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《平面向量的基本定理及坐标表示》--〈平面向量的坐标表示及运算〉课件[1].ppt


1、平面向量的坐标表示与平面向量基

本定理的关系。
2、平面向量的坐标是如何定义的? 3、平面向量的运算有何特点?

类似地,由平面向量的基本定理,对于平面上的 ? ?? ? 任意向量 a,均可以分解为不共线的两个向量 λa1 1 ?? ? ? ?? ? ?? ? 和 λ a 2 使得 a =λa1 +λa2 2 1 2

在平面上,如果选取互相垂直的向量作为 基底时,会为我们研究问题带来方便。

我们知道,在平面直角坐标系, 每一个点都可用一对有序实数(即它 的坐标)表示,对直角坐标平面内的 每一个向量,如何表示?

a=xi+yj
y yj j O i xi
图 1

a

我们把(x,y)叫做向量a 的 (直角)坐标,记作 a=(x,y), 其中x叫做a 在x轴上的坐标, x y叫做a在y轴上的坐标,(x ,y) 叫做向量的坐标表示。
? i =(1,0) ? j =(0,1) ? (0,0) 0 =

y yj a x

j O i xi

图 1

如图,在直角坐标平面内,以原 点O为起点作OA=a,则点A的位 y y A(x,y) 置由a唯一确定。 设OA=xi+yj,则向量OA的坐标 (x,y)就是点A的坐标;反过来,

a j O i x

点A的坐标(x,y)也就是向量OA
x 的坐标。因此,在平面直角坐标 系内,每一个平面向量都可以用 一对实数唯一表示。

例1 如图,用基底i,j分别表示向量a、b、c、 d ,并求出它们的坐标。
y b A i d A2 解:由图3可知a=AA1+AA2=2i+3j, ∴ a=(2,3)

a
A1 x

同理,b=-2i+3j=(-2,3)
c=-2i-3j=(-2,-3)

j O c

d=2i-3j=(2,-3)

? ? 已知 a =(x1 ,y1 ) , b =(x2 ,y2 ) ? ? ? ? ? 你能得出 a + b ,a - b , a λ
的坐标吗?

已知,a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j) =(x1+x2)i+(y1+y2)j 即 a+b=(x1+x2,y1+y2) 同理可得 a-b=(x1-x2,y1-y2)

这就是说,两个向量和与差的坐标分别等 于这两个向量相应坐标的和与差。

结论: 一个向量的坐标等于表示此向量 的有向线段的终点的坐标减去始点的 坐标。
y

A(x1,y1)

如图,已知A(x1,y1),B(x2,y2), 则 AB= OB - OA
B(x2,y2)

O

x

= (x2,y2) - (x1,y1) = (x2-x1,y2-y1)

你能在图中标出坐标为 (x2 - x1 ,y2 - y1 ) 的P点吗?
y A(x1,y1) B(x2,y2) O x

P

已知a=(x,y)和实数λ,那么 λ a= λ(x, y) 即 λa=(λx, λy)
? 这就是说,实数与向量的积的坐

标等用这个实数乘以原来向量的 相应坐标。

例4 已知a=(2,1),b=(-3, 4),求a+b,a-b,3a+4b

例5 已知平行四边形ABCD的三个定点A、 B、C的坐标分别为(-2,1)、 (-1,3)、(3,4),求顶点D的坐标

例5 已知平行四边形ABCD的三个定点A、 B、C的坐标分别为(-2,1)、(-1, 3)、(3,4),求顶点D的坐标

平行四边形ABCD的对角线交于点O,且 知道AD=(3,7), AB=(-2,1),求OB 坐标。

设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b是 共线向量如何用坐标来表 非零向量,那么可以知道,a//b的充 要条件是存在一实数λ,使 示呢? a= λb 这个结论如果用坐标表示,可写为 (x1,y1)= λ(x2,y2) 即 x1= λx2 y1= λy2

问题:

消去λ后得

x1y2-x2y1=0
也就是说,a//b(b≠0)的充要条件是

x1y2-x2y1=0

练习:下列向量组中,能作为表示它 们所在平面内所有向量的基底,正确 的有( )

(1)e1=( -1 , 2 ),e2=( 5 , 7 )
(2)e1=( 3 , 5 ),e2=( 6 , 10 ) (3)e1=( 2 , -3 ),e2=( 1/2 , -3/4 )

例6、已知 a=(4,2), b=(6,y), 且 a//b ,求 y 的值。

例7、已知A(-1,-1),B(1,3),C(2, 5),判断A、B、C三点的位置关系。

C B A

如图,当 P1P =λ 时,点P的坐标 是什么?
PP2

作业:课本A组3、4、5、6


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