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2014届高考数学理科试题大冲关:7.2一元二次不等式及其解法



2014 届高考数学理科试题大冲关:一元二次不等式及其解法
一、选择题 1.设集合 A={x|x2-2x-3<0},B={x|1≤x≤4},则 A∩B= A.{x|1≤x<3} C.{x|3<x≤4} 4 2.不等式 ≤x-2 的解集是 x-2 A.(-∞,0]∪(2,4] B.[0,2)∪[4,+∞) C.[2,4) D.(-∞,2]∪(4,+∞)

3. 若不等式 ax2+bx+c>0 的解集是(-4,1), 则不等式 b(x2-1)+a(x+3)+c>0 的解为( 4 A.(- ,1) 3 4 B.(-∞,1)∪( ,+∞) 3 C.(-1,4) D.(-∞,-2)∪(1,+∞) 4.在 R 上定义运算:x*y=x(1-y).若不等式(x-y)*(x+y)<1 对一切实数 x 恒成立,则实 数 y 的取值范围是 1 3 A.(- , ) 2 2 C.(-1,1) 3 1 B.(- , ) 2 2 D.(0,2) ) ( ) ) B.{x|1≤x≤3} D.{x|3≤x≤4} ( ) ( )

5. 若函数 f(x)=(a2+4a-5)x2-4(a-1)x+3 的图象恒在 x 轴上方, 则 a 的取值范围是( A.[1,19] C.[1,19)
2

B.(1,19) D.(1,19] ( )

6.设 f(x)=x +bx-3,且 f(-2)=f(0),则 f(x)≤0 的解集为 A.(-3,1) C.[-3,-1] 二、填空题 7.已知函数 y=(m-1)x2-mx-m 的图象如图,则 m 的取值范围是________. B.[-3,1] D.(-3,-1]

8 .已知 函数 f(x) =

?x2+2ax,x≥2 ? ? x ,若 f(f(1))>3a2,则 a 的取值范 ? 2 + 1 , x <2 ?

围是________. 9.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x2+2x,若 f(2-a2)>f(a),则实数 a 的取值范围是________. 三、解答题 10.解下列不等式: 2 (1)-x2+2x- >0; 3 (2)8x-1≤16x2.

1 11.当 0≤x≤2 时,不等式 (2t-t2)≤x2-3x+2≤3-t2 恒成立,试求 t 的取值范围. 8

12. 行驶中的汽车,在刹车时由于惯性作用,要继续往前滑行一段距离才能停下,这段 距离叫做刹车距离.在某种路面上,某种型号汽车的刹车距离 s(m) nv v2 与汽车的车速(km/h)满足下列关系:s= + (n 为常数,且 n∈ 100 400
?6<s1<8 ? N*), 做了两次刹车试验, 有关试验数据如图所示, 其中? . ?14<s2<17 ?

(1)求 n 的值; (2)要使刹车距离不超过 12.6 m,则行驶的最大速度是多少?

详解答案
一、选择题 1.解析:由 x2-2x-3<0,得(x-3)(x+1)<0,

即-1<x<3. ∴A={x|-1<x<3}. 又∵B={x|1≤x≤4}, ∴A∩B={x|1≤x<3}. 答案:A 2.解析:①当 x-2>0,即 x>2 时,不等式可化为(x-2)2≥4,∴x≥4;②当 x-2<0,即 x<2 时,不等式可化为(x-2)2≤4,∴0≤x<2. 答案:B 3.解析:由不等式 ax2+bx+c>0 的解集为(-4,1)知 a<0,-4 和 1 是方程 ax2+bx+c=0 b c 的两根,∴-4+1=- ,-4×1= ,即 b=3a,c=-4a.故所求解的不等式为 3a(x2-1)+a(x a a 4 +3)-4a>0,即 3x2+x-4<0,解得- <x<1. 3 答案:A 4.解析:由题意知,(x-y)*(x+y)=(x-y)[1-(x+y)]<1 对一切实数 x 恒成立,∴-x2+x +y2-y-1<0 对于 x∈R 恒成立,故 Δ=12-4×(-1)×(y2-y-1)<0, 1 3 ∴4y2-4y-3<0,解得- <y< . 2 2 答案:A 5.解析:函数图象恒在 x 轴上方,即不等式(a2+4a-5)x2-4(a-1)x+3>0 对于一切 x∈ R 恒成立. (1)当 a2+4a-5=0 时,有 a=-5 或 a=1.若 a=-5,不等式化为 24x+3>0,不满足题 意;若 a=1,不等式化为 3>0,满足题意. (2)当 a2+4a-5≠0 时,应有
2 ? ?a +4a-5>0 ? ,解得 1<a<19.综上可知,a 的取值范围是 1≤a<19. 2 2 ?16?a-1? -12?a +4a-5?<0 ?

答案:C b -2+0 6.解析:∵f(-2)=f(0),∴x=- = =-1, 2 2 而 b=2. ∴f(x)≤0?x2+2x-3≤0?(x+3)(x-1)≤0, ∴-3≤x≤1. 答案:B 二、填空题

m-1<0 ? ?Δ<0 7.解析:由图可知? -m - ? ? 2?m-1?<0 4? 答案:? ?0,5?

4 ,所以 0<m< . 5

8.解析:由题知,f(1)=2+1=3,f(f(1))=f(3)=32+6a,若 f(f(1))>3a2,则 9+6a>3a2, 即 a2-2a-3<0,解得-1<a<3. 答案:(-1,3) 9.解析:∵f(x)是奇函数, ∴当 x<0 时,f(x)=-x2+2x,作出 f(x)的大致图象如图中实线所示.

结合图象可知 f(x)是 R 上的增函数, 由 f(2-a2)>f(a),得 2-a2>a, 即-2<a<1. 答案:(-2,1) 三、解答题 10.解:(1)两边都乘-3,得 3x2-6x+2<0, ∵3x2-6x+2=0 的解是 x1=1- 3 3 ,x2=1+ , 3 3 3 3 <x<1+ }. 3 3

∴原不等式的解集为{x|1-

(2)法一:∵原不等式即为 16x2-8x+1≥0,其相应方程为 16x2-8x+1=0,Δ=(-8)2- 4×16=0. 1 ∴上述方程有两相等实根 x= . 4 结合二次函数 y=16x2-8x+1 的图象知, 原不等式的解集为 R. 法二:8x-1≤16x2?16x2-8x+1≥0?(4x-1)2≥0, ∴x∈R, ∴原不等式的解集为 R.

11.解:令 y=x2-3x+2,0≤x≤2. 3 1 ∵y=x2-3x+2=(x- )2- , 2 4 1 ∴y 在 0≤x≤2 上取得最小值为- ,最大值为 2. 4 1 若 (2t-t2)≤x2-3x+2≤3-t2 8 1 1 ? ?8?2t-t2?≤-4, 在 0≤x≤2 上恒成立,则? ?3-t2≥2 ?
2 ? ?t -2t-2≥0 ? 即 2 ?t -1≤0 ?

?t≤1- 3 ?t≥1+ 3 ∴? 或? . ?-1≤t≤1 ?-1≤t≤1
∴t 的取值范围为[-1,1- 3].

?6<100+ 400 <8 12.解:(1)依题意得? 70n 4 900 ?14<100+ 400 <17
5<n<10 ? ? 解得?5 95 ? ?2<n<14 ,又 n∈N*,所以 n=6.

40n 1 600



3 v v2 (2)s=50+400≤12.6?v2+24v-5 040≤0?-84≤v≤60,因为 v≥0,所以 0≤v≤60,即 行驶的最大速度为 60 km/h.



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