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山东省日照市2013-2014学年高二上学期期末考试数学(文)试题



二〇一二级高二上学期模块考试 文科数学
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的)

x2 ? y 2 ? 1的渐近线的方程为( 1、双曲线 4
A. y ? ?

) D. y ? ?4 x

>
x 2

B. y ? ? x )

C. y ? ?2 x

2、下列命题正确的是(
2 2 A.若 a ? b ,则 ac ? bc

B.若 a ? ?b ,则 ? a ? b D.若 a ? b ,则 a ? c ? b ? c ) B. ?x0 ? R, tan x0 ? 2 D. ?x ? N ? ,( x ? 2)2 ? 0 )

C.若 ac ? bc ,则 a ? b 3、下列命题中,假命题是( A. ?x ? R,3x?2 ? 0 C. ?x0 ? R,log2 x0 ? 2
2

4、不等式 3 ? 5 x ? 2 x ? 0 的解集是(

1 2 1 C. {x | x ? 3 或 x ? } 2
A. {x | x ? 3 或 x ? }

B. {x | ? D.R

1 ? x ? 3} 2

5、等差数列 ?an ? 的前 n 项和是 Sn ,若 a1 ? a2 ? 5, a3 ? a4 ? 9 ,则 S10 的值为( A.55 B.65 C.60 ) D.70



6、下列结论中正确的是(

A.当 x ? 0 且 x ? 1 时, lg x ?

1 ?2 lg x

B.当 x ? 0 时, x ?

1 ?2 x

1 的最小值为 2 x 1 D.当 0 ? x ? 2 时,函数 y ? x ? 无最大值。 x
C.当 x ? 2 时,函数 y ? x ?
页 1第

7、在 ?ABC 中,若 S ?ABC ? A.

? 3

B.

? 4

1 2 (a ? b 2 ? c 2 ) ,那么 C 等于( 4 2? 3? C. D. 3 4



8、一元二次方程 ax2 ? 2x ? 1 ? 0(a ? 0) 有一个正跟和一个负根的充分不必要条件是( ) A. a ? 0 B. a ? 0 C. a ? ?1 D. a ? 1

9、已知向量 m ? (2 ? 2 y, x), n ? ( x ? 2 y,3 y) ,且 m, n 的夹角为钝角,则在 xOy 平面上,点 ( x, y ) 所在的 区域是( )

10、已知等比数列 ?an ? 中,各项都是正数,且 a1 , A. 1 ? 2 B. 1 ? 2 C. 3 ? 2 2

1 a ?a a3 , 2a2 成等差数列,则 8 9 等于( 2 a6 ? a7
D. 3 ? 2 2



11、某同学要做一个三角形,要求三条高的程度分别为 A.不能做出满足要求的三角形 C.能作出一个直角三角形 12、双曲线

1 2 ,1, ,则( 2 5



B.能作出一个锐角三角形 D.能作出一个钝角三角形

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,渐近线分别为 l1 , l2 ,点 P 在第一象限内且 a 2 b2


在 l1 上,若 l2 ? PF 1 , l2 // PF 2 ,则双曲线的离心率是( A. 5 B.2 C. 3 D. 2

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在答题卷的横线上。. 13、已知抛物线的顶点为坐标原点,对称轴为 x 轴,且过点 P(?2, 2 2) ,则抛物线的方程为 14、如图,一船自西向东匀速航行,上午 10 时到达一座 灯塔 P 的南偏西 75 距灯塔 68 海里的 M 处,下午 2 时到达



2第

这座灯塔的东南方向 N 处,则该船航行的速度为

海里/小时

15、设 f ? x ? 定义如下面数表, ?xn ? 满足 x0 ? 5 ,且对任意自然数 n 均有 xn?1 ? f ( xn ) ,则 x2011 的值为

x
f ( x) 1

1 4

2 1

3 3

4 5

5 2

?0 ? x ? 2 4 ? 16、已知 x, y 满足约束条件 ?0 ? y ? 2 ,目标函数 z ? ax ? y 取得最大值的唯一最优解解是 (2, ) ,则实 3 ?3 y ? x ? 2 ?
数 a 的取值范围是

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17、 (本小题满分 12 分) 已知命题 p : 方程

x2 y2 ? ? 1 所表示的图形是焦点在 y 轴上的双曲线; 2 ? m m ?1

命题 q : 方程 4 x2 ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无实根,又 p ? q 为真, ? q 为真,求实数 m 的取值范围。

18、 (本小题满分 12 分) 设锐角三角形 ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 b ? (1)求 A 的大小; (2)若 b ? 6, c ? 3 ?1 ,求 a 。

2 sin B

19、 (本小题满分 12 分) 公差不为零的等差数列 ?an ? 中, a3 ? 7 ,且 a2 , a4 , a9 成等比数列 (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ? 2 n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn
a

20、 (本小题满分 12 分)



3第

设集合 M ? {x | x( x ? a ? 1) ? 0, a ? R} ,集合 N ? {x | x2 ? 2x ? 3 ? 0} (1)当 a ? 1 时,求 M

N;

(2)若 M ? N ,求实数 a 的取值范围。

21、 (本小题满分 13 分) 小王于年初用 50 万元购买一辆大货车,第一年因缴纳各种费用需支出 6 万元,从第二年起,每年都比 上一年增加支出 2 万元,假定该年每年的运输收入均为 25 万元,小王在该车运输累计收入超过总支出后, 考虑将大货车作为二手车出售,若该车在第 x 年年底出售,其销售价格为 25 ? x 万元(国家规定大货车的 报废年限为 10 年) (1)大货车运输到第几年底,该车运输累计收入超过总支出? (2)在第几年年底将大货车出售,能使小王获得的年平均利润最大?(利润 =运输累计收入+销售收入总支出) 。

22、 (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C :

3 1 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 经过点 M (1, ) ,且离心率为 2 2 2 a b

(1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 l : y ? kx ? m( k ?

1 ) 与椭圆 C 相较于 A, B 两点, 2

以线段 OA, OB 为邻边作平行四边形 OPAB ,顶点 P 恰好在椭 圆 C 上, O 为坐标原点,求 OP 的取值范围。

二〇一二级高二上学期模块考试

文科数学参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. (1)解析:答案 A.双曲线

2014.1

x2 x2 ? y 2 ? 1的渐近线方程为 ? y 2 ? 0 . 4 4

(2)解析:答案 D.选项 A 中忽略了当 c ? 0 的情况,故 A 错;选项 B 的结论中不等号方向没改变,故 B 错;
页 4第

选项 C 中忽略了 c ? 0 的情况,故 C 错. (3)解析: 答案 D.当 x ? 2 时, ( x ? 2)2 ? 0 ,∴ ?x ? N
2 2

?

,(x ? 2)2 ? 0 是假命题,故选 D.
? ? 1? 2?

(4)解析:答案 C.由 3+5x ? 2 x ≤0 得 2 x ? 5 x ? 3≥0 ,故解集为 ? x x≥3或x≤ ? ? . (5) 解 析:答案 B.由 a1 ? a2 ? 5 得 2a1 ? d ? 5 ,由 a3 ? a4 ? 9 得 2a1 ? 5d ? 9 ,解得 d ? 1 , a1 ? 2 .所 以 S10 ? 10 ? 2 ?

10 ? 9 ?1 ? 20 ? 45 ? 65 . 2

(6) 解析:答案 B.A 中若 0 ? x ? 1 ,则 lg x ? 0 , lg x ?

1 ≤ ? 2 ;C 中函数在条件下取不到最小值;D lg x

中函数可以证明是定义域上的增函数,当 x ? 2 时取得最大值. (7)解析:答案 B.在 ?ABC 中, S?ABC ?

1 ab sin C ,又由余弦定理 a2 ? b2 ? c2 ? 2ab cos C , 2

1 1 ab sin C ? ? 2ab cos C ,得 sin C ? cos C ,即 tan C ? 1 ,又 2 4

C ? (0, π) ,? C =

π . 4

2 (8)解析:答案 C. ax ? 2 x ? 1 ? 0(a ? 0) 有一个正根和一个负根的充要条件是 x1 x2 ?

1 ? 0, a

即 a ? 0 ,则其一个充分不必要条件是 a ? ?1 . (9)解析:答案 A.

m ,n 的夹角为钝角,由cos < m,n > =

m?n ? 0, m n

得 m ? n ? x2 ? 4 y 2 ? 3xy<0 , 即 ( x ? 4 y)( x ? y)<0 ,等价于 ?

? x ? 4 y<0 ? x ? 4 y>0 或? ,则不等式组表示的区域为 A. ? x ? y>0 ? x ? y<0
2

(10)解析:答案 C.设等比数列{an}的公比为 q,其中 q>0,由题意知 a3=a1+2a2,即 a1q =a1+2a1q.因为

a1≠0,所以有 q2-2q-1=0,由此解得 q=1± 2,又 q>0,所以 q=1+ 2,所以
=q =(1+ 2) =3+2 2,选 C.
2 2

a8 ? a9 q 2 (a6 ? a7 ) = a6 ? a7 a6 ? a7

1, .则 (11)解析:答案 D.设 ?ABC 中三条边 a, b, c 边上高的长度分别为 ,
5 1 1 1 1 2 S?ABC ? ? a ? ? ? b ? 1 ? ? c ? ,得 a ? 2b , c ? b , 2 2 2 2 2 5

1 2

2 5

? cos C ?

a ?b ?c ? 2ab
2 2 2

4b2 ? b2 ?

25 2 b 5 4 ? ? <0 ,故 C 为钝角,? ?ABC 为钝角三角形. 2 ? 2b ? b 16
b b x , l2 : y ? ? x ,因为点 P a a

(12)解析:答案 B.双曲线的左焦点 F1 (?c, 0) ,右焦点 F2 (c, 0) ,渐近线 l1 : y ? 在 第 一 象 限 内 且 在 l1 上 , 所 以 设 P ( x0 , y0 ), x0 ? 0 , 因 为 l2 ? PF1 , l2
页 5第

PF2 , 所 以 PF1 ? PF2 , 即

OP ?

1 b b F1 F2 ? c , 即 x0 2 ? y0 2 ? c 2 , 又 y0 ? x0 , 代 入 得 x0 2 ? ( x0 ) 2 ? c 2 , 解 得 x0 ? a, y0 ? b , 即 2 a a
b b b b ? (? ) ? ?1 , 即 b2 ? a(a ? c) , , l2 的 斜 率 为 ? , 由 l2 ? PF1 , 得 a a?c a a?c

P(a, b) . 所 以 k PF1 ?

c2 ? a2 ? a2 ? ac ,所以 c 2 ? ac ? 2a 2 ? 0 ,所以 e 2 ? e ? 2 ? 0 ,解得 e ? 2 ,所以选 B.
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. (13)解析:答案 y 2 ? ?4 x .设抛物线的方程为 y 2 ? ?2 px ( p ? 0) ,代入点 P(?2, 2 2) ,得 p ? 2 ,故抛物 线的方程为 y 2 ? ?4 x . (14)解析:答案
17 6 2

.如图所示,在 ?PMN 中,

PM ? 68 , ?PNM ? 45? , ?MPN ? 75 ? 45 ? 120? ,
由正弦定理可得

68 MN ? ,解得 MN ? 34 6 , sin 45? sin120?
34 6 4 ? 17 6 2
海里/小时.

所以该船的航行速度为

(15)解析:答案 1 .根据题意, x1 ? f ( x0 ) ? f (5) ? 2 ,

x2 ? f ( x1 ) ? f (2) ? 1 , x3 ? f ( x2 ) ? f (1) ? 4 , x4 ? f ( x3 ) ? f (4) ? 5 , x5 ? f ( x4 ) ? f (5) ? 2 ,……,
所以数列 ?xn ? 是以 4 为周期的周期数列, 又 2014 ? 4 ? 503 ? 2 ,所以 x2014 ? x2 ? 1. (16)解析:答案 ( , ?? ) .画出可行域如图,将目标函数化为

1 3

y ? ax ? z , 显然当目标函数方向线的斜率大于可行域的边界直线 l : 3 y ? x ? 2 的斜率时, 直线 y ? ax ? z 在
点 (2, ) 处截距最小,即 a ?

4 3

1 4 时,目标函数 z ? ax ? y 取得最大值时的最优解为 (2, ) . 3 3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的双曲线, (17)解:? 方程 2 ? m m ?1

?2 ? m ? 0 ,即 m ? 2 .故命题 p : m ? 2 ; ?? ?m ? 1 ? 0

? 方程 4x2 ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无实根,? ? ? [4(m ? 2)]2 ? 4 ? 4 ?1 ? 0 ,
即 m ? 4m ? 3 ? 0 ,? 1 ? m ? 3 .故命题 q : 1 ? m ? 3 . ……………………………… 6 分
2

? 又 p ? q 为真, ? q 为真, ? p 真 q 假.



6第

?m ? 2 即? ,解得 m≥3 ; ?m≤1或m≥3
综上所述:实数 m 的取值范围是 {m | m≥3} .………………………………………………… 12 分 (18)解: (Ⅰ)由 b ?

2a sin B ,根据正弦定理得: sin B ? 2 sin A sin B ,
2 , 2

因为在三角形中 sin B ? 0 , 所以 sin A ? 由 ?ABC 为锐角三角形,得 A ? (Ⅱ)根据余弦定理,得

? .……………………………………………… 6 分 4

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A
? 6 ? ( 3 ? 1)2 ? 2 ? 6 ? ( 3 ? 1)cos ? 4,
所以 a ? 2 . …………………………………………………………… 12 分

π 4

(19)解: (Ⅰ)由数列 {an } 为公差不为零的等差数列,设其公差为 d ,且 d ? 0 . ∵ a2 , a4 , a9 成等比数列, ∴ a42 ? a2 ? a9 ,即 (a1 ? 3d )2 ? (a1 ? d )(a1 ? 8d ) . 整理得 d 2 ? 3a1d .∵ d ? 0 ,∴ d ? 3a1 .……① ∵ a3 ? 7 ,∴ a1 ? 2d ? 7 .……② 由①②解得 a1 ? 1, d ? 3, ∴ an ? 1 ? (n ? 1) ? 3 ? 3n ? 2 . ……………………………………… 6 分

所以 {an } 的通项公式是 an ? 3n ? 2 . (Ⅱ)由(Ⅰ)知 bn ? 23n?2 , ∵

bn?1 23( n?1)?2 ? 3n?2 ? 8 ,∴ {bn } 是等比数列,且公比为 8,首项 b1 ? 2 , bn 2
2(1 ? 8n ) 2(8n ? 1) ? . 1? 8 7
………………………………………………12 分

∴ Sn ?

(20)解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, M ? {x x( x ? 2) ? 0} ? {x 0 ? x ? 2} ,又 N ? {x -1≤x≤3} , 因此 M

N ? {x ?1≤x≤3}. ………………………………………………………… 6 分

(Ⅱ)①当 a ? 1 ? 0 ,即 a ? ?1 , M ? {x a ?1 ? x ? 0}, N ? {x ?1 ≤x≤3} , 若 M ? N ,则有 ?1≤a ? 1 ? 0, 解得 ?2≤a ? ?1 ; ②当 a ? 1 ? 0 ,即 a ? ?1 , M ? ?, N ? {x ?1 ≤x≤3} ,此时 M ? N 成立; ③当 a ? 1 ? 0 ,即 a ? ?1 , M ? {x 0 ? x ? a ?1}, N ? {x ?1 ≤x≤3} ,
页 7第

若 M ? N ,则有 0 ? a ? 1≤3 ,解得 ?1 ? a≤2 . 综上, a 的取值范围是 [?2, 2] .………………………………………………… 12 分 (21)解: (Ⅰ)设大货车到第 x 年年底的运输累计收入与总支出的差为 y 万元,则

y ? 25 x ? [6 x ?

x( x ? 1) ? 2] ? 50, (0 ? x≤10, x ? N) , 2

即 y ? ? x2 ? 20x ? 50,(0 ? x≤ 10, x ? N) ,…………………………………3 分 由 ? x ? 20 x ? 50 ? 0 ,解得 10 ? 5 2 ? x ? 10 ? 5 2 ,
2

而 2 ? 10 ? 5 2 ? 3 ,故从第 3 年开始运输累计收入超过总支出.……………6 分 (Ⅱ)因为利润=累计收入 ? 销售收入 ? 总支出,所以销售二手货车后,小王的年平均利润为

1 1 25 y ? [ y ? (25 ? x)] ? (? x 2 ? 19 x ? 25) ? 19 ? ( x ? ) , x x x
而 19 ? ( x ?

……………10 分

25 25 )≤19 ? 2 x ? ? 9 ,当且仅当 x ? 5 时取得等号. x x
……………13 分

即小王应当在第 5 年底将大货车出售,才能使年平均利润最大. (22)解:(Ⅰ)由已知: e 2 ?

a 2 ? b2 1 ? ,…① a2 4

又点 M (1, ) 在椭圆上,所以

3 2

1 9 ? 2 ? 1,…② 2 a 4b

联立①②解方程组,得 a 2 ? 4, b 2 ? 3. 故 椭 圆

C









x2 y 2 ? ? 1. …………………………………………………5 分 4 3

? y ? kx ? m, ? (Ⅱ)由 ? x 2 y 2 消去 y ,化简整理得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4m2 ? 12 ? 0 , ?1 ? ? 3 ?4

因为直线 l 与椭圆 C 相交于 A、 B 两点, 所以 ? ? 64k 2 m2 ? 4(3 ? 4k 2 )(4m2 ? 12) ? 48(3 ? 4k 2 ? m2 ) ? 0 ,……③ ……7 分

( x2 , y2 )、 ( x0 , y0 ) , 设点 A, B, P 的坐标分别为 ( x1 , y1 )、
因为 OAPB 是平行四边形,所以 OP ? OA ? OB , 即 x0 ? x1 ? x2 ? ?

8km 6m .……………9 分 , y0 ? y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2m ? 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2
x0 2 y0 2 ? ? 1. 4 3

由于点 P 在椭圆 C 上,所以 从而


16k 2 m2 12m2 ? ? 1 ,化简得 4m 2 ? 3 ? 4k 2 ,经检验满足③式. (3 ? 4k 2 )2 (3 ? 4k 2 ) 2
8第

又 | OP |? x0 2 ? y0 2 ?

3 64k 2 m2 36m2 4m2 (16k 2 ? 9) 16k 2 ? 9 ? 4? 2 . ? ? ? 2 2 2 2 2 2 2 4k ? 3 4k ? 3 (3 ? 4k ) (3 ? 4k ) (3 ? 4k )

因为 0≤ | k | ≤ ,得 3≤4k 2 ? 3≤4 ,有 ≤ 综上,所求 | OP | 的取值范围是 [ 3,

1 2

3 4

13 3 . ≤1 ,故 3≤ | OP | ≤ 2 4k ? 3
2

13 ] .…………………………………………………13 分 2



9第



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