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2014届高三理科数学二轮复习专题能力提升训练:数列的综合应用问题


2014 届高三理科数学二轮复习专题能力提升训练 数列的综合应用问题
一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.设{an}是等比数列,则“a1<a2<a3 是递增数列”的 ( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ).
学科 王

2.在等差数列{an}中,若 a1,a2 011 为方程 x2-10x+16=0 的两根,则 a2+a1 006 +a2 010= ( A.10 B.15 C.20 D.40 ).
学科 王

3.已知正项组成的等差数列{an}的前 20 项的和为 100,那么 a6· a15 的最大值为 ( A.25 B.50 C.100 D.不存在
学科王

).

4.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,过点 P(n,Sn)和 Q(n+1,Sn+1)(n∈N*)的直线 的斜率为 3n-2,则 a2+a4+a5+a9 的值等于 ( A.52 B.40 C.26 D.20 ).

5.已知各项都是正数的等比数列{an}中,存在两项 am,an(m,n∈N*)使得 aman 1 4 =4a1,且 a7=a6+2a5,则m+n的最小值是 ( 3 A.2 4 B.3 2 C.3 3 D.4 ).

二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 6.为了解某校高三学生的视力情况,随机地抽查了该校 200 名高三学生的视力 情况,得到频率分布直方图,如图.由于不慎将部分数据丢失,但知道前 4 组的频数成等比数列,后 6 组的频数成等差数列,设最大频率为 a,视力在 4.6 到 4.9 之间的学生数为 b,则 a,b 的值分别为________.

学科王

2 7.在等比数列{an}中,首项 a1=3,a4=?4(1+2x)dx,则公比 q 为________. ?
1

8.已知数列{an}中,a1=1,且 P(an,an+1)(n∈N*)在直线 x-y+1=0 上,若函数 f(n)= 1 1 1 1 + + +?+ (n∈N*,且 n≥2),函数 f(n)的最小值 n+a1 n+a2 n+a3 n+an

是________. 三、解答题(本题共 3 小题,共 35 分) 9.(11 分)已知数列{an}是等差数列,满足 a2=5,a4=13.数列{bn}的前 n 项和是 Tn,且 Tn+bn=3. (1)求数列{an}及数列{bn}的通项公式; (2)若 cn=an· bn,试比较 cn 与 cn+1 的大小. 1 * 10.(12 分)首项为正数的数列{an}满足 an+1=4(a2 n+3),n∈N . (1)证明:若 a1 为奇数,则对一切 n≥2,an 都是奇数; (2)若对一切 n∈N*都有 an+1>an,求 a1 的取值范围. 11.(12 分)等比数列{an}中,a1,a2,a3 分别是下表第一、二、三行中的某一个 数,且 a1,a2,a3 中的任何两个数不在下表的同一列. 第一列 第一行 第二行 第三行 (1)求数列{an}的通项公式;
学科王 学 科王

第二列 2 4

第三列 10 14 18
学科王

3 6 9
学科王

8

(2)若数列{bn}满足:bn=an+(-1)nln an,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

参考答案
1.C [“a1<a2<a3”?“数列{an}是递增数列”.]
学科王

2. B [由题意, 知 a1+a2 011=a2+a2 010=2a1 006=10, 所以 a2+a1 006+a2 010=15, 故选 B.] 3.A ( [S20= 20?a1+a20? =10(a1+a20)=100,故 a6+a15=a1+a20=10,a6· a15≤ 2

a6+a15 2 2 ) =25.] Sn+1-Sn =3n-2,∴Sn+1-Sn=3n-2,即 an+1=3n-2,∴ ?n+1?-n

4.B [由题意得,

an=3n-5,因此数列{an}是等差数列,a5=10,而 a2+a4+a5+a9=2(a3+a7) =4a5=40,故选 B.] 5.A [记等比数列{an}的公比为 q(q>0),依题意有 a5q2=a5q+2a5,由 a5≠0, 得 q2-q-2=0,解得 q=2,
2 又(a1· 2m-1)· (a1· 2n-1)=16a1 ,
学科王

即 2m+n-2=24,∴m+n-2=4,∴m+n=6, 1 4 1 1 4 1 n 4m ∴m+n=6(m+n)(m+n)=6[5+(m+ n )]≥ 1 3 6(5+4)=2.] 6.解析 第一组的频数为:0.1×0.1×200=2,
学科王

第二组的频数为:0.3×0.1×200=6,

故第三组的频数为:18,第四组的频数为:54. 54 ∴a=200=0.27.后五组的频数共有:200-80=120. 又后六组成等差数列,所以第七组的频数为 24,第五、六组的频数共为 78, 故 b=54+78=132. 答案 7. 解析 0.27,132
4 ?1+2x?dx=?x+x2??4 2 2 3 a4 ∵a4= ? = (4 + 4 ) - (1 + 1 ) = 18 , ∴ q =a =27, 1 ?1 ? 1

∴q=3. 答案 3

8.解析

由题意知,an-an+1+1=0,即 an+1-an=1,数列{an}是等差数列,公 1 1 1 1 + + +?+ ,∵f(n+ n+1 n+2 n+3 n+n

差 d=1,an=n,当 n≥2 时,f(n)= 1)-f(n)=

1 1 1 1 1 1 + + +?+ -( + + n+1+1 n+1+2 n+1+3 n+1+n+1 n+1 n+2

1 1 1 1 1 1 1 +?+ )= + - = - >0 , ∴f(2)<f(3) n+3 n+n 2n+1 2n+2 n+1 2n+1 2n+2 <?,∴[f(n)]min=f(2)= 答案 9.解 7 12 1 1 7 + = . 2+1 2+2 12

学科王

(1)∵a2=5,a4=13,∴a4=a2+2d,即 13=5+2d.

∴d=4,∴a1=1,∴an=4n-3. 又 Tn+bn=3,∴Tn+1+bn+1=3, 1 ∴2bn+1-bn=0,即 bn+1=2bn. 3 ∵b1+b1=3,∴b1=2, 3 1 ∴数列{bn}为首项是2,公比是2的等比数列, 3 1 3 ∴bn=2(2)n-1=2n.
学科王

3?4n-3? 3?4n+1? (2)cn=anbn= 2n ,∴cn+1= , 2n+1 3?4n+1? 3?4n-3? 3?-4n+7? cn+1-cn= n+1 - 2n = . 2 2n+1 ①当 n=1 时,cn+1-cn>0,∴cn+1>cn;
学科王

②当 n≥2(n∈N*)时,cn+1-cn<0,∴cn+1<cn. 10.(1)证明 已知 a1 是奇数,假设 ak=2m-1 是奇数,其中 m 为正整数,则由

a2 k +3 递推关系得 ak+1= 4 =m(m-1)+1 是奇数. 根据数学归纳法,对任何 n∈N*,an 都是奇数. (2)解 >3.
学科王

法一

1 由 an+1-an=4(an-1)· (an-3)知, an+1>an 当且仅当 an<1 或 an

1+3 另一方面,若 0<ak<1,则 0<ak+1< 4 =1; 32+3 若 ak>3,则 ak+1> 4 =3. 根据数学归纳法,0<a1<1?0<an<1,?n∈N*,a1>3?an>3,?n∈N*. 综上所述,对一切 n∈N*都有 an+1>an 的充要条件是 0<a1<1 或 a1>3. 法二 a2 1+3 由 a2= 4 >a1,得 a2 1-4a1+3>0,于是 0<a1<1 或 a1>3.an+1-an

2 a2 n+3 an-1+3 ?an+an-1??an-an-1? = 4 - 4 = , 4

a2 n+3 因为 a1>0,an+1= 4 ,所以所有的 an 均大于 0,因此 an+1-an 与 an-an-1 同号. 根据数学归纳法,?n∈N*,an+1-an 与 a2-a1 同号. 因此,对一切 n∈N*都有 an+1>an 的充要条件是 0<a1<1 或 a1>3. 11.解 (1)当 a1=3 时,不合题意;

当 a1=2 时,当且仅当 a2=6,a3=18 时,符合题意; 当 a1=10 时,不合题意.
学科王

因此 a1=2,a2=6,a3=18. 所以公比 q=3.故 an=2· 3n-1.
学科王

(2)因为 bn=an+(-1)nln an=2· 3n-1+(-1)nln(2· 3n-1) =2· 3n-1+(-1)n[ln 2+(n-1)ln 3]
学科王

=2· 3n-1+(-1)n(ln 2-ln 3)+(-1)nnln 3, 所以 Sn=2(1+3+?+3n-1)+[-1+1-1+?+(-1)n]· (ln 2-ln 3)+[-1+2 -3+?+(-1)nn]ln 3. 所以当 n 为偶数时,
学科王

1-3n n n Sn=2× +2ln 3=3n+2ln 3-1; 1-3 当 n 为奇数时, 1-3n ?n-1 ? Sn=2× -(ln 2-ln 3)+? ln 3 -n?· 1-3 ? 2 ? n-1 =3n- 2 ln 3-ln 2-1.

n 3 + ln 3-1,n为偶数, ? ? 2 综上所述,S =? n-1 3- ? ? 2 ln 3-ln 2-1,n为奇数.
n n n


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