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浙江省台州四校2014届高三上学期期中联考数学理试题 Word版含答案



台州市四校 2014 届高三上学期期中联考数学(理科)试卷
2013 年 11 月 注意:本卷共 22 题,满分 150 分,考试时间 120 分钟 参考公式:
如果事件 A、B 互斥,那么 棱柱的体积公式

P( A ? B) ? P( A) ? P( B)
如果事件 A、B 相互独立,那么

V ? Sh<

br />其中 S 表示棱柱的底面积,h 表示棱柱的高 棱锥的体积公式

P( A ? B) ? P( A) ? P( B)
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P,那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率
k Pn (k ) ? Cn P k (1 ? P) n ? k (k ? 0,1,2,?, n)

1 V ? Sh 3
其中 S 表示棱锥的底面积,h 表示棱锥的高 棱台的体积公式

1 V ? h(S1 ? S1S 2 ? S 2 ) 3
其中 S1,S2 分别表示棱台的上下底面积, h 表示棱台的高

球的表面积公式 S ? 4?R 2 球的体积公式 V球 ? ?R 3 其中 R 表示球的半径

4 3

第 I 卷(选择题
目要求的.

共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题

1.已知全集 U=R,集合 A ? {x y ? 2 x ? x 2 } , B ? { y y ? 2 x , x ? R} ,则 (C R A) ? B ? A. x x ? 2





?

?

B. x 0 ? x ? 1
2 2

?

?

C. {x 1 ? x ? 2}

D. x x ? 0

?

?
( )

2.“ a ? 1”是“函数 y ? cos ax ? sin ax 的最小正周期为 ? ”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 3.已知 x, y ? R ,则 A. lg(2 ? 2 ) ? lg 2 ? lg 2
x y x y

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ( B. lg(2 ? 2 ) ? lg 2 ? lg 2
x y x y



C. lg(2

x? y

) ? lg 2 x ? lg 2 y

D. lg(2

x? y

) ? lg 2 x ? lg 2 y

4.若将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题,则该命题称为“可换命题”。 下列四个命题: ①垂直于同一平面的两直线平行;②垂直于同一平面的两平面平行; ③平行于同一直线的两直线平行;④平行于同一平面的两直线平行. 其中是“可换命题”的是 ( ) A.①② B.①④ C.①③ D.③④ 5.已知 S n 为等差数列 ? an ? 的前 n 项和,若 a1 ? ?2012 , A.2 011 B.2 010 C.0

S2010 S2004 ? ? 6 ,则 S 2013 等于( 2010 2004
D.2



6.将函数 y ? sin(2 x ? A.向左平移

?
3

) 的图象经怎样平移后所得的图象关于点 (?

?
12

, 0) 中心对称





? ? ? ? B.向左平移 C.向右平移 D.向右平移 12 12 6 6 ??? ??? ???? ???? ? ? 7. 已知△ABC, A ?B ,若 P0 是边 AB 上一定点, 且 C C 若对于边 AB 上任一点 P , 恒有 PB ? PC ? P0 B ? P0C
则 ( )

???? 1 ??? ? A. P0 B = AB 2

???? 1 ??? ? B. P0 B = AB 3

???? 2 ??? ? C. P0 B = AB 3

???? 1 ??? ? D. P0 B = AB 4

?3 x ? y ? 6 ? 0, a2 b2 ? 8. x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0, 若目标函数 z ? ax ? by(a ? 0, b ? 0) 的最大值是 12, 设 则 ? 的 9 4 ? x ? 0, y ? 0, ?
最小值为 A. ( B. )

13 25

1 2

C.1

D. 2
/

9.已知函数 y ? f ( x) 是定义在数集 R 上的奇函数,且当 x ? (??, 0) 时, xf ( x) ? f (? x) 成立,若

1 1 a ? 3 f ( 3 ) , b ? (lg 3) f (lg 3) , c ? (log 2 ) f (log 2 ) ,则 a, b, c 的大小关系是 ( 4 4 A. c ? a ? b B. c ? b ? a C. a ? b ? c D. a ? c ? b ? f a ( x), f a ( x) ? f b ( x) 2 10.已知函数 ft ( x) ? ( x ? t ) ? t ( t ? R ) ,设 a ? b , f ( x ) ? ? ,若 ? fb ( x), f a ( x) ? f b ( x) 函数 f ( x) ? x ? a ? b 有四个零点,则 b ? a 的取值范围是 (
A. (2 ? 5, ??) B. (0, 2 ? 5) C. (0, 2 ? 3) D. (2 ? 3, ??)





第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)
二、填空题: 本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.已知复数 z1=m+2i,z2=3-4i,若

z1 为实数,则实数 m 的值为 z2

.

12.在等差数列 ? an ? 中,若 a1 ? a5 ? a9 ? 4? ,则 tan(a2 ? a8 ) 13.已知 f ( x) ?

. . 图

x ?1,1, x? ?0,0, ?

则不等式 x ? ( x ? 2) ? f ( x ? 2) ≤5 的解集是

14.如右图,某几何体的正视图是平行四边形,侧视图和俯视 都是矩形,则该几何体的体积为 15.已知函数 f ( x) ? 2cos .

且 f ( x ) ? f ( ) 对 x ? R 恒成立.则 a ? 16.已知向量 a, b 满足 a ? b ? a ? b ? 2 , 且 (a ? c) ? (b ? 2c) ? 0 ,则 b ? c 的最小值为

?

x x x (cos ? a sin ) ( a ? R ), 2 2 2
.

? ? ?

3

?

?

? ? ?

? ?

?

?

. .

3 17.已知 f ( x) ? ax ? 3x ? 1 ,若 x ? ? ?1,1? ,总有 f ? x ? ≥0 成立,则 a 的取值的集合为

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 18. (本题 14 分) 2b ? c cos C 已知 ?ABC 的三内角 A , B , C 与所对的边 a , b , c 满足 . ? a cos A (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ) 如果用 p sin A, sin B, sin C 为长度的线段能围成以 psin A 为斜边的直角三角形,试求实数 p 的 取值范围.

19. (本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和 S n 满足: S n ? a ( S n ? a n ? 1) ( a 为常数, a ? 0, a ? 1) (Ⅰ)求 ?a n ?的通项公式;
2 (Ⅱ)设 bn ? a n ? S n ? a n ,若数列 {bn } 为等比数列,求 a 的值。

20. (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形,

AD / / BC , ?ADC ? 900 ,平面 PAD ⊥底面 ABCD ,Q 为 的 中 点 , M 是 棱 PC 上 的 点 , P A? P D 2 , ? 1 BC ? AD ? 1 , CD ? 3 . 2 (I) 求证:平面 PQB ⊥平面 PAD ; (II)若二面角 M ? BQ ? C 为 30°,设 PM ? tMC , 试确定 t 的值。
21.(本小题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ? px ? qx ? 2 在 x ? 2 处取得极小值 ?2 。
3 2

AD

(1)设 T ? x ? ? f ( x ) ? m ,若 T ? x ? 有三个零点,求实数 m 的范围; ( 2 ) 是 否 存 在 实 数 k , 当 a ? b ? 2 时 , 使 得 函 数 g ? x? ?

? a, b? (a ? b) ,若存在,求 k 的范围;若不存在,说明理由

1 f ? ? x ? ? k 在 定 义 域 ? a, b ? 上 值 域 为 3

22. (本小题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ?

1 ? ln x x 1 3

(1)若函数 f(x)区间 (a, a ? )( a ? 0) 上存在极值点,求实数 a 的取值范围; (2)当 x ? 1 时,不等式 f ( x) ?

k 恒成立,求实数 k 的取值范围; x ?1
2

(3)求证: [(n ? 1)!]2 ? (n ? 1)en ?2? n ?1 ( n ? N * ,e 为自然对数的底数,e = 2.71828……).

数学(理科)试卷参考答案
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的。

1-5
11. ?

A ADCC

6-10

A DB AA
3 2
14. 9 3 15. 3

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。

3 12. ? 3 2 7? 3 16. 17. 2

13. (??, ]

?4?

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算过程. 18.(本小题满分 14 分) 2sin B ? sin C cos C 解: (Ⅰ)由题意得, ? sin A cos A ………… 3 分 ? 2sin B cos A ? sin( A ? C ) ? sin B

1 2 ? ? A ? ; 3 2 2 2 2 (Ⅱ) p sin A ? sin B ? sin C , ? cos A ?
则p
2

………… 6 分

?

4 2 ? 4 (sin 2 B ? sin 2 C ) ? sin(2 B ? ) ? ………… 10 分 3 3 6 3 2? ? ? 7? ),2 B ? ? ( ? , ), p2 ? (1,2], 又 B ? (0, 3 6 6 6 则 p ? (1, 2] 。 ………… 14 分

19.(本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ) S1 ? a( S1 ? a1 ? 1) ∴ a1 ? a, 当 n ? 2 时, S n ? a( S n ? a n ? 1)

………… 2 分

S n ?1 ? a( S n ?1 ? a n ?1 ? 1)
两式相减得: a n ? a ? a n ?1 , ∴ an ? a ? a n ?1 ? a n
n n 2

an ? a (a≠0,n≥2)即 {an } 是等比数列.… 5 分 an ?1
……………… 7 分

a(a ? 1) n (2a ? 1)a 2 n ? aa n a ? (Ⅱ)由 a≠1 得 bn ? (a ) ? ,…… 10 分 a ?1 a ?1
若 {bn } 为等比数列,则有 b2 2 ? b1b3 , 而 b1 ? 2a
3 2
4 2 , b2 ? a (2a ? 1) , b3 ? a (2a ? a ? 1)

3

故 [a (2a ? 1)] ? 2a ? a (2a ? a ? 1) ,
2
2 4 2

1 , 2 1 1 再将 a ? 代入得 bn ? ( ) n 成立, 2 2 1 所以 a ? . 2
解得 a ?

…………………12 分

…………………14 分

20.(本小题满分 14 分) 解:(I)∵AD // BC,BC=

1 AD,Q 为 AD 的中点, 2

∴四边形 BCDQ 为平行四边形,∴CD // BQ . ∵∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即 QB⊥AD. 又∵平面 PAD⊥平面 ABCD 且平面 PAD∩平面 ABCD=AD, ∴BQ⊥平面 PAD. ∵BQ ? 平面 PQB, ∴平面 PQB⊥平面 PAD.…………6 分 另证:AD // BC,BC=

1 AD,Q 为 AD 的中点, 2

z P M D C N B y

∴ 四边形 BCDQ 为平行四边形,∴CD // BQ . ∵ ∠ADC=90° ∴∠AQB=90°. ∵ PA=PD, ∴PQ⊥AD. ∵ PQ∩BQ=Q, ∴AD⊥平面 PBQ. ∵ AD ? 平面 PAD, ∴平面 PQB⊥平面 PAD.……9 分 (II)∵PA=PD,Q 为 AD 的中点, ∴PQ⊥AD. Q ∵平面 PAD⊥平面 ABCD,且平面 PAD∩平面 ABCD=AD, ∴PQ⊥平面 ABCD. A 如图,以 Q 为原点建立空间直角坐标系. ? 3 x 则平面 BQC 的法向量为 n ? (0, 0,1) ; Q(0,0,0) , P ( 0 , 0 , ,)

B(0, 3, 0) , C (?1, 3, 0) . ???? ? ???? ? 设 M ( x, y, z ) ,则 PM ? ( x, y, z ? 3) , MC ? (?1 ? x, 3 ? y, ? z ) , t ? ?x ? ? 1? t ? x ? t (?1 ? x) ? ???? ???? ? ? ? 3t ? ∵ PM ? tMC ,∴ ? y ? t ( 3 ? y ) , ∴ ?y ? ……12 分 1? t ? ? ? z ? 3 ? t (? z) ? 3 ?z ? 1? t ? ???? ? ??? ? t 3t 3 , , ), 在平面 MBQ 中, QB ? (0, 3, 0) , QM ? (? 1? t 1? t 1? t ?? ∴ 平面 MBQ 法向量为 m ? ( 3, 0, t ) .

∵二面角 M-BQ-C 为 30°, 21.(本小题满分15分) 解: (1)易知: ?

? ?? n?m t 3 ? ,∴ t ? 3 .……14 分 c o s 3 0 ? ?? ? ? ? 2 n m 3 ? 0 ? t2

(请见反面)

从而 T ? ? x ? ? f ? ? x ? ? 3x ? x ? 2 ? ? 0 ,得极大值为 T ? 0 ? ,极小值为 T ? 2 ? ,

? f ?(2) ? 12 p ? 4q ? 0 3 2 得 f ? x ? ? x ? 3x ? 2 ? f (2) ? 8 p ? 4q ? 2 ? ?2

………… 3 分

?T ? 0 ? ? m ? 2? 0 ? 得 m ? ? ?2, 2 ? ………… 5 分 ? T ? x ? 有三个零点 ? ? ?T ? 2 ? ? 2? m ? 0 ? (2)假设存在这样的实数 k , 2 显然 g ? x ? ? x ? 2 x ? k ,对称轴 x ? 1 ,

当 a ? b ? 1时, g ? x ? 递减, ?

由 ?1? ? ? 2 ? 得 a ? b ? 1,满足范围,且分别以 b ? 1 ? a 和 a ? 1 ? b 代入(1)(2)得: 、

? g ( a ) ? a 2 ? 2a ? k ? b(1) ? 2 ? g (b) ? b ? 2b ? k ? a (2) ?

………… 7 分

?k ? ?a 2 ? a ? 1 ? ? 5? 2 ,即 k ? ? x ? x ? 1 在 ?1, ?? ? 上有两解,可得 k ? ?1, ? …10 分 ? 2 ? 4? ? k ? ?b ? b ? 1 ? 当 a ? 1 ? b 时,显然 g min ? x ? ? g ?1? ? k ? 1 ? a ,

a?b ? 1 ,所以 g max ? x ? ? g ? a ? ? a 2 ? 2a ? k ? b 2 2 2 得 b ? a ? 2a ? k ? a ? a ? 1 ,又 1 ? b ? 2 ? a ,所以 a ? ? ?1, 0? ,
又 所以 k ? ? 0,1? 当 1 ? a ? b 时,显然不符合 a ? b ? 2 ,舍; 综上: k ? ?0, ? 4 22.(本小题满分 15 分) …………13 分

? 5? ? ?

…………15 分

1 ? x ? ?1 ? ln x ? ? 1 ln x (1)解:函数 f (x)定义域为(0,+∞), f ?( x) ? x ?? 2 , 2 x x 由 f ?( x) ? 0 得:x = 1,当 0 < x <1 时, f ?( x) ? 0 ,当 x > 1 时, f ?( x) ? 0 , ∴f (x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, 函数 f (x)在 x = 1 处取得唯一的极值 ?a ? 0 2 2 ? 由题意得 ? ? a ? 1 ,故所求实数 a 的取值范围为 ( , 1) 1 ? a ?1? a ? 3 3 ? 3 ?
(2)解: 当 x≥1 时,不等式 f ( x) ≥ 令 g ( x) ?

-----2 分 -----4 分

( x ? 1)(1 ? ln x) k 1 ? ln x k 化为: ,即 k ≤ ≥ x ?1 x x ?1 x

( x ? 1)(1 ? ln x) ( x ≥1) ,由题意,k≤g (x)在[1,+∞)恒成立 x x[( x ? 1)(1 ? ln x)]? ? ( x ? 1)(1 ? ln x) ? x ? x ? ln x g ?( x) ? ? x2 x2 1 令 h( x) ? x ? ln x ( x ≥1) ,则 h?( x) ? 1 ? ≥ 0 ,当且仅当 x = 1 时取等号 x 所以 h( x) ? x ? ln x 在[1,+∞)上单调递增,h (x)≥h(1) = 1 > 0
x ? ln x h ? x ? ? 2 ? 0 ,∴g (x)在[1,+∞)上单调递增, g ( x)min ? g (1) ? 2 x2 x 因此,k≤2,即实数 k 的取值范围为(-∞,2]

----5 分 ----6 分

----7 分

因此 g ?( x) ?

----8 分

2 恒成立, x ?1 1 ? ln x 2 2 2 即 ,整理得: ln x ≥1 ? 10 分 ≥ ?1? x x ?1 x ?1 x 2 1 1 ?1 ? 2( ? ) 令 x = k(k + 1),k∈N*,则有 ln[ k ( k ? 1)] ?1 ? k (k ? 1) k k ?1 分别令 k = 1,2,3,…,n,则有 1 1 1 ln(1 ? 2) ? 1 ? 2(1 ? ), ln(2 ? 3) ? 1 ? 2( ? ) ,…, 2 2 3

(3) 由(2)知,当 x≥1 时,不等式 f ( x) ≥

1 1 ? ) n n ?1 将这 n 个不等式左右两边分别相加,得 ln[n(n ? 1)] ? 1 ? 2( ln[1 ? 22 ? 32 ? ? ? n2 (n ? 1)] ? n ? 2(1 ? 1 2 )?n?2? n ?1 n ?1
2 n ? 2? 2 n ?1

------12 分

故 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ( n ? 1) ? e
2 2 2 2

n?2?

2 n ?1

,从而 [(n ? 1)!] ? (n ? 1)e

----15 分



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