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吉林省长春外国语学校2015-2016学年高二数学下学期期中试题 文



长春外国语学校 2015-2016 学年度高二下学期期中考试 数学文科试卷
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1. 本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷和答题卡,共 4 页。满分 150 分,考试用时 110 分钟。 考试结束后,请将答题卡卷交回,试题卷自己保存。 2.答题前,请您务必将自己的班级、姓名、学号、考号用0.5毫米黑色签字笔填写在答 题卡上。 3.作答非选择

题必须用 0.5 毫米的黑色签字笔写在答题卡上的指定位置,在其它位置作 答一律无效 4.保持答题卷清洁、完整,严禁使用涂改液和修正带。 第Ⅰ卷 选择题(共 60 分) 1、已知集合 A={1,2,3,4} ,B={x|x =2n,n∈A},则 A∩B= ( ) A. {1,4} B.{2,4} C.{9,16} D.{1,2} 2、用反证法证明命题时,对结论“自然数 a,b,c 中至多有一个奇数”的反设是 A.自然数 a,b,c 中至少有两个奇数 B.自然数 a,b,c 中至少有两个偶数或都是奇数 C.自然数 a,b,c 都是偶数 D.自然数 a,b ,c 都是奇数 ( )

? =lg(4x -20),当 x=30 时 3、在两个变量 y 与 x 的回归模型中,求得回归方程为 y
A.y 一定等于 2 B.y 大于 2 C.y 小于 2

(

)

D.y 的值在 2 左右

4、 某校为了研究“学生的性别”和“对待某项运动的喜爱程度”是否有关,运用 2×2 列联表 进行独立性检验,经计算 k=6.669,则认为“学生性别与支持活动有关系”的犯错误的概率不 超过 A.0.1% B.1% C.99% D.99.9% ( )

附:

P(K2≥k0
0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 )

k0
5、极坐标方程(ρ -3)(θ - A.两个圆 C.两条直线 6、若直线的参数方程为 ?

2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 )

? )=0(ρ ≥0)表示的图形是( 2

B. 一条直线和一条射线 D.一个圆和一条射线

? x ? 1 ? 3t ? y ? 3 ? 3t

(t 为参数),则直线的倾斜角为(

)
1

A.30°

B. 60°
2

C. 120°

D.150°
2

7、已 知 不 等 式 ax +bx+c> 0 的 解 集 为 {x |3< x< 6}, 则 不 等 式 cx +bx+a<0 的 解 集 为 ( A. ? x | x ? )

? ?

? 1? 1? ? B. ? x | x ? ? 3? 6? ?

C. ? x |

? ?

? 1 1? 1 1? ? x ? ? D. ? x | x ? 或x ? ? 6 3? 6 3? ?
)个 D.
3

8、关于 x 的方程 lg x 3 ? 3 sin x 的根的个数有( A . 1
2

B.

2

C.

3

4
2

9、若 f(x)=ax +(b+1)x+1(a≠0)是偶函数,g(x)=x +(a-1)x -2x 是奇函数,则 a+b= A. 0 B.

(

)

1

C. ? 1

D.

2

10、定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x)= -f(x+1),且当 x∈(-,

1 1 0)时,f(x)=2x- ,则 2 2

f(log220)=(
A. ?

) B.

7 18

?

39 2

C?

3 10

D.

39 2

? x ? 11、已知函数 f ( x) ? ? 1 (x ? )4 ? 2 ?
A.

( x ? 0) ( x ? 0)
,则 f(f(-1))= ( )

1 4

B.

1 8

C.

1 16

D. 4

? (a ? 2) x, x ? 2 ? x 12 、 若 函 数 f ( x) ? ?? 1 ? 是 R 上的单调递减函数,则实数 a 的取值范围是 ? ? 1, x ? 2 ?? ?? 2 ?
( A.(-∞,2) B. ? ,2 ? ?8 ? )

?13 ?

C.(0,2)

D. ?? ?,

13? 8? ?

第Ⅱ卷 非选择题(共 90 分) 二、填空题(共 20 分)

, 13、已知函数 f ( x) ? 2bx ? 3b ? 1 在 (?1,1) 上存在零点,实数 b 的取值范围是

.

? ? x ? 2y ? 0 ? 14、 已知 x , y 满足约束条件 ?2 x ? 2 y ? 3 ? 0 则 z ? 2 x ? y 的最大值为 ? 1 y? ? 4 ?
15、已知数列 ?an ? 中 a1 ? 2, an ? 2an?1 ? 1, (n ? 2) , 由此归纳 an ?

.

.

2

? 2x ? 16、已知函数 f ( x) ? ?log x 1 ? ? 2
三、解答题(共 70 分)

?x ? 2? ?x ? 2? 则函数 y ?

f (1 ? x) 的最大值为

.

17、 (本题 10 分)已知函数 y ? a 2? x ? 1 ( a ? 0, 且a ? 1 )的图像恒过定点 A,点 A 在直线

mx ? ny ? 1(mn ? 0) 上,求
1

1 1 ? 的最小值. m n

18、 (本题 12 分)计算下列各式的值

1 ? (1) ( ) 2 ? 4

( 4ab?1 ) 3 (0.1) ?2 (a 3b )
1 ?3 2

(2)

lg 8 ? lg125? lg 2 ? lg 5 lg 10 ? lg 0.1

sin( ? ? ) sin(? ? ? ) 2 ? 19、(本题 12 分)已知角 α 的终边落在直线 y=-2x(x<0)上,求 的 3? cos(? ? ? ) cos(? ? ) 2
值. 20、(本题 12 分)已知函数 f ( x) ? x ? 2 ? x ? a (1)当 a ? 3 时,解不等式 f ( x) ?

?

1 ; 2

(2)若关于 x 的不等式 f ( x) ? a 解集为 R ,求 a 的取值范围. 21 、 ( 本 题 12 分 ) 定 义 在 R 上 函 数 f ( x) , 且 f ( x) ? f (? x) ? 0 , 当 x ? 0 时 ,

1 1 f ( x) ? ( ) x ? 8 ? ( ) x ? 1 4 2
(1)求 f ( x) 的解析式 ; (2 当 x ? ?1,3? 时,求 f ( x) 的最大值和最小值 . 22、 (本题 12 分)定义在 ?? ?,0? ? ?0,??? 上的函数 f ( x) ,总有 f (m n) ? f (m) f (n) ,且

f ( x) ? 0 ,当 x ? 1 时, f ( x) ? 1
(1)求 f (1), f (?1) 的值 ; (2)判断函数的奇偶性,并证明 ; (3)判断函数在 ?0,??? 上的单调性,并证明.

3

长春外国语学校 2015-2016 学年度高二下学期期中考试 数学(文科) 学科试卷答案 一、 选择 1-12 题 BADBD CDCAC AD 二、 填空 13、 ? ,1?

?1 ? ?5 ?

14、

9 4

15、 2

n ?1

?1

16、4

三、 17、(本题 10 分)

x ? 2时y ? 2 所以定点 A(2,2)
A 在直线上,所以 2m ? 2n ? 1 ,且 mn>0, 所以

( 3 分) (6 分)

1 1 1 1 2m 2n ? = ( ? )( 2m ? 2n) ? 2 ? 2 ? ? ? 4?2 4 ?8, m n m n n m 1 1 即 ? 的最小值为 8 (10 分) m n
18、(本题 12 分) (1)

4 25

(6 分)

(2)-4(6 分)

19、(本题 12 分) 由已知得 ? 为第二象限角

(2 分) (5 分)

sin ? ? 0, cos? ? 0 ,
原式=

sin ? ? sin ?

?

cos? ? cos?

? ?1 ? 1 ? ?2

(12 分)

20、 (本题 12 分) 解: (1)当 a ? 3 时, f ( x) ? x ? 2 ? x ? 3 ,

f ( x) ?

1 2

x?2 ? x?3 ?

1 2

x ? ?3 ? ? ?? ?x ? 2? ? ?x ? 3? ? 1 ? 2 ?
分)

? 3 ? x ? ?2 ? ? 1 或 ?? ?x ? 2? ? ?x ? 3? ? ? 2 ?

x ? ?2 ? ? ??x ? 2? ? ?x ? 3? ? 1 或 ? 2 (2 ?

3 ? ?x ? ? 1 ?1? ? 2 或 ? 11 ? ? ? 或 4

?2 2 ? ? ?? 3 ? x ? ? x ? ?1 11 ? x?? ?? 1 ? 或? ? 4 2 ? ?
x ? ?2


x ? ?2

(4 分)

不等式的解集为: ? ?

?

xx??

11 4

?

(6 分) (8 分)

关于 x 的不等式 f ( x) ? a 解集为 R ,就是求函数 f ( x) 的最大值 (2)

x ? 2 ? x ? a ? ( x ? 2) ? ( x ? a) ? 2 ? a ? a ? 2 (当且仅当 ?x ? 2??x ? a ? ? 0 取
4

" ?")
a?2 ? a
? a?2 ? ?? (a ? 2) ? a ? a?2 或 ?a ? 2 ? a ?
(10 分)

解得

?a a ? 1 ?

(12 分)

21、(本题 12 分) (1)解: f ( x) ? f (? x) ? 0 ,则函数 f ( x) 是奇函数 则 f (0) ? 0
?x ?x 当 x ? 0 时, ? x ? 0 ,则 f (? x) ? ( ) ? 8 ? ( ) ? 1

(2 分 )

1 4

1 2

1 ? 1 ? f ( x) ? ? f (? x) ? ??( ) ? x ? 8 ? ( ) ? x ? 1? ? ?4 x ? 8 ? 2 x ? 1 2 ? 4 ?

(5 分)

1 x ? 1 x ?( 4 ) ? 8 ? ( 2 ) ? 1 ? f ( x) ? ? 0 所以 ? ? 4x ? 8? 2x ?1 ? ?
(1) 解:令 对称轴为 当

x?0 x?0 x?0
(6 分)

t ? 2x



t ? ?2,8?

y ? ?t 2 ? 8t ? 1

t ? ?2,8?

(10 分)

t ? 4 ? ?2,8?
x?2

t?4

,即

f ( x) max ? ?16 ? 32 ? 1 ? 17
f ( x) min ? ?64 ? 64 ? 1 ? 1

(11 分)



t ?8

,即

x?3

(12 分)

22、

(本题 12 分)

(1)令

m ? n ?1

,则有

f (1) ? f (1) f (1)

,又

f ( x) ? 0
(2 分)

则 f (1) ? 1 令

m ? n ? ?1

,则有

f (1) ? f (?1) f (?1)

f (1) ? 1 , f ( x) ? 0 , 又
(4 分)

则 f (?1) ? 1 定义域为 ?? ?,0? ? ?0,??? (2)证明:

5



m ? x, n ? ?1 f ( x)

,则有

f (? x) ? f ( x) f (?1) ? f ( x)
(7 分) ,且

所以

为偶函数

(3)证明:

?x1 , x2 ? ?0,???

x1 ? x 2

(8 分)



mn ? x1 , m ? x2

,则

n?

x1 x

所以

f ( x1 ) ? f ( x2 ) f (

x1 f ( x) ? 0 ) x2 ,又

f ( x1 ) x x1 ? f( 1) ?1 当 x ? 1 时, f ( x) ? 1 x1 ? x2 ? 0 ,则 x ,而 f ( x2 ) x2 ,由 2
1 1 所以 f ( x ) ? 1 ,即 f ( x ) ? 1 ,又 f ( x) ? 0 2 2

x

f (x )

所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 函数 f ( x) 在 ?0,??? 上是增函数 (12 分)

6



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