

=1 的一个焦点与抛物线 y =4x 的焦点重合, 且椭圆 C 经过点 M (

2



) . (1)求椭圆 C 的方程; (2)求椭圆 C 的任意两条互相垂直的切线的交点 P 的轨迹方程; (3)设(2)中的两切点分别为 A,B,求点 P 到直线 AB 的距离的最大值和最小值. 22.已知函数 f(x)=x?(1+lnx) . (1)求 f(x)的单调区间和极值; (2)若 x1,x2>0,p1,p2>0,p1+p2=1,求证:p1f(x1)+p2f(x2)≥f(p1x1+p2x2) .

湖南省株洲二中 2015 届高三下学期第 11 次月考数学试卷 (理科)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一个是符合题目要求的. 2 1.i 为虚数单位,则(2i) =() A.﹣4 B. 4 C. 2 D.﹣2 考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用复数的运算法则即可得出. 2 2 解答: 解: (2i) =4i =﹣4. 故选:A. 点评: 本题考查了复数的运算法则,属于基础题. 2.某种树的分枝生长规律如图所示,则预计到第 6 年树的分枝数为()

A.5

B. 6

C. 7

D.8

考点: 归纳推理. 专题: 推理和证明. 分析: 由图形求出这种树的从第一年的分枝数,可发现从第三项起每一项都等于前两项的 和,由此规律即可求出第 6 年树的分枝数. 解答: 解:由题意得,这种树的从第一年的分枝数分别是 1,1,2,3,5,…, 则 2=1+1,3=1+2,5=2+3,即从第三项起每一项都等于前两项的和, 所以第 6 年树的分枝数是 3+5=8, 故选:D. 点评: 本题考查了归纳推理,难点在于发现其中的规律,考查观察、分析、归纳能力. 3.设随机变量 a 服从正态分布 N(u,9) ,若 p(ξ>3)=p(ξ<1) ,则 u=() A.2 B. 3 C. 9 D.1 考点: 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 根据 p(ξ>3)=p(ξ<1) ,由正态曲线的对称性得 u= =2.

解答: 解:∵随机变量 ξ 服从正态分布 N(u,9) ,p(ξ>3)=p(ξ<1) , ∴u= =2

故选:A. 点评: 本题考查正态分布,正态曲线有两个特点: (1)正态曲线关于直线 x=μ 对称; (2) 在正态曲线下方和 x 轴上方范围内的区域面积为 1.

4.已知 f(x)= A.3 B. 2

,则 f(3)=() C. 4 D.5

考点: 抽象函数及其应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 直接利用分段函数的解析式,结合抽象函数求出函数值即可. 解答: 解:f(x)= ,

则 f(3)=f(2+3)=f(5)=f(2+5)=f(7)=7﹣5=2. 故选:B. 点评: 本题考查抽象函数的应用,函数值的求法,考查计算能力. 5. 《中国好歌曲》的五位评委刘欢、杨坤、周华健、蔡健雅、羽?泉组合给一位歌手给出的评 分分别是:x1=18,x2=19,x3=20,x4=21,x5=22,现将这五个数据依次输入下面程序框进行 计算,则输出的 S 值及其统计意义分别是()

A.S=2,即 5 个数据的方差为 2 B. S=2,即 5 个数据的标准差为 2 C. S=10,即 5 个数据的方差为 10 D.S=10,即 5 个数据的标准差为 10 考点: 程序框图. 专题: 图表型;算法和程序框图. 分析: 算法的功能是求 S=(x1﹣20)2+(x2﹣20)2+…+(xi﹣20)2 的值,根据条件确定 跳出循环的 i 值,计算输出 S 的值. 解答: 解:由程序框图知:算法的功能是求 S=(x1﹣20)2+(x2﹣20)2+…+(xi﹣20)2 的值, ∵跳出循环的 i 值为 5, ∴输出 S= ×[(18﹣20) +(19﹣20) + +(21﹣20) +(22﹣20) ]= ×(4+1+0+1+4)=2. 故选:A. 点评: 本题考查了循环结构的程序框图,根据框图的流程判断算法的功能是关键,属于基 础题. 6.下列命题中,是假命题的是()
2 2 2 2 2

A.?x∈(0,

) ,cosx>sinx

B. ?x∈R,sin2x=2sinxcosx D.

C. | ? |=| |?| |

考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 简易逻辑. 分析: A.利用三角函数的单调性即可判断出正误; B.根据倍角公式即可判断出正误; C.由于| ? |=| | D.利用对数恒等式即可判断出正误. 解答: 解:A.?x∈(0, ) ,利用三角函数的单调性可得 cosx> =sinx, ,即可判断出正误;

因此正确; B.?x∈R,根据倍角公式可得:sin2x=2sinxcosx,正确; C.| ? |=| | D.利用对数恒等式可得: ,因此不正确; =3,因此正确.

综上可得:C 是假命题. 故选:C. 点评: 本题考查了三角函数的单调性、倍角公式、数量积的定义、对数恒等式、简易逻辑 的判定,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 7.已知一个空间几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸,可得这个几何体的体积是 ()

A.2

B. 4

C. 6

D.12

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由三视图判断出几何体是底面为直角梯形,一条侧棱垂直直角梯形的直角顶点的四 棱锥,再利用三视图的数据,求出几何体的体积. 解答: 解:如图三视图复原的几何体是底面为直角梯形的四棱锥, 且 ABCD 是直角梯形,

由三视图得,AB⊥AD,AB=AD=2,BC=4, 一条侧棱垂直直角梯形的直角顶点的四棱锥,即 PA⊥平面 ABCD,PA=2 所以几何体的体积 V= × 故选:B. ×AB×PA= × 2×2=4

点评: 本题考查由三视图求几何体的体积,解题的关键是准确还原几何体,并由三视图中 的相关数据求出所对应的几何元素的长度,考查空间想象能力. 8.已知抛物线 C:y =2px(p>0)的准线 l 与坐标轴交于点 M,P 为抛物线第一象限上一点, F 为抛物线焦点,N 为 x 轴上一点,若∠PMF=30°, A. B. C. 2 ,则 D. =()
2

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由已知可得当 P 点到准线的距离为 d 时,d=|PF|= |PM|,|PM|= |PN|,进而得到答

案. 2 解答: 解:∵抛物线 C:y =2px(p>0)的准线 l 与坐标轴交于点 M, P 为抛物线第一象限上一点,F 为抛物线焦点,N 为 x 轴上一点, 设 P 点到准线的距离为 d, ∵∠PMF=30°, 则 d=|PF|= 又∵ |PM|, ,

∴PM⊥PN, 故|PM|= |PN|, 故 = = = ,

故选:B 点评: 本题考查的知识点是抛物线的简单性质,其中正确理解抛物线的点到准线和焦点的 距离相等,是解答的关键. 9.将 4 名新来的学生分到 2015 届高三两个班,每班至少一人,不同的分配方法数为()

A.12

B.16

C.14

D.18

考点: 计数原理的应用. 专题: 排列组合. 分析: 本题是一个分类计数问题,四名学生中有两名学生分在一个班的种数,有三个学生 分在一个班的种数,两类情况,根据分类计数原理即可得到结果 解答: 解:由题意知本题是一个分类计数问题, ∵每个班至少分到一名学生,四名学生中有两名学生分在一个班的种数是 有三个学生分在一个班有 =8 种结果, =6,

∴不同的分配方法数为 6+8=14 种结果. 故选:C. 点评: 本题考查排列组合的实际应用,考查利用排列组合解决实际问题,是一个基础题, 这种题目是排列组合中经常出现的一个问题.

10. 如图, O 为△ ABC 的外心, AB=6, AC=4, ∠BAC 为钝角, M 是边 BC 的中点, 则 ()

=

A.﹣10

B.36

C.16

D.13

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 过点 O 分别作 OE⊥AB 于 E,OF⊥AC 于 F,可得 E、F 分别是 AB、AC 的中点.根 据 Rt△ AOE 中余弦的定义,分别求出 ? = ( + )? ? , ? 的值,再由 M 是 BC 边的中点,得到

,问题得以解决.

解答: 解:过点 O 分别作 OE⊥AB 于 E,OF⊥AC 于 F,则 E、F 分别是 AB、AC 的中点 可得 Rt△ AEO 中,cos∠OAE= = ,



?

=|

|?|

|?
2

= |

| =18,

2

同理可得

?

= |

| =8, = ( + )

∵M 是边 BC 的中点,



?

= (

+

)?

= (

?

+

?

)= (18+8)=13,

故选:D

点评: 本题将△ ABC 放在它的外接圆 O 中, 求中线 AM 对应的向量



的数量积之值,

着重考查了平面向量的数量积的运算性质和三角形外接圆等知识,属于中档题. 二、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 25 分. (一)选做题(11-13 题,请从中选做 两题,若三题都做,只计前两题分数) 11.如图,AB 是圆 O 的直径,过 A、B 的两条弦 AC 和 BD 相交于点 P,若圆 O 的半径是 3, 则 AC?AP+BD?BP 的值 36.

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 选作题;立体几何. 分析: 连接 AD、BC,过 P 作 PM⊥AB,则∠ADB=∠AMP=90°,可得点 D、M 在以 AP 为 直径的圆上;M、C 在以 BP 为直径的圆上.由割线定理,即可得出结论. 解答: 解:连接 AD、BC,过 P 作 PM⊥AB,则∠ADB=∠AMP=90°, ∴点 D、M 在以 AP 为直径的圆上; 同理:M、C 在以 BP 为直径的圆上. 由割线定理得:AP?AC=AM?AB,BP?BD=BM?BA, 2 ∴AP?AC+BP?BD=AM?AB+BM?AB=AB?(AM+BM)=AB =36. 故答案为:36.

点评: 本题考查了割线定理,考查学生分析解决问题的能力,正确运用割线定理是关键.

12.以坐标原点为极点,x 的正半轴为极轴建立极坐标系,极坐标方程为 ρ=4cosθ 的曲线与参 数方程 (t 为参数)的直线交于 A、B,则|AB|= .

考点: 简单曲线的极坐标方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: 首先把圆的极坐标方程转化成直角坐标方程,进一步把直线的参数方程转化成直角 坐标方程,再利用圆心到直线的距离公式,最后求出所截得弦长. 2 2 解答: 解:极坐标方程为 ρ=4cosθ 转化成直角坐标方程为:x +y ﹣4x+4=4 2 2 整理成标准形式为: (x﹣2) +y =4 圆心为: (2,0)半径为 2. 参数方程 (t 为参数)转化成直角坐标方程:x+y﹣1=0

则:圆心到直线的距离为:d=

所截得弦长为:l=2 故答案为: 点评: 本题考查的知识要点:参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的互化,点到直线的 距离公式的应用,及相关的运算问题. 13.若函数 f(x)= 11]∪[7,+∞) . 考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据绝对值的几何意义得到不等式|m+2|﹣9≥0,解出即可. 解答: 解:函数 f(x)= 的定义域为 R, 的定义域为 R,则实数 m 的取值范围为(﹣∞,﹣

等价于|x+2|+|x﹣m|﹣9≥0, 等价于|x+2|+|x﹣m|≥9, 等价于 m+2≥9,或 m+2<﹣9, 解得:m≥7 或 m≤﹣11, 故答案为: (﹣∞,﹣11]∪[7,+∞) . 点评: 本题考查了绝对值的几何意义,二次根式的性质,本题属于中档题. (二)必做题 14.已知全集 I={1,2,3,4,5,6},集合 A={1,2,4,6},B={2,4,5,6},则?I(A∩B) ={1,3,5}.

考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 根据 A 与 B 求出两集合的交集,由全集 I,求出交集的补集即可 解答: 解:∵A={1,2,4,6},B={2,4,5,6}, ∴A∩B={2,4,6}, ∵全集 I={1,2,3,4,5,6}, ∴?I(A∩B)={1,3,5}. 故答案为:{1,3,5}. 点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键. 15.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,对?x∈R 恒有 f(x+1)=f(x﹣1)﹣f(2) ,且当 x∈ (1,2)时,f(x)=x ﹣3x+1,则 f( )= .
2

考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由奇函数的结论得:f(0)=0,再令 x=1 代入所给的式子求出 f(2)的值,再令 x= ﹣ 代入式子化简,结合奇函数的性质和条件求出 f( )的值. 解答: 解:∵f(x)是定义在 R 上的奇函数, ∴f(﹣x)=﹣f(x) ,且 f(0)=0, 令 x=1 代入 f(x+1)=f(x﹣1)﹣f(2)得, f(2)=f(0)﹣f(2) ,解得 f(2)=0, 令 x=﹣ 代入 f(x+1)=f(x﹣1)﹣f(2)得, f( )=f( )﹣f(2)=f(
2

) ,

∵当 x∈(1,2)时,f(x)=x ﹣3x+1,f(﹣x)=﹣f(x) , ∴f( )=f( 故答案为: . 点评: 本题考查了奇函数的性质的应用,以及赋值法求函数值,注意需要根据条件选取恰 当的值进行求解. )=﹣f( )=﹣( ﹣ +1)= ,

16.满足条件 AB=2,AC=2BC 的三角形 ABC 的面积最大值是 .

考点: 正弦定理的应用. 专题: 解三角形. 分析: 设 BC=x, 根据面积公式用 x 和 sinB 表示出三角形的面积, 再根据余弦定理用 x 表示 出 sinB,代入三角形的面积表达式,进而得到关于 x 的三角形面积表达式,再根据 x 的范围 求得三角形面积的最大值.

解答: 解:设 BC=x,则 AC=2x,由余弦定理可得 cosB= 由于三角形 ABC 的面积为 ?2?x?sinB=x

=



=

=

=



再由三角形任意两边之和大于第三边可得
2

,解得
4 2

<x<2,故

<x <4.

2

再利用二次函数的性质可得,当 x =

时,函数﹣9x +40x +16 取得最大值为



故 故答案为 .

的最大值为



点评: 本题主要考查了余弦定理和面积公式在解三角形中的应用.当涉及最值问题时,可 考虑用函数的单调性和定义域等问题,属于中档题. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.设△ ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, (a+b+c) (a﹣b+c)=ac. (1)求证:A+C= (2)若 sinAsinC= ; ,求 cos(A﹣C)的值.

考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 解三角形. 2 2 2 分析: (1)由(a+b+c) (a﹣b+c)=ac,可得 a +c ﹣b =﹣ac,利用余弦定理可得 ,解得 .即可证明.

(2)展开 cos(A﹣C)=cosAcosC+sinAsinC=cos(A+C)+2sinAsinC,即可得出. 解答: (1)证明:∵(a+b+c) (a﹣b+c)=ac, 2 2 2 ∴a +c ﹣b =﹣ac, ∴ ∵B∈(0,π) , =﹣ ,



. ;

∴A+C=π﹣B=

(2)解:cos(A﹣C)=cosAcosC+sinAsinC =cosAcosC﹣sinAsinC+2sinAsinC =cos(A+C)+2sinAsinC = .

点评: 本题考查了余弦定理、两角和差的余弦公式,考查了推理能力与计算能力,属于中 档题. 18.某校 2014-2015 学年高二上期月考语文试题的连线题如下: 将中国四大名著与它们的作者连线,每本名著只能与一名作者连线,每名作者也只能与一本 名著连 线.其得分标准是:每连对一个得 3 分,连错得﹣1 分.

一名考生由于考前没复习本知识点,所以对此考点一无所知,考试时只得随意连线,现将该 考生的 得分记作 ξ. (Ⅰ)求这名考生所有连线方法总数; (Ⅱ)求 ξ 的分布列及数学期望. 考点: 离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ)所有连线方法总数为四个元素在四个位置的全排列; (Ⅱ)ξ=﹣4,0,4,12,求出相应的概率,即可求得 ξ 的分布列及数学期望. 解答: 解: (Ⅰ) 所有连线方法总数为四个元素在四个位置的全排列,所以连线方法总数 是 种.

(Ⅱ) ξ 的可能取值为﹣4,0,4,12, P(ξ=12)= ,

P(ξ=4)=



P(ξ=0)=



P(ξ=﹣4)= ξ 的分布列为: ξ ﹣4 P 数学期望



0

4

12



点评: 本题考查概率的求解,考查离散型随机变量的分布列与期望,解题的关键是正确理 解事件,求概率,确定变量的取值,属于中档题

19.如图,在直角梯形 ABCP 中,AP∥BC,AP⊥AB,AB=BC= AP=2,D 是 AP 的中点,E, F,G 分别为 PC、PD、CB 的中点,将△ PCD 沿 CD 折起,使得 PD⊥平面 ABCD. (1)求证:平面 PCD⊥平面 PAD; (2)求面 GEF 与面 EFD 所成锐二面角的大小.

考点: 二面角的平面角及求法;平面与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)由 PD⊥平面 ABCD,可得 PD⊥CD,又 CD⊥AD,可得 CD⊥平面 PAD,利用 面面垂直的判定定理即可证明; (2)如图以 D 为原点,以 DA,DC,DP 分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系 D﹣xyz.不 妨设 AB=BC= =2.则 G(1,2,0) ,E(0,1,1) ,F(0,0,1) ,

=(0,﹣1,0) ,

=(1,1,﹣1) .设平面 EFG 的法向量为 =(x,y,z) ,利用



可得 ,利用法向量的夹角即可得出. 解答: (1)证明:∵PD⊥平面 ABCD, ∴PD⊥CD,

∵CD⊥AD,PD∩AD=D. ∴CD⊥平面 PAD, ∵CD?平面 PCD, ∴平面 PCD⊥平面 PAD. (2)解:如图以 D 为原点,以 DA,DC,DP 分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系 D﹣xyz. 不妨设 AB=BC= =(0,﹣1,0) , =2.则 G(1,2,0) ,E(0,1,1) ,F(0,0,1) , =(1,1,﹣1) .

设平面 EFG 的法向量为 =(x,y,z) , ∴ ,可得 ,令 x=1,解得 z=1,y=0,

∴ =(1,0,1)为平面 PCD 的一个法向量, =(1,0,0) . ∴ .

∴面 GEF 与面 EFD 所成锐二面角的大小 45°.

点评: 本题考查了线面面面垂直的判定与性质定理,考查了通过建立空间直角坐标系利用 平面的法向量的夹角得出二面角的方法,考查了空间想象能力,考查了推理能力与计算能力, 属于难题.
2

20. 在数列{an}中, an>0, Sn 为其前 n 项和, 向量 其中 p>0 且 p≠1. (1)求数列{an}的通项公式;

= (Sn, p ﹣an) , = (1, p﹣1) , 且





(2)若 p= ,数列{bn}满足对任意 n∈N ,都有 b1an+b2an﹣1+…+bna1=2 ﹣ n﹣1,求数列{bn} 的前 n 项和 Tn. 考点: 数列的求和;平面向量数量积的运算. 专题: 等差数列与等比数列.

*

n

分析: (1)由已知条件推导出(p﹣1)an+1=an﹣an+1,从而得到 ,n∈N . (2)当 p= 时,
1a2+bna1= *

,由此求出

,n∈N ,由已知条件求出 b1=1,由 b1an+b2an﹣1+…+bn﹣ ,利用错位相减法能求出数列{bn}的前 n 项和 Tn. ∥ ,∴(p﹣1)Sn=p ﹣an, ,解得 a1=p,
2

*

解答: 解: (1)∵ 由

又由



两式相减得: (p﹣1)an+1=an﹣an+1,∴ ∴数列{an}是以首项为 p,公比为 的等比数列, ∴ (2)当 p= 时, 在 b1an+b2an﹣1+…+bna1= 令 n=1,则 ∵ ,∴b1=1, ,① , ,n∈N . ,n∈N , 中,
* *



∵b1an+b2an﹣1+…+bn﹣1a2+bna1= ∴b1an﹣1+b2an﹣2+…+bn﹣2a2+bn﹣1a1= 将上式两边同乘公比
n

,n≥2,

得,

b1an+b2an﹣1+…+bn﹣1a2=2 ﹣n﹣1, (n≥2) ,② ①减去②得, ∴{bn}的前 n 项和 Tn= ,∴bn=n,n≥2,又 b1=1,∴bn=n,n∈N , .
*

点评: 本题考查数列的通项公式的求法,考查数列的前 n 项和的求法,解题时要认真审题, 注意错位相减法的合理运用.

21. 已知椭圆 C:

+

=1 的一个焦点与抛物线 y =4x 的焦点重合, 且椭圆 C 经过点 M (

2



) . (1)求椭圆 C 的方程; (2)求椭圆 C 的任意两条互相垂直的切线的交点 P 的轨迹方程; (3)设(2)中的两切点分别为 A,B,求点 P 到直线 AB 的距离的最大值和最小值. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题.

分析: (1)由已知得

,由此能求出椭圆 C 的方程.

(2)当两切线 l1,l2 的斜率有一条不存在(另一条必为 0)时,点 P( 线 l1,l2 的斜率均存在且不为 0 时,设 l1:y=kx+m,l2:y=﹣
2 2

) ;当两切

,设 P(x0,y0) ,则 m=y0
2

﹣kx0,n=

,联立

,得(4k +3)x +8kmx+4m ﹣12=0,由此利用根

的判别式,结合已知条件能求出动点 P 的轨迹方程. (3)设动点 P(x0,y0) ,则 ,直线 AB 的方程为 ,过 B(x2,y2)

的切线 l2:

,得直线 AB 的方程为

,由此能求出点 P 到直线 AB 的

距离的最大值和最小值. 解答: 解: (1)∵椭圆 C: + =1 的一个焦点与抛物线 y =4x 的焦点 F(1,0)重合,
2

且椭圆 C 经过点 M(



) ,



,解得 a=2,b=



∴椭圆 C 的方程为



(2)①当两切线 l1,l2 的斜率有一条不存在(另一条必为 0)时, 点 P( ) ; ②当两切线 l1,l2 的斜率均存在且不为 0 时,

设 l1:y=kx+m,l2:y=﹣

, , (ii)
2

设 P(x0,y0) ,则 m=y0﹣kx0, (i) ,n=
2 2

联立

,得(4k +3)x +8kmx+4m ﹣12=0,

∵l1:y=kx+m 与椭圆相切,∴△=0, 于是 m =4k +3,同理 n =
2 2 2

+3,



,整理,得:



两式相加,得(k +1) 即 ,

2



P(±2,±3)也在此曲线上, 2 2 综上,动点 P 的轨迹方程为:x +y =7. (3)设动点 P(x0,y0) ,则 ,

下先证明直线 AB 的方程为



设两切点 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 设过 A(x1,y1)的切线:y﹣y1=k1(x﹣x1)代入椭圆方程得: 2 2 2 (3+4k1 )x +8k1(y1+k1x1)x+4(y1﹣k1x1) ﹣12=0, 由△ =0 得, ,









代入得: (

) =0,∴

2



于是过 A(x1,y1)的切线 l1:



当过 A(x1,y1)的切线斜率不存在时仍然符合上式, 同理过 B(x2,y2)的切线 l2: ,

而 l1,l2 均过 P(x0,y0) ,故





由此可得直线 AB 的方程为 ∴P 点到直线 AB 的距离:



d=

=

=





,∴点 P 到直线 AB 的距离的最大值和最小值分别为





点评: 本题考查椭圆 C 的方程,考查点的轨迹方程,考查点到直线 AB 的距离的最大值和 最小值,解题时要认真审题,注意点到直线的距离公式的合理运用. 22.已知函数 f(x)=x?(1+lnx) . (1)求 f(x)的单调区间和极值; (2)若 x1,x2>0,p1,p2>0,p1+p2=1,求证:p1f(x1)+p2f(x2)≥f(p1x1+p2x2) . 考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性. 专题: 综合题;导数的综合应用. 分析: (1)对函数求导,导函数小于等于零,函数是单调减函数,求出减区间,即可得到 单调增区间,也可获得极值. (2)令 g(x)=p1f(x1)+p2f(x)﹣f(p1x1+p2x) .不妨设 0<x1≤x≤x2,只需证明 g(x2)≥g (x1) ,可通过证明 g′(x)≥0 得出 g(x)在(x1,x2)是增函数. ﹣2 解答: 解: (1)由于 f′(x)=2+lnx,令 f′(x)=0 得 x=e ,列表: ﹣2 ﹣2 ﹣2 x (0,e ) e (e ,+∞) f′(x) 负 0 正 f(x) 单减 极小值 单增 于是 f(x)的单调递减区间是(0,e ) ,单调递增区间是(e ,+∞) , 在 x=e
﹣2 ﹣2 ﹣2

处取得极小值,极小值为 f(e )=﹣

﹣2

,无极大值;

(2)令 g(x)=p1f(x1)+p2f(x)﹣f(p1x1+p2x) .不妨设 0<x1≤x≤x2, 则 g′(x)=p2f′(x)﹣p2f′(p1x1+p2x) . ∵p1x1+p2x﹣x=p1x1﹣p1x≤0, ∴p1x1+p2x≤x,而 f′(x)=2+lnx 在(0,+∞)上是增函数,所以 f′(x)≥f′(p1x1+p2x) . ∴g′(x)≥0,g(x)在(x1,x2)是增函数,所以 g(x2)≥g(x1) , 即 p1f(x1)+p2f(x2)≥f(p1x1+p2x2) . 点评: 本题考查函数的单调性与导数,函数性质的应用,不等式的证明考查分析解决问题 能力.本题关键是构造出合适的函数,利用单调性证明不等式.



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