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三角函数的平移与伸缩变换



函数 y ? A s i n (x ? ? ) 的图像 ?
(1)物理意义: y ? A sin(? x ? ? ) (A>0,ω >0) ,x∈[0,+ ∞)表示一个振动量时,A
2?

称为振幅,T =

? ,

f ?

1 称为频率, ? x ? ? 称为相位, ? 称为

初相。 T

(2)函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? k 的图像与 y ? sin x 图像间的关系: ① 函数 y ? sin x 的图像纵坐标不变,横坐标向左( ? >0)或向右( ? <0)平移 | ? | 个 单位得 y ? sin ? x ? ? ? 的图像; ② 函 数 y ? s i n? x ? ? ? 图 像 的 纵 坐 标 不 变 , 横 坐 标 变 为 原 来 的

1

?

,得到函数

y ? sin ?? x ? ? ? 的图像;
③ 函数 y ? sin ?? x ? ? ? 图像的横坐标不变,纵坐标变为原来的 A 倍,得到函数

y ? Asin( x ? ? )的图像; ?
④ 函数 y ? A sin(? x ? ?) 图像的横坐标不变,纵坐标向上( k ? 0 )或向下( k ? 0 ) , 得到 y ? A sin ?? x ? ? ? ? k 的图像。 要特别注意,若由 y ? sin ?? x ? 得到 y ? sin ?? x ? ? ? 的图像,则向左或向右平移应平 移|

? | 个单位。 ?

? 对 y ? sin(x ? ? ) 图像的影响
一般地,函数 y ? sin(x ? ? ) 的图像可以看做是把正弦函数曲线上所有的点向 ____(当 ? >0 时)或向______(当 ? <0 时)平移 ? 个单位长度得到的 注意:左右平移时可以简述成“______________”

? 对 y ? sin ?x 图像的影响
函数 y ? sin ?x x ? R(? ? 0且? ? 1) , 的图像可以看成是把正弦函数上所有的点的 横坐标______ (? ? 1) 或_______ (0 ? ? ? 1) 到原来的 A 对 y ? A sin x 的影响
1

?

倍(纵坐标不变) 。

函数 y ? A sin x ,x ? R(A ? 0且A ? 1) 的图像可以看成是把正弦函数上所有的点 的纵坐标_______ (A ? 1) 或_______ (0 ? A ? 1) 到原来的 A 倍得到的

由 y ? sin x 到 y ? A sin(?x ? ? ) 的图像变换 先平移后伸缩:

先伸缩后平移:

【典型例题】 例1
π 将 y ? sin x 的图象怎样变换得到函数 y ? 2sin ? 2 x ? ? ? 1 的图象. ? ? ? 4? ? 4?

π 练习:将 y ? cos x 的图象怎样变换得到函数 y ? cos ? 2 x ? ? 的图象. ? ?

例 2、把 y ? 3 cos(2 x ? (1)向右平移

? 个单位长度; 2

4? ) 作如下变换: 3

1 (2)纵坐标不变,横坐标变为原来的 ; 3 3 (3)横坐标不变,纵坐标变为原来的 ; 4 (4)向上平移 1.5 个单位长度,则所得函数解析式为________. 4? 练习:将 y ? 2 sin(2 x ? ) ? 2 做下列变换: 5 ? (1)向右平移 个单位长度; 2 (2)横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变; (3)纵坐标伸长为原来的 4 倍,横坐标不变;

(4)沿 y 轴正方向平移 1 个单位,最后得到的函数 y ? f ( x) ? _________ . 例 3、把 y ? f (x) 作如下变换: (1)横坐标伸长为原来的 1.5 倍,纵坐标不变;

(2)向左平移 ? 个单位长度; 3 3 (3)纵坐标变为原来的 ,横坐标不变; 5

3 3 ? (4)沿 y 轴负方向平移 2 个单位,最后得到函数 y ? sin( x ? ), 求 y ? f (x). 4 2 4

练习 1:将 y ? 4 sin( x ? ) 作何变换可以得到 y ? sin x. 8 4

?

?

? 3 练习 2:对于 y ? 3 sin( ? x) 作何变换可以得到 y ? sin x. 6 5
例 4、把函数 y ? sin(?x ? ? )(? ? 0, | ? |? 曲线的一部分图象如图所示,则( ) A. ? ? 1,? ?

?

2

) 的图象向左平移

? 个单位长度,所得 3
y 1 7π π 3 12 x

?
6

B. ? ? 1,? ? ?

?
6

C. ? ? 2,? ?

?
3

D. ? ? 2,? ? ?

?
3

o

练习:7、右图是函数 y ? A sin(?x ? ? )( x ? R) 在区间
(?

? 5?

y 1 π o 6 -1 5π x 6

, ) 上的图象,只要将 6 6
-

(1) y ? sin x 的图象经过怎样的变换?

(2) y ? cos 2 x 的图象经过怎样的变换? 【课堂练习】 1 、 为 了 得 到 函 数 y ? sin(3x ? ) 的 图 象 , 只 需 把 函 数 y ? sin 3x 的 图 象 6 ( ) ? ? ? ? A、向左平移 B、向左平移 C、向右平移 D、向右平移 6 18 6 18
π? ? 2、为得到函数 y ? cos ? 2 x ? ? 的图像,只需将函数 y ? sin 2 x 的图像( 3? ?

?



5π 个长度单位 12 5π C、向左平移 个长度单位 6

A、向左平移

B、向右平移

5π 个长度单位 12 5π D、向右平移 个长度单位 6

?? ? 3、要得到函数 y ? sin x 的图象,只需将函数 y ? cos ? x ? ? 的图象( ?? ?

) D、向

A、向右平移

? 左平移 个单位 ?

? ? ? 个单位 B、向右平移 个单位 C、向左平移 个单位 ? ? ?

? 4、为了得到函数 y ? sin(2 x ? ) 的图象,可以将函数 y ? cos 2 x 的图象( 6 ? ? A、向右平移 个单位长度 B、向右平移 个单位长度 6 3 ? ? C、向左平移 个单位长度 D、向左平移 个单位长度 6 3
5、把函数 y ? sin x ( x ? R )的图象上所有点向左平行移动 所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 示的函数是( )



? 个单位长度,再把 3

1 倍(纵坐标不变) ,得到的图象所表 2

x ? B、 y ? sin( ? ) , x ? R 2 6 ? 2? C、 y ? sin(2 x ? ) , x ? R D、 y ? sin(2 x ? ) , x ? R 3 3 ? ? 6、 为了得到函数 y ? sin(2 x ? ) 的图像, 只需把函数 y ? sin(2 x ? ) 的图像 ( 3 6 ? ? A、向左平移 个长度单位 B、向右平移 个长度单位 4 4 ? ? C、向左平移 个长度单位 D、向右平移 个长度单位 2 2

A、 y ? sin(2 x ? ) , x ? R 3

?



7、已知函数 f ( x) ? sin(? x ? )( x ? R,? ? 0) 的最小正周期为 ? ,为了得到函数 4
g ( x)? c o s x ? 的图象,只要将 y ? f ( x) 的图象

?





? 个单位长度 8 ? C、 向左平移 个单位长度 4
A 、向左平移

? 个单位长度 8 ? D、 向右平移 个单位长度 4
B、 向右平移

8. 将 函 数 y=sinx 的 图 象 向 左 平 移 ? ( 0 ? ? < 2 ? ) 的 单 位 后 , 得 到 函 数 y=sin ( x ? ) 的图象,则 ? 等于( 6 ? 5? A. B. 6 6

?

) C.
7? 6

D.

11? 6

专练: 1.(2009 山东卷理)将函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移 单位,所得图象的函数解析式是( A. y ? cos 2 x D. y ? 2sin 2 x 2. (2009 天津卷理) 已知函数 f ( x) ? sin(? x ? )( x ? R,? ? 0) 的最小正周期为 ? , 4 为了得到函数 g ( x) ? cos? x 的图象,只要将 y ? f ( x) 的图象 B. y ? cos 2 x ? 1 ). C. y ? 1 ? sin(2 x ?

? 个单位, 再向上平移 1 个 4

?
4

)

?

? 个单位长度 8 ? C 向左平移 个单位长度 4
A 向左平移

? 个单位长度 8 ? D 向右平移 个单位长度 4
B 向右平移 )

?? ? 3. 09 山东) ( 要得到函数 y ? sin x 的图象, 只需将函数 y ? cos ? x ? ? 的图象 ( ?? ?

? 个单位 ? ? C、向左平移 个单位 ?

A、向右平移

? 个单位 ? ? D、向左平移 个单位 ?

B、向右平移

4 . 10 江 苏 卷 ) 为 了 得 到 函 数 y ? 2 sin( ? ), x ? R 的 图 像 , 只 需 把 函 数 (
6

x 3

?

y ? 2 sin x, x ? R 的图像上所有的点

A、向左平移 标不变) B、向右平移 标不变) C、向左平移 坐标不变) D、向右平移 坐标不变)

? 1 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐 6 3

? 1 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐 6 3
? 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵 6

? 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵 6

? 5、 (2010 全国卷 2 理数) (7)为了得到函数 y ? sin(2 x ? ) 的图像,只需把函数 3

? 个长度单位 4 ? D、向右平移 个长度单位 2 4? ? 6、 (2010 辽宁)设 ? ? 0 ,函数 y ? sin(? x ? ) ? 2 的图像向右平移 个单位后与 3 3
B、向右平移 原图像重合,则 ? 的最小值是 A、
2 3 4 3 3 2

y ? sin(2 x ? ) 的图像 6 ? A、向左平移 个长度单位 4 ? C、向左平移 个长度单位 2

?

B、

C、

D、3



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