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湖南省株洲市第二中学2015-2016学年高一数学上学期期末考试试题



株洲市二中 2015 年下学期高一年级期末考试试卷 数学试卷
一. 选择题(每小题 3 分,共 36 分,每小题只有一个正确选项) 1. 已知全集 U ? ?1 , 2, 3, 4, 5? ,且 A ? ?2, 3, 4? , B ? ?1, 2? ,那么 A ? (CU B) 等于( A. ?2? 2. 下列命题: ①平行于同一平面的两直线相互平行;②平行于同一直线的两平面相互平行; ③垂直于同一平面的两平面相互平行;④垂直于同一直线的两平面相互平行; ⑤垂直于同一直线的两直线相互平行. 其中正确的有( A. 4 个 ) B. 3 个 ) C.log63 D.3 ) C. 2 个 D. 1 个[ B. ?5? C. ?3, 4? D. ?2, 3, 4, 5? )

3. 计算 2log6 3 ? log6 4 的结果是( A.log62 B.2

4. 直线 l 过点 P(-1,2),倾斜角为 45°,则直线 l 的方程为( A.x-y+1=0 C.x- y-3=0 B.x-y-1=0 D.x-y+3=0

5. 如果直线 ax+2y+2=0 与直线 3x-y-2=0 平行,则 a 的值为( A.-3 B.-6 3 C. 2 2 D. 3

)

6. 如图,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1 D 1 中, E,F,G,H 分别为 AA1 , AB , BB1 , B1C1 的中点,则异面直线 EF 与 GH 所成的角大小等于( A. 45
?

D1 A1
E D F

B1

H

C1

) C. 90
?

G
B

C
) C.f(1)

B. 60

?

D. 120

?

A

7.函数 f(x)是 R 上的偶函数,且在[0,+∞)上单调 递增,则下列各式成立的是( A.f(﹣2)>f(0)>f(1) >f(0)>f(﹣2) B .f(﹣2)>f(﹣1)>f(0) D.f(1)>f(﹣2)>f(0)

8. 函数 f ? x ? ? ln x ? ex 的零点所在的区间是( A. ( ) B. ( )

) D. (e,∞)

C. (1,e)

1

9. 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(



A.1

B.

C.

D.

10. 若动点 P ( x, y ) 在曲线 y ? 2 x 2 ? 1 上移动, 则 P 与点 Q(0, -1) 连线中点的轨迹方程为( A. y ? 2 x 2 B. y ? 4 x 2 C. y ? 6 x 2 ) D. y ? 8 x
2

11. 某家 具的标价为 132 元,若降价以九折出售(即优惠 10%) ,仍可获利 10%( 相对进货价) ,则 该家具的进货价是( A.108 元 ) C. 106 元 D. 118 元 )

B. 105 元
x

12. 若函数 f ( x ) ? 1 ? A.0

m 是奇函数,则实数 m 的值是( e ?1 1 B. C.1 D.2 2

二.填空题(每小题 4 分,共 16 分) 13.三个数 0.76,60.7, log0.7 6 的大小关系为____________ (按从小到大的顺序填写) 14. 已知正 方体 ABCD ? A 1 (3,?2, 3) ,则此正方体 1B 1C1 D 1 两顶点的坐标为 B ( ?1,2,?1) , D 的外接球的的表面积等于 15. 已知 . ,B={x|log2x>0}
2

.

A∪B=

16. 过点( 2,0)引直线 l 与曲线 y= 1-x 相交于 A、B 两点,O 为坐标原点,当△AOB 的面积取最大值时,直线 l 的斜率等于

三.解答题(6 分+6 分+8 分+8 分+10 分+10 分, 共 48 分) 17. 已知⊿ABC 的顶点 A(5,1) ,AB 边上的中线 CM 所在的直线方程为 2x-y-5=0,

AC 边上的高 BH 所在直线方程为 x-2y-5=0,求:
(1)顶点 C 的坐标; (2)直线 BC 的方程.

2

1 1 x 18.已知函数 f (x)=b·a (其中 a、b 为常数,a>0,a≠1)的图象过点,A(1, ),B(3, ). 6 24 (1) 求 f (x) 1 x 1 x (2) 若不等式( ) +( ) -m≥0 在 x∈[1,+∞)时恒成立,求 m 的取值范围.

a

b

19. 已知函数 f ? x ? ? loga ?1 ? x ? ? loga ? x ? 3? ,其中 0 ? a ? 1 . (1)求函数 f (x)的定义域: (2)若函数 f (x)的最小值为-4,求 a 的值。

20. 如图,PA⊥平面 ABC, (1)求证: BC⊥平面 PAB; (2)求二面角 B-P A-C 的大小.

, AB=1,

,

AC=2.

3

21. 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,AD⊥CD,且 DB 平分∠ADC,

E 为 PC 的中点,AD=CD=1,
(1)证明:PA∥平面 BDE; (2)证明:AC⊥平面 PBD;

.

(3)求直线 BC 与平面 PBD 所成的角的正切值.

2 2 22. 已知圆 C : ( x ? 2) ? ( y ? b) ? 3 (b ? 0) 过点 (?2 ? 2,0) , 直线 l : y ? x ? m ?m ? R ? .

(1)求 b 的值; (2)若直线 l 与圆 C 相切,求 m 的值; (3)若直线 l 与圆 C 相交于 M、N 两点,且 OM ? ON (O 为原点) ,求实数 m 的值.

4

一.选择题:1.C

高一期末考试数学试卷答案 2.D 3.B 4 .D 5.B 6.B 7.B 8.A 9.C 10 .B 11.A 14. 48? 16.k=- 3 . 3

12.D

二.13. log0.7 6 ? 0.76 ? 60.7 15.(﹣1,+∞) 三 17.(1)

? k AC ? k BH ? ?1,? k AC ? ?

1 k BH

??

1 ? ?2, 1 2

?直线 AC 的方程为 y ? 1 ? ?2 ? x ? 5 ? ,
?2 x ? y ? 11 ? 0 ? x ? 4 ? ? 2x ? y ? 5 ? 0 得 ? y ? 3 整理得 2 x ? y ? 11 ? 0 ,由 ?

?顶点 C 的坐标为(4,3)
(2)设顶点 B 的坐标为

? a, b ? ,点 B 在中线 CM 上,? a ? 2b ? 5 ? 0

(1)

? a ? 5 b ?1 ? , ? ? 2 ? ,点 M 在中线 CM 上 线段 AB 的中点 M 坐标为 ? 2
a ? 5 b ?1 ? 2? ? ?5 ? 0 2 2 ,即 2a ? b ? 1 ? 0
由(1) (2)得 a ? ?1, b ? ?3 即 B 点的坐标为

(2)

? ?1, ?3?

y ?3 x?4 ? 直线 BC 为 ?3 ? 3 ?1 ? 4 ,即为 6 x ? 5 y ? 9 ? 0
其它求法也可

18.

1 ? ?ab=6 (1)由已知得? 1 ? ?b·a =24
3

1 ? ?a=2 ,解得? 1 ? ?b=3

1 1 x ,∴f(x)= ×( ) . 3 2

1 x 1 x x x x x x x (2)( ) +( ) -m=2 +3 -m,∴m≤2 +3 ,∵y=2 +3 在[1,+∞)上为增函数,∴最小值为

a

b

5,∴m≤5.

19.(1)定义域为

? ?3,1?

5

(2)由已知得

f ? x ? ? log a ?1 ? x ?? x ? 3?

2 f ? x ? ? log a ? ? ? x ? 1? ? 4 ? ? ? 即

? x ? ? ?3,1?

且 0 ? a ? 1,

? x ? ?1时,有 loga 4 ? ?4

a?

1 256

20.(1)证明:∵PA ⊥平面 ABC,BC 平面 ABC, ∴PA⊥BC. 2 2 2 在△ABC 中,AB=1,BC=3,AC=2,∴AB +BC =AC .∴AB⊥BC.又 PA∩AB=A, ∴BC⊥平面 PAB. (2)解:∵PA⊥平面 ABC,∴PA⊥AB,PA⊥AC.∴∠BAC 为二面角 BPAC 的平面角.



,∴∠BAC=60°,即二面角 BPAC 的大小为 60°.

21.1)证明:连接 AC,设 AC∩BD=H,连接 EH, 在△ADC 中,∵AD=CD,且 DB 平分∠ADC,

∴H 为 AC 的中点. 又 E 为 PC 的中点,∴EH∥PA,又 HE 平面 BDE, , ∴PA∥平面 BDE. (2)证明:∵PD⊥平面 ABCD ,AC 平面 ABCD,∴PD⊥AC,由(1)知,BD⊥AC ,PD∩BD=D, ∴AC⊥平面 PBD. (3)解:由 AC⊥平面 PBD 可知,BH 为 BC 在平面 PBD 内的射影,∴∠CBH 为直线 BC 与平面 PBD 所 成的角.由 AD⊥CD,AD=CD=1, 可知 DH=CH= , . ,

6

在 Rt△BHC 中,

.即直线 BC 与平面 PBD 所成的角的正切值为
2 2

. 解 得 : b ?1

22. ( 1 ) 由 题 知 : (?2 ? 2 ? 2) ? (0 ? b) ? 3 (b ? 0) , (2)方法一:因为直线 l 与圆 C 相切, 所以圆心 C(-2,1)到直线 l 的距离等于圆 C 的半径 3

? 3 解得: m ? 3 ? 6 2 ? x2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 2 ? 0 方法二:由 ? 消 去 y 得: ?y ? x ? m 因 为 直 线 l 与 圆 C 相 切 , 所 以 2x2 ? 2 ? m ?1? x ? m2 ? 2m ? 2 ? 0
即:

?2 ? 1 ? m

? ? 4?m

? 1 ?

2

8m ??
2

? 2 m

?

? 2

? 0

(3)设 M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ? ,由圆的方程知 x1 ? 0, x2 ? 0 由?

解得: m ? 3 ? 6

? x2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 2 ? 0 ?y ? x ? m

消去 y 得:

2x2 ? 2 ? m ?1? x ? m2 ? 2m ? 2 ? 0

?
∴ ∴

x1x2 ? ? x1 ? m?? x2 ? m? ? 2x1x2 ? m ? x1 ? x2 ? ? m2 ? 0

? 2 ?? ? 4 ? m ? 1? ? 8 ? m2 ? 2m ? 2 ? ? 0 ? ? ……………………………9 分 ? x1 ? x2 ? ? ? m ? 1? ? 2 ? x x ? m ? 2m ? 2 1 2 ? ? 2 OM ? ON y y kOM kON ? 1 ? 1 ? ?1 , 即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 x1 x1

m 2 ? 2m ? 2 ? m ? m ? 1? ? m2 ? 0 ∴ 2? 2 2 m ? 3m ? 2 ? 0 解得: m ? 1 ,或 m ? 2 检验可知:它们满足 ? ? 0 ,故所求 m 的值为 m ? 1 ,或 m ? 2

7



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