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高考理科第一轮练习(10.7离散型随机变量及其分布列)



课时提升作业(七十一)
一、选择题 1.设随机变量 X 的概率分布列为 P(X=i)=a( ) ,i=1,2,3,则 a 的值是 ( (A) (B) (C) (D)
i

)

2.(2013·九江模拟)在 15 个村庄中有 7 个村庄交通不方便,现从中任意选 10 个村庄,用 X 表示这 10 个村 庄中交通不方便的村

庄数,下列概率中等于 的是 ( (A)P(X=2) (B)P(X≤2) 3.设随机变量 Y 的分布列为: Y P -1 (C)P(X=4) 2 m (D)P(X≤4) 3 )

则“ ≤Y≤ ”的概率为 (A) (B)

(

) (C) (D) )

4.设某项试验的成功率是失败率的 2 倍,用随机变量 X 去描述 1 次试验的成功次数,则 P(X=0)等于 ( (A)0 (B) (C) (D)

5.(2013·新余模拟)离散型随机变量 X 的概率分布规律为 P(X=n)= P( <X< )的值为 ( (A) (B) ) (C) (D)

(n=1,2,3,4),其中 a 是常数,则

6.(能力挑战题)一只袋内 装有 m 个白球,n-m 个黑球,连续不放回地从袋中取球,直到取出黑球为止,设此时

取出了 X 个白球,下列概率等于 (A)P(X=3) (C)P(X≤3) 二、填空题 7.设随机变量 X 的概率分布为 X P 1

的是 ( (B)P(X≥2) (D)P(X=2)

)

2 m

3

4

则 P(|X-3|=1)= . 8.(2013·黄山模拟)已知甲盒内有大小相同的 1 个红球和 3 个黑球,乙盒内有大小相同的 2 个红球和 4 个

黑球,现从甲、乙两个盒内各任取 2 个球.设 X 为取出的 4 个球中红球的个数,则 P(X=2)= 9.(2013·淮南模拟)从 6 名男生和 2 名女生中选 3 名志愿者,其中至多有一名女生的概率为 10.随机变量 Y 的分布列如下: Y P 1 0.2 2 x 3 0.35 4 0.1 5 0.15

. . 6 0.2

则①x= ;②P(Y>3)= ; ③P(1<Y≤4)= . 三、解答题 11.(2013·榆林模拟)某车间甲组有 10 名工人,其中有 4 名女工人;乙组有 5 名工人,其中有 3 名女工人,现 在采用分层抽样法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲,乙两组中共抽取 3 人进行技术考核. (1)求从甲,乙两组各抽取的人数. (2)求从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工的概率. (3)令 X 表示抽取的 3 名工人中男工人的人数,求 X 的分布列. 12.(2013·咸阳模拟)某校有一贫困学生因病需手术治疗,但现在还差手术费 1.1 万元, 团委计划在全校开展爱心募捐活动,为了增加活动的趣味性吸引更多学生参与,特举办 “摇奖 100%中奖”活动.凡捐款 10 元者,享受一次摇奖机会,如图是摇奖机的结构示意 图,摇奖机的旋转盘是均匀的,扇形区域 A,B,C,D,E 所对应的圆心角的比值分别为 1∶2∶3∶4∶5.相应区域分别设立一、二、三、四、五等奖,奖品分别为价值分别为 5 元、4 元、3 元、2 元、1 元的学习用品.摇奖时,转动圆盘片刻,待停止后,固定指针指向 哪个区域(边线忽略不计)即可获得相应价值的学习用品(如图指针指向区域 C,可获得价 值 3 元的学习用品). (1)预计全校捐款 10 元者将会达到 1 500 人次,那么除去购买学习用品的款项后,剩余款项是否能帮助该生 完成手术治疗? (2)如果学生甲捐款 20 元,获得了两次摇奖机会,求他获得价值 6 元的学习用品的概率. 13.(能力挑战题)一个袋中装有若干个大小相同的黑球、白球和红球,已知从袋中任意摸出 1 个球,得到黑 球的概率是 ;从袋中任意摸出 2 个球,至少得到 1 个白球的概率是 . (1)若袋中共有 10 个球, ①求白球的个数; ②从袋中任意摸出 3 个球, 记得到白球的个数为 X,求随机变量 X 的分布列. (2)求证:从袋中任意摸出 2 个球,至少得到 1 个黑球的概率不大于 少. ,并指出袋中哪种颜色的球的个数最

答案解析 1.【解析】选 B.1=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=a[ +( ) +( ) ],解得 a=
2 3

.

2.【解析】选 C.15 个村庄中,7 个村庄交通不方便,8 个村庄交通方便, 4 个交通不方便、6 个交通方便的村庄,故 P(X=4)= 3.【解析】选 C.∵ +m+ =1,∴m= , ∴P( ≤Y≤ )=P(Y=2)+P(Y=3)= . 4.【思路点拨】本题先求出分布列,再根据分布列的性质求出概率 P(X=0). 【解析】选 C.设失败率为 p,则成功率为 2p. ∴X 的分布列为: X P 则“X=0”表示试验失败,“X=1”表示试验成功, 由 p+2p=1 得 p= , 即 P(X=0)= . 5.【思路点拨】根据分布列的性质求解. 【解析】选 D.由( 知 a=1,∴a= . 故 P( <X< )=P(X=1)+P(X=2)= × + × = . + + + )×a=1. 0 p .

表示选出的 10 个村庄中恰有

1 2p

6.【解析】选 D.X=2,即前 2 个拿出的是白球,第 3 个是黑球,于是前 2 个拿出白球,即 黑球即可,即 即 . = . .

,再任意拿出 1 个

,而在这 3 次拿球中可以认为按顺序排列,此排列顺序即可认为是依次拿出的球的顺序,

P(X=2)=

7.【解析】 +m+ + =1,解得 m= ,P(|X-3|=1)=P(X=2)+P(X=4)= + = 答案: 8.【解析】X 可能取的值为 0,1,2,3, P(X=0)= P(X=1)= 又 P(X=3)= = , = . = , = ,

∴P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)=1- -

答案: 9. 【解析】 设所选女生为 X 人,则 X 服从超几何分布,其中 N=8,则 P(X≤1) =P(X=0)+P(X=1)= 答案: 10.【解析】由概率分布的性质可得: 0.2+x+0.35+0.1+0.15+0.2=1,解得:x=0. 显然 P(Y>3)=P(Y=4)+P(Y=5)+P(Y=6) =0.1+0.15+0.2=0.45. P(1<Y≤4)=P(Y=2)+P(Y=3)+P( Y=4) =0+0.35+0.1=0.45. 答案:①0 ②0.45 ③0.45 11.【解析】(1) ×10=2, ×5=1. + = .

故从甲组抽取 2 人,从乙组抽取 1 人. (2)从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工的概率为 (3)X 可取值:0,1,2,3, P(X=0)= P(X=1)= P(X=2)= P(X=3)= X 的分布列为 X P 【变式备选】一个袋子中装有大小形状完全相同的编号分别为 1,2,3,4,5 的 5 个红球与编号为 1,2,3,4 的 4 个白球,从中任意取出 3 个球. (1)求取出的 3 个球颜色相同且编号是 3 个连续整数的概率. (2)求取出的 3 个球中恰有 2 个球编号相同的概率. (3)记 X 为取出的 3 个球中编号的最大值,求 X 的分布列. 【解析】(1)设“取 出的 3 个球颜色相同且编号是 3 个连续整数”为事件 A,则 P(A)= 答:取出的 3 个球的颜色相同且编号是 3 个连续整数的概率为 . = = . = . 0 1 2 3 = . = , = = , , = .

(2)设“取出的 3 个球中恰 有 2 个球编号相同”为事件 B,则 P(B)= 答:取出的 3 个球中恰有 2 个球编号相同的概率为 .

(3)X 的取值为 2,3,4,5. P(X=2)= P(X=3)= P(X=4)= P(X=5)= = . = = = , , ,

所以 X 的分布列为 X P 12.【解析】(1)设摇奖一次,获得一、二 、三、四、五等奖的事件分别记为 A,B,C,D,E. 则其概率分别为 P(A)= = ,P(B)= ,P(C)= = ,P(D)= ,P(E)= = . 2 3 4 5

设摇奖一次支出的学习用品相应的款项为 Y,则 Y 的分布列为: Y P 1 2 3 4 5

EY=1× +2×

+3× +4×

+5×

= .

若捐款 10 元者达到 1 500 人次,那么购买学习用品的款项为 1 500EY=3 500(元 ), 除去购买学习用品的款项后,剩余款项为 1 500×10-3 500=11 500(元), 故剩余款项可以帮助该生完成手术治疗. (2)记事件 “学生甲捐款 20 元获得价值 6 元的学习用品” F,则 P(F)= 为 即学生甲捐款 20 元获得价值 6 元的学习用品的概率为 . × × + × + × × = .

13.【解析】(1)①记“从袋中任意摸出 2 个球,至少得到 1 个白球”为事件 A,设 袋中白球的个数为 x,则 P(A)=1= ,得 x=5 或 x=14(舍去).故白球有 5 个.

②随机变量 X 的取值为 0,1,2,3, P(X=0)= P(X=2)= = = ;P(X=1)= ;P( X=3)= = = ; .

故 X 的分布列为: X P 0 1 2 3

(2)设袋中有 n 个球,其中有 y 个黑球, 由题意得 y= n,所以 2y<n,2y≤n-1,故 ≤ .

记“从袋中任意摸出 2 个球,至少有 1 个黑球”为事件 B,

则 P(B)= = · = + × + · + · .

≤ + × =

所以白球的个数比黑球多,白球个数多于 n,红球的个数少于 ,故袋中红球个数最少. 【方法技巧】随机变量分布列的求法 (1)搞清随机变量每个取值对应的随机事件,思考目标事件如何用基本事件来表示,求出随机变量所有可能 的值. (2)利用对立事件和互斥事件求出取每一个值时的概率,计算必须准确无误. (3)注意运用分布列的两条性质检验所求概率,确保正确后列出分布列.



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