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河北省唐山一中2013届高三第一次月考数学(文)试题



?

??

唐山一中 2013 届高三第一次月考数学(文)试题
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.) 1.已知集合 M ? {x |
3 2 x ?1 x ?1 ? 1} ,集合 N ? {x | 2 x ? 3 ? 0} ,则 (C

R M ) ? N ? ( 3 2 3 5 3 2 3 2

)

A.(-

,1 )

B.(-

,1 ]

C.[-

,1 )

D.[-

,1 ]

2.已知 ? 是第二象限角,且 sin( ? ? ? ) ? ? A.
4 5

,则 tan2 ? 的值为( C. ) C. f ( x) ? ( ) | x|
4 1

)
24 7

B. ?

23 7

24 7

D. ?

3.下列函数中,在其定义域是减函数的是( A. f ( x) ? ? x ? 2 x ? 1
2

B. f ( x) ?

1 x

D. f ( x) ? ln(2 ? x)

4. 下列函数中,最小正周期为 ? ,且图象关于直线 x ? A. y ? 2 sin( 2 x ? C. y ? 2 sin(
x 2 ?

?
3

对称的函数是(
?
6

)

?
3

)

B. y ? 2 sin( 2 x ? D. y ? 2 sin( 2 x ?
2 x

)

?
3

)

?
3

)

5. 函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? A.(3,4)

的零点所在的大致区间是( C.(1,2)

) D.(0,1) )

B.(2,e)
2

6.已知二次函数 f ( x) ? x ? ax ? 4 ,若 f ( x ? 1) 是偶函数,则实数 a 的值为( A. -1 B.1 C.-2 D.2

7. 已知 a , b 是非零向量且满足 ( a ? 2 b ) ? a , ( b ? 2 a ) ? b ,则 a 与 b 的夹角是( A.
?
6



B.

?
3

C.

2? 3

D.

5? 6

8. 各项均为正数的等比数列 ? a n ? 中, a 2 ? 1 ? a1 , a 4 ? 9 ? a 3 ,则 a 4 ? a 5 等于( A.16 9. 函数 y ? 2 sin( A. [ 0 ,
?
3 ]



B.27
?
6 ? 2 x )( x ? [ 0 ,

C.36
? ]) 为增函数的区间是(
7? 12 ]

D.-27 ) D. [
5? 6 , ?]

B. [

?
12

,

C. [

?
3

,

5? 6

]

10.已知函数 f ( x) ? ?

?? x ? 1( ?1 ? x ? 0) ?? x ? 1(0 ? x ? 1)

,则 f ( x) ? f (? x) ? ?1 的解集为(

)

?

??

A.(-∞,-1)∪(1,+∞)

B.[-1,-

1 2

)∪(0,1]

C.(-∞,0)∪(1,+∞)
? ? 2 3 ? ?

D.[-1,-

1 2

]∪(0,1)

11.若数列 ? n ( n ? 4 )( ) ? 中的最大项是第 k 项,则 k ? (
n

) D.6

A.3
x

B.4
2

C.5

12.已知函数 f ( x ) ? e ? 1, g ( x ) ? ? x ? 4 x ? 3 ,若有 f ( a ) ? g ( b ) ,则 b 的取值范围为 (
?


2,2 ? 2? ?

A. ? 2 ?

B. (2 ?

2,2 ?

2)

C. ?1, 3 ?

D. ? 1, 3 ?

第Ⅱ卷
二.填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分。 ) 13.若幂函数 f ( x ) 的图象过点 ( ? 8, 4) ,则该幂函数的解析式为
n ?

.
? an ? ? ? ?为 n ? 2 ?

14.数列 ?a n ? 中,a 1 ? 5 , a n ? 2 a n ?1 ? 2 ? 1( n ? N , n ? 2 ) , 若存在实数 ? , 使得数列 ? 等差数列,则 ? = .

?x ? 2 y ? 2 ? 15.设变量 x , y 满足约束条件 ? 2 x ? y ? 4 则目标函数 z ? 3 x ? y 的取值范围是________. ?4 x ? y ? ?1 ?

16. 已知函数 f ( x ) ? ax 数为 f
/

3

? bx

2

? cx ? d ( a ? 0 ) 的对称中心为 M ( x 0 , y 0 ) ,记函数 f ( x ) 的导函
//

(x ) , f

/

( x ) 的导函数为 f

( x ) ,则有 f

//

( x 0 ) ? 0 。若函数

f

?x? ?

? 1 ? ? 2 ? ? 4022 ? ? 4023 ? 3 2 x ? 3 x ,则可求得: f ? ?? f ? ? ? ... ? f ? ? ? f ? ?? ? 2012 ? ? 2012 ? ? 2012 ? ? 2012 ?

. 三.解答题:(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。)
2 17(10 分)命题 p :关于 x 的不等式 x ? 2 ax ? 4 ? 0 ,对一切 x ? R 恒成立,命题 q :函数

f ( x ) ? ( 3 ? 2 a ) 是增函数,若 p ? q 为真, p ? q 为假,求实数 a 的取值范围.
x

18(12 分)已知函数 f ( x ) ? x ? ax
3

2

? 3x .

(1)若 f ( x ) 在 ?1, ?? ? 上是增函数,求实数 a 的取值范围;

?

??

(2)若 x ? 3 是 f ( x ) 的极值点,求 f ( x ) 在 ?1, a ? 上的最小值和最大值.

19.(10 分)在△ABC 中, a , b , c 分别为内角 A.B.C 所对的边,且满足 sin A ? 2 ? (1)求角 A 的大小
? (2)现给出三个条件:① a ? 2 ② B ? 45 ③ c ?

3 cos A

3 b 试从中选出两个可以确定△ABC 的条件写出

你的选择,并以此为依据求△ABC 的面积(只需写出一个选定方案即可,选多种方案以第一种 方案记分)

20.(12 分)已知 f ( x ) ? x ln x . g ( x ) ? ? x ? ax ? 3
2

(1)求函数 f ( x ) 在 ?t , t ? 2 ?( t ? 0 ) 上的最小值; (2)对一切 x ? ( 0 , ?? ), 2 f ( x ) ? g ( x ) 恒成立,求实数 a 的取值范围.

21.(12 分)函数 f ( x ) ? 6 cos

2

?x
2

?

3 sin ? x ? 3 (? ? 0 ) 在一个周期内的图象如图所示, A 为图象

的最高点, B 、 C 为图象与 x 轴的交点,且 ? A B C 为正三角形. (1)求 ? 的值及函数 f ( x ) 的值域; (2)若 f ( x 0 ) ?
8 3 5

,且 x 0 ? ( ?

10 2 , ) ,求 f ( x 0 ? 1) 的值. 3 3

22. (12 分)已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,且 a 2 a n ? S 2 ? S n 对一切正整数 n 都成立.

(1)求 a 1 , a 2 的值; (2)设 a 1 ? 0 ,数列 { lg
1 0 a1 an } 的前 n 项和为 T n ,当 n 为何值时, T n 最大?并求出 T n 的最大值.

?

??

唐山一中 2013 届高三年级月考答案

数 学 试 卷(文)

18(12 分).已知函数 f ( x ) ? x ? ax
3

2

? 3x .

(1)若 f ( x ) 在 ?1, ?? ? 上是增函数,求实数 a 的取值范围; (2)若 x ? 3 是 f ( x ) 的极值点,求 f ( x ) 在 ?1, a ? 上的最小值和最大值.
2 2 解析: (1) f ? ( x ) ? 3 x ? 2 ax ? 3 ,要 f ( x ) 在 ?1, ?? ? 上是增函数,则 f ? ( x ) ? 3 x ? 2 ax ? 3 ? 0 在

x ? ?1, ?? ? 恒成立,∴

a 3

? 1且 3 ? 2 a ? 3 ? 0

故a ? 0。
2 (2)由 x ? 3 是 f ( x ) 的极值点,得 a ? 4 ,∴ f ? ( x ) ? 3 x ? 8 x ? 3

而 x ? ?1, 3 ? 时, f ? ( x ) ? 0 , x ? ?3 , 4 ? 时, f ? ( x ) ? 0 故 f ( x ) 在 ?1, 4 ? 上最大值是 ? 6 ,最小值是 ? 18 19.(10 分)在△ABC 中,a.b.c 分别为内角 A.B.C 所对的边,且满足 sin A ? 2 ? (1)求角 A 的大小
3 cos A

?

??

20.(12 分)已知 f ( x ) ? x ln x . g ( x ) ? ? x ? ax ? 3
2

(1)求函数 f ( x ) 在[t,t+2](t>0)上的最小值 (2)对一切 x ? ( 0 , ?? ), 2 f ( x ) ? g ( x ) 恒成立,求实数 a 的取值范围。

(2) 2 x ln x ? ? x ? ax ? 3
2

则 a ? 2 ln x ? x ?

3 x

设 h ( x ) ? 2 ln x ? x ?
'

3 x

则 h (x) ?
'

2 x
'

?

3 x
2

?1?

( x ? 3 )( x ? 1) x
2

x ? (1, ?? ) h ( x ) ? 0 , h ( x ) 递增

x ? ( 0 ,1) h ( x ) ? 0 , h ( x ) 递减

?

??



h ( x ) min ? h (1) ? 4
2

故所求 a 的范围是(-∞,4]
? 3 sin ? x ? 3 (? ? 0 ) 在一个周期内的图象如图所示, A 为图象的最高

21 函数 f ( x ) ? 6 cos

?x
2

点, B 、 C 为图象与 x 轴的交点,且 ? A B C 为正三角形. (Ⅰ)求 ? 的值及函数 f ( x ) 的值域; (Ⅱ)若 f ( x 0 ) ?
8 3 5

,且 x 0 ? ( ?

10 2 , ) ,求 f ( x 0 ? 1) 的值. 3 3

?

7 6 5

?

??

(2)当 a1>0 时,由(I)知, a 1 ? 当 n ? 2时,有( 2 ? 所以,an= 2 a n ?1 ( n ? 2 ) 所以 a n ? a 1 ( 2 ) 令 b n ? lg
10 a 1 an
n ?1

2 ? 1, a 2 ? 2 ?

2;
2 )an-1=S2+Sn-1

2) a n ? s 2 ? s n , (2+

? ( 2 ? 1) ? ( 2 )

n ?1

, 则 b n ? 1 ? lg(
1 2

2)

n ?1

?

1 2

lg

100 2
n ?1

所以,数列{bn}是以 ? 则 b1>b2>b3>>b7= lg 当 n≥8 时,bn≤b8=
10 8 1 2

lg 2 为公差,且单调递减的等差数列.

? lg 1 ? 0 100 128 ? 1 2 lg 1 ? 0

lg

所以,n=7 时,Tn 取得最大值,且 Tn 的最大值为 T7=
( b 1 ? b 7) 7 2 ? 7? 21 2 lg 2



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