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版高考数学一轮复习第九章平面解析几何第讲抛物线练习理新人教A版-精



【创新设计】 (全国通用)2017 版高考数学一轮复习 第九章 平面解 析几何 第 7 讲 抛物线练习 理 新人教 A 版
基础巩固题组 (建议用时:45 分钟) 一、选择题 1.点 M(5,3)到抛物线 y=ax (a≠0)的准线的距离为 6,那么抛物线的方程是( A.y=12x
2 2

)

B.y=12x 或 y

=-36x
2

2

2

C.y=-36x

1 2 1 2 D.y= x 或 y=- x 12 36

1 2 1 2 解析 分两类 a>0,a<0 可得 y= x ,y=- x . 12 36 答案 D 2.O 为坐标原点,F 为抛物线 C:y =4 2x 的焦点,P 为 C 上一点,若|PF|=4 2,则△POF 的面积为( A.2 ) B.2 2 C.2 3 D.4
2

解析 设 P(x0,y0),则|PF|=x0+ 2=4 2,∴x0=3 2, ∴y0=4 2x0=4 2×3 2=24,∴|y0|=2 6. 由 y =4 2x,知焦点 F( 2,0), 1 1 ∴S△POF= |OF|·|y0|= × 2×2 6=2 3. 2 2 答案 C 3.(2015·浙江卷)如图,设抛物线 y =4x 的焦点为 F,不经过焦点的直 线上有三个不同的点 A,B,C,其中点 A,B 在抛物线上,点 C 在 y 轴 上,则△BCF 与△ACF 的面积之比是( A. C. |BF|-1 |AF|-1 |BF|+1 |AF|+1 B. D. ) |BF| -1 2 |AF| -1 |BF| +1 2 |AF| +1
2 2 2 2 2

解析 过 A,B 点分别作 y 轴的垂线,垂足分别为 M,N,则|AM|=|AF|-1,|BN|=|BF| 1 ·|CB|·|CF|·sin∠BCF S△BCF 2 |CB| |BN| |BF|-1 -1.可知 = = = = ,故选 A. S△ACF 1 |CA| |AM| |AF|-1 ·|CA|·|CF|·sin ∠BCF 2 答案 A
1

4.已知点 A(-2,3)在抛物线 C:y =2px(p>0)的准线上,过点 A 的直线与 C 在第一象限相 切于点 B,记 C 的焦点为 F,则直线 BF 的斜率为( A. 1 2 B. 2 3
2

2

) D. 4 3

C.

3 4

解析 ∵A(-2,3)在抛物线 y =2px 的准线上, ∴- =-2,∴p=4,∴y =8x,设直线 AB 的方程为 x=m(y-3)-2①,将①与 y =8x 2 联立,即?
? ?x=m(y-3)-2, ?y =8x, ?
2

p

2

2

得 y -8my+24m+16=0②,

2

1 2 2 则 Δ =(-8m) -4(24m+16)=0,即 2m -3m-2=0,解得 m=2 或 m=- (舍去),将 m 2 =2 代入①②解得? 答案 D 5.(2016·哈尔滨、长春、沈阳、大连四市联考)已知抛物线 C:y =4x 的焦点为 F,直线 y → → = 3(x-1)与 C 交于 A,B(A 在 x 轴上方)两点.若AF=mFB,则实数 m 的值为( A. 3 B. 3 2 C.2 D.3 )
2

?x=8, ?

8-0 4 即 B(8,8),又 F(2,0),∴kBF= = ,故选 D. 8-2 3 ?y=8, ?

解析

联立抛物线与直线方程得,?

?y= 3(x-1), 1 解得 xA=3,xB= ,∵所给直线经 2 3 ?y =4x,

4 过抛物线的焦点 F, 且其准线为 x=-1, ∴A 点到准线的距离为 4, B 点到准线的距离为 , 3 → → 据抛物线定义可有|AF|=3|FB|,结合已知条件AF=mFB可得,m=3.故选 D. 答案 D 二、填空题 6.已知抛物线 y =2px(p>0),过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A、B 两点,若线段
2

AB 的中点的纵坐标为 2,则该抛物线的准线方程________.

? ? 2 解析 ∵y =2px 的焦点坐标为? ,0?, ?2 ?
p
∴过焦点且斜率为 1 的直线方程为 y=x- , 2 即 x=y+ ,将其代入 y =2px,得 y =2py+p , 2 即 y -2py-p =0.
2 2

p

p

2

2

2

2

设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 y1+y2=2p,∴

y1+y2
2
2

=p=2,

∴抛物线的方程为 y =4x,其准线方程为 x=-1. 答案 x=-1 7.已知抛物线 C:y =2px(p>0)的准线为 l,过 M(1,0)且斜率为 3的直线与 l 相交于点 A, → → 与 C 的一个交点为 B,若AM=MB,则 p=________. 解析 如图,由 AB 的斜率为 3, → → 知 α =60°,又AM=MB, ∴M 为 AB 的中点. 过点 B 作 BP 垂直准线 l 于点 P, 则∠ABP=60°,∴∠BAP=30°. 1 ∴|BP|= |AB|=|BM|. 2 ∴M 为焦点,即 =1,∴p=2. 2 答案 2 8.(2016·沈阳质量监测)已知抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F,△ABC 的顶点都在抛物线 1 1 1 → → → 上,且满足FA+FB+FC=0,则 + + =________.
2 2

p

kAB kBC kCA

解析

? ? ? ? ? ? 设点 A(x1 , y1) , B(x2 , y2) , C(x3 , y3) , F? ,0? ,则 ?x1- ,y1? + ?x2- ,y2? + 2 2 2 ? ? ? ? ? ?
p p p

?x3-p,y3?=(0,0),故 y +y +y =0. ? ? 1 2 3 2 ? ?
2 2 (y2-y1) x2-x1 2p y2+y1 1 y3+y2 1 y3+y1 因为 = = = ,同理可知 = , = ,所以原式= kAB y2-y1 y2-y1 2p kBC 2p kCA 2p

1

1

2(y1+y2+y3) =0. 2p 答案 0 三、解答题

y2 x2 2 9.(2016·湛江质检)双曲线 2- =1(a>0)的离心率为 5,抛物线 C:x =2py(p>0)的焦点 a 4
在双曲线的顶点上. (1)求抛物线 C 的方程;

3

(2)过 M(-1,0)的直线 l 与抛物线 C 交于 E,F 两点,又过 E,F 作抛物线 C 的切线 l1,

l2,当 l1⊥l2 时,求直线 l 的方程.
解 (1)双曲线的离心率 e= 4 1+ 2= 5,

a

又 a>0,∴a=1,双曲线的顶点为(0,1), 又 p>0,∴抛物线的焦点为(0,1), ∴抛物线方程为 x =4y. (2)由题知,直线 l 的斜率必存在, 设直线 l 的方程为 y=k(x+1),E(x1,y1),F(x2,y2), 1 2 1 ∵y= x ,∴y′= x, 4 2 ∴切线 l1,l2 的斜率分别为 , , 2 2 当 l1⊥l2 时, · =-1,∴x1x2=-4, 2 2 由?
? ?y=k(x+1), ?x =4y ?
2 2 2

x1 x2

x1 x2

得 x -4kx-4k=0,

2

∴Δ =(-4k) -4(-4k)>0,∴k<-1 或 k>0.① 由根与系数的关系得,x1·x2=-4k=-4,∴k=1,满足①, 即直线的方程为 x-y+1=0. 10.(2014·陕西卷)如图,曲线 C 由上半椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0,y≥ 0)和部分抛物线 C2: y=-x +1(y≤0)连接而成, C1 与 C2 的公共点为 A,
2

y2 x2 a b

B,其中 C1 的离心率为
(1)求 a,b 的值;

3 . 2

(2)过点 B 的直线 l 与 C1,C2 分别交于点 P,Q(均异于点 A,B),若 AP⊥AQ,求直线 l 的 方程. 解 (1)在 C1,C2 的方程中,令 y=0,可得 b=1,且 A(-1,0),B(1,0)是上半椭圆 C1

的左、右顶点. 设 C1 的半焦距为 c,由 = ∴a=2,b=1. (2)由(1)知,上半椭圆 C1 的方程为 +x =1(y≥0). 4
4

c a

3 2 2 2 及 a -c =b =1 得 a=2. 2

y2

2

易知,直线 l 与 x 轴不重合也不垂直,设其方程为 y=k(x-1)(k≠0), 代入 C1 的方程,整理得(k +4)x -2k x+k -4=0.(*) 设点 P 的坐标为(xP,yP), ∵直线 l 过点 B,∴x=1 是方程(*)的一个根. 由求根公式,得 xP=
2 2 2 2 2

k2-4 -8k ,从而 yP= 2 , k2+4 k +4

?k -4 -8k ? ∴点 P 的坐标为? 2 , 2 ?. ?k +4 k +4?
同理,由?
?y=k(x-1)(k≠0), ? ? ?y=-x +1(y≤0)
2 2

得点 Q 的坐标为(-k-1,-k -2k). 2k → → ∴AP= 2 (k,-4),AQ=-k(1,k+2). k +4 -2k → → ∵AP⊥AQ,∴AP·AQ=0,即 2 [k-4(k+2)]=0, k +4 8 ∵k≠0,∴k-4(k+2)=0,解得 k=- . 3 8 8 经检验,k=- 符合题意,故直线 l 的方程为 y=- (x-1). 3 3 能力提升题组 (建议用时:25 分钟) 11.(2016·哈尔滨一模)已知抛物线 C:y =8x 的焦点为 F,准线为 l,P 是 l 上一点,Q 是 → → 直线 PF 与 C 的一个交点,若PF=3QF,则|QF|=( A. 5 2 B. 8 3 C.3 ) D.6
2 2

→ → 解析 设 Q 在 x 轴上方且到准线 l 的距离为 d,则|QF|=d.∵PF=3QF,∴|PQ|=2d,∴ 直线 PF 的斜率为- (2d) -d
2 2

d

=- 3.又 F(2,0),∴直线 PF 的方程为 y=- 3(x-

2 2 8 2 2),与 y =8x 联立可解得 x= 或 x=6(舍去).故 d= -(-2)= .故 3 3 3 选 B. 答案 B → → 2 12.已知 F 为抛物线 y =x 的焦点,点 A,B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧,OA·OB=2(其 中 O 为坐标原点),则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( )

5

A.2

B.3

C.

17 2 8

D. 10

→ 2 2 2 解析 如图,可设 A(m ,m),B(n ,n),其中 m>0,n<0,则OA=(m ,

m),OB=(n2,n),OA·OB=m2n2+mn=2,解得 mn=1(舍)或 mn=-2.
∴lAB:(m -n )(y-n)=(m-n)(x-n ),即(m+n)(y-n)=x-n ,令
2 2 2 2



→ →

y=0,解得 x=-mn=2,∴C(2,0). S△AOB=S△AOC+S△BOC= ×2×m+ ×2×(-n)=m-n,S△AOF= × ×m= m,则 S△AOB+S△AOF= m-n+ m= m-n= m+ ≥2 8 8 8 m
与△AFO 面积之和的最小值为 3. 答案 B 13.已知抛物线 C:y =8x 与点 M(-2,2),过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A、B 两 → → 点.若MA·MB=0,则 k=________. 解析 抛物线 C 的焦点为 F(2,0),则直线方程为 y=k(x-2),与抛物线方程联立,消去
2

1 2

1 2

1 2

1 4

1 8

1

9

9

2

9 2 9 2 4 m· =3,当且仅当 m= ,即 m= 时等号成立.故△ABO 8 m 8 m 3

y 化简得 k2x2-(4k2+8)x+4k2=0.设点 A(x1,y1),B(x2,y2).
8 则 x1+x2=4+ 2,x1x2=4.

k

8 所以 y1+y2=k(x1+x2)-4k= ,

k

y1y2=k [x1x2-2(x1+x2)+4]=-16.
→ → 因为MA·MB=(x1+2,y1-2)·(x2+2,y2-2)=(x1+2)(x2+2)+(y1-2)(y2-2)=x1x2+ 2(x1+x2)+y1y2-2(y1+y2)+8=0, 将上面各个量代入,化简得 k -4k+4=0,所以 k=2. 答案 2 14.(2015·东北三校二模)设 F 是抛物线 C:y =4x 的焦点.P 是 C 上一点,斜率为-1 的直 2 线 l 交 C 于不同两点 A,B(l 不过 P 点),且△PAB 的重心的纵坐标为- . 3 (1)记直线 PA,PB 的斜率分别为 k1,k2,求 k1+k2 的值; 1 1 (2)求 + 的最大值. |FA| |FB| 解 (1)设直线 l 的方程为 y=-x+b,将它代入 y =4x 得 x -2(b+2)x+b =0,由题意
2 2 2 2 2 2

2

得 Δ =16(b+1)>0,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=2(b+2),x1x2=b ,y1+y2=
6

-(x1+x2)+2b=-2(b+2)+2b=-4, 2 因为△PAB 的重心的纵坐标为- . 3 所以 y1+y2+yP=-2,所以 yP=2,所以 xP=1. 所以 k1+k2= =

y1-2 y2-2 + x1-1 x2-1

(y1-2)(x2-1)+(y2-2)(x1-1) , (x1-1)(x2-1)

又(y1-2)(x2-1)+(y2-2)(x1-1) =[-x1+(b-2)](x2-1)+[-x2+(b-2)](x1-1) =-2x1x2+(b-1)(x1+x2)-2(b-2) =-2b +2(b-1)(b+2)-2(b-2)=0. 所以 k1+k2=0. 1 1 1 1 x1+x2+2 2(b+3) (2) + = + = = 2 .由 Δ =16(b+1)>0 得 |FA| |FB| x1+1 x2+1 x1x2+(x1+x2)+1 b +2b+5
2

b>-1,
∵l 不过 P 点,∴b≠3.令 t=b+3,则 t>2 且 t≠6. ∴ 1 |FA| + 1 |FB| = 2t 2t = 2 = (t-3) +2(t-3)+5 t -4t+8 ?
2

2 ≤ 8? ?t+ ?-4 2

2 8 t· -4



?

t?

t

2+1 8 1 1 2+1 ,当 t= ,即 t=2 2时, + 取最大值,最大值为 . 2 t |FA| |FB| 2

7



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