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湖南省娄底市届高三数学上学期期中联考试题理-精



湖南省娄底市 2015-2016 学年高三上学期期中考试联考 数学(理科)试题
一.选择题: (每题 5 分) 1.若复数 z ? i ? 3 ? 2i ? ( i 是虚数单位 ),则 z ? A. 3 ? 2i
2

B. 3 ? 2i

C. 2 ? 3i

D. 2 ? 3i

/>2.设集合 M={x|x =x},N={x|lg x≤0},则 M∪N=( ) A.[0,1] B.(0,1] C.[0,1) D.(-∞,1] a b 3.设 a,b 都是不等于 1 的正数,则“3 >3 >3”是“loga3<logb3”的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条 件 π? ? 4.要得到函数 y=sin?4x- ?的图像,只需将函数 y=sin 4x 的图像( 3? ? π A.向左平移 个单位 12 π 移 个单位 3 5.命题“? n∈N ,f(n)∈N 且 f(n)≤n”的否定形式是( ) * * * * A.? n∈N ,f(n)?N 且 f(n)>n B.? n∈N ,f(n)?N 或 f(n)>n * * * * C.? n0∈N ,f(n0)?N 且 f(n0)>n0 D.? n0∈N ,f(n0)?N 或 f(n0)>n0 6.设函数 f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),则 f(x)是( ) A.奇函数,且在(0,1)上是增函数 B.奇函数,且在(0,1)上是减函数 C.偶函数,且在(0,1)上是增函数 D.偶函数,且在(0,1)上是减函数 7.设函数 f′(x)是奇函数 f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当 x>0 时,xf′(x)-f(x)<0, 则使得 f(x) >0 成立的 x 的取值范围是( ) A.(-∞,-1)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞) C.(-∞,-1)∪(-1,0) D.(0,1)∪(1,+∞) 2π 8.已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(A,ω ,φ 均为正的常数)的最小正周期为π ,当 x= 3 时,函数 f(x)取得最小值,则下列结论正确的是( ) A . f(2)<f( - 2)<f(0) B . f(0)<f(2)<f( - 2) D.f(2)<f(0)<f(-2) C . f( - 2)<f(0)<f(2) →
* *

) D.向右平

π B.向右平移 个单位 12

π C.向左平移 个单位 3

→ → → → =1, → =t.若点 P 是△ABC 所在平面内的一点,且AP 9.已知AB⊥AC, AB = AC

| |

t

| |

AB

|→ AB|



|AC|

→ 4AC → → ,则PB·PC的最大值等于( →

)

A.13 B.15 C.19 D.21 2 10.若 a,b 是函数 f(x)=x -p x+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且 a,b,-2 这三个 数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则 p+q 的值等于( ) A.6 B.7 C.8 D.9
1

?3x-1,x<1, ? f(a) 11.设函数 f(x)=? x 则满足 f(f(a))=2 的 a 的取值范围是( ? ?2 ,x≥1.

)

?2 ? A.? ,1? ?3 ?

B.[0,1]

?2 ? C.? ,+∞? ?3 ?

D.[1,+∞)

12.若定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足 f ? 0? ? ?1 ,其导函数 f ? ? x ? 满足 f ? ? x ? ? k ? 1 , 则下列结论中一定错误的是( A. f ? ) C. f ?

?1? 1 ?? ?k? k

B. f ?

1 ?1? ?? ? k ? k ?1

1 ? 1 ? ?? ? k ?1 ? k ?1

D. f ?

k ? 1 ? ?? ? k ?1 ? k ?1

二.填空题: (每题 5 分) 1 13.已知 tan α =-2,tan(α +β )= ,则 tan β 的值为________. 7 14.在等差数列{an}中,若 a3+a4+a5+a6+a7=25,则 a2+a8=_______ _. 2 2 15.若非零向量 a, b 满足|a|= |b|, 且(a-b)⊥(3a+2b), 则 a 与 b 的夹角为 3 2 16.曲线 y=x 与直线 y=x 所围成的封闭图形的面积为________. 三.解答题: (第 17 题 10 分,其余的每题 12 分) .

? π π? 17. 已知向量 m=(1,3cos α ),n=(1,4tan α ),α ∈?- , ?,且 m·n=5.(1)求|m ? 2 2?
+n|;(2)设向量 m 与 n 的夹角为 β ,求 tan(α +β )的值.

π? 2? 18. 设 f(x)=sin xcos x-cos ?x+ ?. 4? ?

(1)求 f(x)的单调区间;(2)在锐角△ABC 中,角

?A? A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 f? ?=0,a=1,求△ABC 面积的最大值. 2 ? ?

2

x ? 3? 19.设 a 为实数,给出命题 p:函数 f(x)=?a- ? 是 R 上的减函数,命题 q:关于 x 的不等 ? 2?
|x-1| ?1? 式? ? ≥a 的解集为?.(1)若 p 为真命题,求 a 的取值范围;(2)若 q 为真命题,求 a ?2? 的取值范围;(3)若“p 且 q”为假命题, “p 或 q”为真命题,求 a 的取值范围.

20. 设等差数列{an}的公差为 d,前 n 项和为 Sn,等比数列{bn}的公比为 q.已知 b1=a1,b2 =2, q=d,S10=100.(1)求数列{an},{ bn}的通项公式;(2)当 d>1 时,记 cn= ,求数列{cn} 的前 n 项和 Tn.

an bn

3

3x +ax 21 设函数 f(x)= (a∈R).(1) 若 f(x)在 x=0 处取得极值,确定 a 的值,并求此时 x e 曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若 f(x)在[3,+∞)上为减函数,求 a 的取 值范围.

2

22.已知函数 f(x)=aln x-ax-3(a≠0).(1)讨论 f(x)的单调性;(2)若 f(x)+(a+1)x 2 2 + 4 - e ≤ 0 对任意 x∈ [e,e ] 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3) 求证: ln (2 +1) + 2 2 2 * ln(3 +1)+ln(4 +1)+?+ln(n +1)<1+2ln n!(n≥2,n∈Ν ).

4

高三数学理科联考试题答案 一.选择题: DABB DAAA 二.填空题: 13.3 三.解答题: 14.10

ADCC

15.

? 3

16.

1 6

? π π? 17.已知向量 m=(1,3cos α ),n=(1,4tan α ),α ∈?- , ?,且 m·n=5.(1)求|m ? 2 2?
+n|;(2)设向量 m 与 n 的夹角为 β ,求 tan(α +β )的值. 1 解:(1)由 m·n=1+12cos α tan α =5,得 sin α = . 3 2 2 2 ? π π? 因为 α ∈?- , ?,所以 cos α = ,tan α = . 3 4 ? 2 2? 则 m=(1,2 2),n=(1, 2),所以 m+n=(2,3 2),所以|m+n|= 22. (2)由(1)知 m=(1,2 2),n=(1, 2),所以 cos β = 5 3× 3 = 5 3 ,即 sin β = 9

6 2 ?5 3?2 1-? ? = 9 ,所以 tan β = 5 , 9 ? ? 2 2 + 4 5 2 2 × 4 5 2 . 2

所以 tan(α +β )=



1-

π? 2? 18.设 f(x)=sin xcos x-cos ?x+ ?. 4? ?

(1)求 f(x)的单调区间;(2)在锐角△ABC 中,角

?A? A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 f? ?=0,a=1,求△ABC 面积的最大值. 2 ? ?
π? ? 1+cos?2x+ ? 2? sin 2x ? 解:(1)由题意知 f(x)= - 2 2 = sin 2x 1-sin 2x 1 - =sin 2x- . 2 2 2

π π π π 由- +2kπ ≤2x≤ +2kπ ,k∈Z,可得- +kπ ≤x≤ +kπ ,k∈Z; 2 2 4 4

5



π 3π π 3π +2kπ ≤2x≤ +2kπ ,k∈Z,可得 +kπ ≤x≤ +kπ ,k∈Z. 2 2 4 4

π ? π ? 所 以 f(x) 的 单 调 递 增 区 间 是 ?- +kπ , +kπ ? (k∈Z) ; 单 调 递 减 区 间 是 4 ? 4 ?

?π +kπ ,3π +kπ ?(k∈Z). ?4 ? 4 ? ?
1 1 ?A? (2)由 f? ?=sin A- =0,得 sin A= . 2 2 2 ? ? 由题意知 A 为锐角,所以 cos A=
2 2 2

3 . 2

由余弦定理 a =b +c -2bccos A, 可得 1+ 3bc=b +c ≥2bc, 1 2+ 3 即 bc≤2+ 3,当且仅当 b=c 时等号成立,因此 bcsin A≤ , 2 4 所以△ABC 面积的最大值为 2+ 3 . 4
2 2

x ? 3? 19.设 a 为实数,给出命题 p:函数 f(x)=?a- ? 是 R 上的减函数,命题 q:关于 x 的不等 ? 2?
|x-1| ?1? 式? ? ≥a 的解集为?.(1)若 p 为真命题,求 a 的取值范围;(2)若 q 为真命题,求 a ?2? 的取值范围; (3)若“p 且 q”为假命题, “p 或 q”为真命题,求 a 的取值范围.

x 3 3 5 ? 3? 解: (1)命题 p: “函数 f(x)=?a- ? 是 R 上的减函数”为真命题, 得 0<a- <1, 所以 <a< ; 2 2 2 ? 2?
|x-1| ?1? (2)由 q 为真命题,则由 0<? ? ≤1,得 a>1; ?2? (3)∵p 且 q 为假,p 或 q 为 真,所以 p、q 中一真一假. 若 p 真 q 假,则 a 不存在; 3 5 若 p 假 q 真,则 1<a≤ 或 a≥ . 2 2 3 5 综上,a 的取值范围为:1<a≤ 或 a≥ . 2 2 20.设等差数列{an}的公差为 d,前 n 项和为 Sn,等比数列{bn}的公比为 q.已知 b 1=a1,b2= 2,q=d,S10=100 .(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)当 d>1 时,记 cn= ,求数列{cn} 的前 n 项和 Tn.

an bn

6

解:(1)由题意有,
?10a1+45d=100, ? ?2a1+9d=20, ?a1=1, ? ? ? ? ? 即? 解得? 或? 2 ? ? ? ?a1d=2, ?a1d=2, ?d=2 ? d= .

a1=9,
9

?

1 a = (2n+79), ? 9 ? ?a =2n-1, ? 故? 或? n-1 ?b =2 ? ? 2? b =9·? ? . ? ? ? 9?
n n n n-1 n

(2)由 d>1,知 an=2n-1,bn=2

n-1

2n-1 ,故 cn= n-1 ,于是 2

Tn=1+ + 2+ 3+ 4+?+

3 2

5 2

7 2

9 2

2n-1 n-1 ,① 2

1 1 3 5 7 9 2n-1 Tn= + 2+ 3+ 4+ 5+?+ n .② 2 2 2 2 2 2 2 ①-②可得 1 1 1 1 2n-1 2n+3 Tn=2+ + 2+?+ n-2- n =3- n , 2 2 2 2 2 2 2n+3 故 Tn=6- n-1 . 2 3x +ax 21.设函数 f(x)= (a∈R).(1)若 f(x)在 x=0 处取得极值,确定 a 的值,并求此时 x e 曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若 f(x)在[3,+∞)上为减函数,求 a 的取 值范围. (6x+a)e -(3x +ax)e -3x +(6-a)x+a 解:(1)对 f(x)求导得 f′(x)= = , x 2 x (e ) e 因为 f(x)在 x=0 处 取得极值,所以 f′(0)=0,即 a=0. 3x -3x +6x 3 3 当 a=0 时, f(x)= x , f′(x)= , 故 f(1)= , f′(1)= , 从而曲线 y=f(x) x e e e e 3 3 在点(1,f(1))处的切线方程为 y- = (x-1),化简得 3x-ey=0. e e -3x +(6-a)x+a (2)由(1)知 f′(x)= . x e 令 g(x)=-3x +(6-a)x+a, 6-a- a +36 6-a+ a +36 由 g(x)=0 解得 x1= ,x2= . 6 6 当 x<x1 时,g(x)<0,即 f′(x)<0,故 f(x)为减函数; 当 x1<x<x2 时,g(x)>0,即 f′(x)>0,故 f(x)为增函数; 当 x>x2 时,g(x)<0,即 f′(x)<0,故 f(x)为减函数. 6-a+ a +36 9 由 f(x)在[3,+∞)上为减函数,知 x2= ≤3,解得 a≥- , 6 2 9 故 a 的取值范围为- ,+∞. 2 22.已知函数 f(x)=aln x-ax-3(a≠0).
7
2 2 2 2 2 2 2 2

x

2

x

2

(1)讨论 f(x)的单调性; 2 (2)若 f(x)+(a+1)x+4-e≤0 对任意 x∈[e,e ]恒成立,求实数 a 的取值范围; 2 2 2 2 (3)求证: ln(2 +1)+ln(3 +1)+ln(4 +1)+?+ln(n +1)<1+2ln n! (n≥2, n∈Ν *). a(1-x) 4.解:(1) f′(x)= (x>0),

x

当 a>0 时, f(x)的单调递增区间为(0, 1), 单调递减区间为(1, +∞). 当 a<0 时, f(x) 的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1). 2 (2)令 F(x)=aln x-ax-3+ax+x+4-e=aln x+x+1-e,x∈[e,e ],则 F′(x) x+a = .

x

若-a≤e,即 a≥-e,则 F(x)在[e,e ]上是增函数, 2 e-1-e 2 2 故 F(x)max=F(e )=2a+e -e+1≤0,即 a≤ ,无解. 2 2 2 2 若 e<-a≤e ,即-e ≤a<-e,则 F(x)在[e,-a)上是减函数,在(-a,e ]上是增函 数,故 F(e)=a+1≤0,即 a≤-1, 2 2 e-1-e e-1-e 2 2 2 F(e )=2a+e -e+1≤0,即 a≤ ,∴-e ≤a≤ . 2 2 2 2 2 若-a>e ,即 a<-e ,则 F(x)在[e,e ]上是减函数, 2 故 F(x)max=F(e)=a+1≤0,即 a≤-1,∴a<-e . 2 e-1-e 综 上,a≤ . 2 (3)证明:令 a=-1,此时 f(x)=-ln x+x-3,∴f(1)=-2. 由(1)知 f(x)=-ln x+x-3 在(1,+∞)上单调递增, ∴当 x∈(1,+∞)时,f(x)>f(1),即-ln x+x-1>0, * ∴ln x<x-1 对一切 x∈(1,+∞)成立.∵n≥2,n∈N , 1 1 1 ?1 ? 1 ∴ln? 2+1?< 2< = - . n n ( n - 1 ) n n - 1 n ? ? 2 2 2 2 * 要证 ln(2 +1)+ln(3 +1)+ln(4 +1)+?+ln(n +1)<1+2ln n!(n≥2,n∈N ), ?1 ? ?1 ? ?1 ? ?1 ? * 只需证 ln? 2+1?+ln? 2+1?+ln? 2+1?+?+ln? 2+1?<1(n≥2,n∈N ). ?2 ? ?3 ? ?4 ? ?n ? ?1 ? ?1 ? ?1 ? ?1 ? ∵ln? 2+1?+ln? 2+1?+ln? 2+1?+?+ln? 2+1?< ?2 ? ?3 ? ?4 ? ?n ? ?1-1?+?1-1?+?1-1?+?+? 1 -1?=1-1<1,∴原不等式成立. ? 2? ?2 3? ?3 4? ?n-1 n? n ? ? ? ? ? ? ? ?
2

8



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