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2014届高三数学一轮复习专讲专练 6.2 等差数列及其前n项和



双基限时练?
巩固双基,提升能力 一、选择题 1.(2012· 福建)等差数列{an}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4

解析:a1+a5=2a3=10,则 a3=5,所以 d=a4-a3=7-5=2. 答案:B 2. (2012· 辽宁)在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则该

数列前 11 项和 S11=( ) B.88 D.176 ?a1+a11?×11 ?a4+a8?×11 = =88. 2 2

A.58 C.143 解析:方法一:S11=

方法二:S11=11a6=11×8=88. 答案:B 3.(2013· 山东临沂质检)在等差数列{an}中,若 a2+a4+a6+a8+a10=80,则 1 a7-2a8 的值为( A.4 C.8 ) B.6 D.10

解析:∵a2+a4+a6+a8+a10=5a6=80,∴a6=16. 2a7-a8 a6 1 a7-2a8= 2 = 2 =8. 答案:C 4.(2013· 宁夏银川一中质检)已知数列{an}为等差数列且 a1+a7+a13=4π,

则 tan(a2+a12)的值为( A. 3 3 C.- 3

) B.± 3 D.- 3

解析:由等差数列的性质,得 a1+a7+a13=3a7=4π, 4π ∴a7= 3 .tan(a2+a12)=tan(2a7) 8π 2π =tan 3 =tan 3 =- 3. 答案:D 5. (2012· 浙江)设 Sn 是公差为 d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前 n 项和, 则下 列命题错误的是( )

A.若 d<0,则数列{Sn}有最大项 B.若数列{Sn}有最大项,则 d<0 C.若数列{Sn}是递增数列,则对任意 n∈N*,均有 Sn>0 D.若对任意 n∈N*,均有 Sn>0,则数列{Sn}是递增数列 解析:方法一:特殊值验证排除.选项 C 显然是错的,举出反例: -1,0,1,2,…,满足数列{Sn}是递增数列,但是 Sn>0 不恒成立. n?n-1? d d? ? 方法二: 由于 Sn=na1+ 2 d=2n2+?a1-2?n, 根据二次函数的图象与性 ? ? 质知当 d<0 时,数列{Sn}有最大项,即选项 A 正确;同理选项 B 也是正确的; 而若数列{Sn}是递增数列,那么 d>0,但对任意的 n∈N*,Sn>0 不成立,即选 项 C 错误;反之,可知选项 D 是正确的.故应选 C. 答案:C π 6. (2012· 四川)设函数 f(x)=2x-cosx, n}是公差为8的等差数列, 1)+f(a2) {a f(a +…+f(a5)=5π,则[f(a3)]2-a1a5=( )

A.0 1 C.8π2 解析:∵f(x)=2x-cosx, ∴f(a1)+f(a2)+f(a3)+f(a4)+f(a5)

1 B.16π2 13 D.16π2

=2a1-cosa1+2a2-cosa2+2a3-cosa3+2a4-cosa4+2a5-cosa5 =10a3-(cosa1+cosa2+cosa3+cosa4+cosa5) π? π? ? ? ? =10a3-?cos?a3-4?+cos?a3-8?+cosa3+
? ? ? ? ?

π? π?? ? ? cos?a3+8?+cos?a3+4??
? ? ? ??

=10a3-( 2+ 2+ 2+1)cosa3=5π.① π?? π? ? [f(a3)]2-a1a5=(2a3-cosa3)2-?a3-4??a3+4?
? ?? ?

π2 =(3a3-cosa3)(a3-cosa3)+16.② π 13π2 由①知 a3=2,代入②得结果为 16 . 答案:D 二、填空题 7.(2012· 江西)设数列{an},{bn}都是等差数列.若 a1+b1=7,a3+b3=21, 则 a5+b5=__________. 解析:设数列{an},{bn}的公差分别为 d1,d2, 因为 a3+b3=(a1+2d1)+(b1+2d2)=(a1+b1)+2(d1+d2)=7+2(d1+d2)=21, 所以 d1+d2=7, 所以 a5+b5=(a3+b3)+2(d1+d2)=21+2×7=35. 答案:35

8.(2012· 广东)已知递增的等差数列{an}满足 a1=1,a3 =a2 -4,则 an = 2 __________. 解析:设数列{an}的公差为 d(d>0),则 1+2d=(1+d)2-4,解得 d=2,∴ an=2n-1. 答案:2n-1 9.(2013· 东莞质检)已知 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 a2∶a4=7∶6, 则 S7∶S3=__________. a2 7 a4 6 解析:∵a =6,∴a =7. 4 2 1 7a 7· 4 6 ∴1 =7. 3a 3· 2 1 S 7·7 6 S7 ∴1 =7.∴S =2. 3 ·3 S 3 答案:2 三、解答题 10.(2013· 潮州调研)在数列{an}中,a1=1,3anan-1+an-an-1=0(n≥2). 1 (1)求证:数列{a }是等差数列; n (2)求数列{an}的通项. 解析:(1)因为 3anan-1+an-an-1=0(n≥2), 1 1 整数,得a - =3(n≥2), an-1 n
?1? 所以数列?a ?是以 1 为首项,3 为公差的等差数列. ? n?

1 1 (2)由(1)可得a =1+3(n-1)=3n-2,所以 an= . 3n-2 n

11.(2012· 湖北)已知等差数列{an}前三项的和为-3,前三项的积为 8. (1)求等差数列{an}的通项公式; (2)若 a2,a3,a1 成等比数列,求数列{|an|}的前 n 项和. 解析:(1)设等差数列{an}的公差为 d,则 a2=a1+d,a3=a1+2d,
?3a1+3d=-3, ? 由题意得? ?a1?a1+d??a1+2d?=8. ? ?a1=2, ?a1=-4, ? ? 解得? 或? ? ? ?d=-3, ?d=3.

所以由等差数列通项公式得 an=2-3(n-1)=-3n+5,或 an=-4+3(n- 1)=3n-7. 故 an=-3n+5,或 an=3n-7. (2)当 an=-3n+5 时,a2,a3,a1 分别为-1,-4,2,不成等比数列; 当 an=3n-7 时,a2,a3,a1 分别为-1,2,-4,成等比数列,满足条件.
?-3n+7,n=1,2, ? 故|an|=|3n-7|=? ?3n-7,n≥3, ?

记数列{|an|}的前 n 项和为 Sn. 当 n=1 时,S1=|a1|=4; 当 n=2 时,S2=|a1|+|a2|=5; 当 n≥3 时,Sn=S2+|a3|+|a4|+…+|an| =5+(3×3-7)+(3×4-7)+…+(3n-7) ?n-2?[2+?3n-7?] =5+ 2 3 11 =2n2- 2 n+10. 当 n=2 时,满足此式.

n=1, ?4, 综上,Sn=?3 2 11 ?2n - 2 n+10,n>1. 12.(2012· 山东)在等差数列{an}中,a3+a4+a5=84,a9=73. (1)求数列{an}的通项公式; (2)对任意 m∈N*,将数列{an}中落入区间(9m,92m)内的项的个数记为 bm,求 数列{bm}的前 m 项和 Sm. 解析:(1)因为{an}是一个等差数列, 所以 a3+a4+a5=3a4=84,a4=28. 设数列{an}的公差为 d, 则 5d=a9-a4=73-28=45,故 d=9. 由 a4=a1+3d,得 28=a1+3×9,即 a1=1. 所以 an=a1+(n-1)d=1+9(n-1)=9n-8(n∈N*). (2)对 m∈N*,若 9m<an<92m,则 9m+8<9n<92m+8. 因此 9m-1+1≤n≤92m-1.故得 bm=92m-1-9m-1. 于是 Sm=b1+b2+b3+…+bm =(9+93+…+92m-1)-(1+9+…+9m-1) 9×?1-81m? 1-9m = - 1-81 1-9 92m+1-10×9m+1 = . 80



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